近五年高考數(shù)學不等式試題的研究【畢業(yè)設計】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設計</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　近五年高考數(shù)學不等式試題的研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　【摘要】翻閱近五年高考試題，可以發(fā)現(xiàn)不等式問題占有相當大的比

3、重,一直是高考考查的重點和熱點。高考試卷中的不等式試題形式上靈活多樣，涵蓋選擇題、填空題、解答題等各種數(shù)學題型。而且不等式試題考查的內(nèi)容版塊眾多，考查的問題一般可以分為以下六類：解不等式問題、比較大小問題、求取值范圍問題、不等式證明問題、線性規(guī)劃問題和不等式的綜合應用。 通過對比較合理地分類后的高考不等式試題進行分析研究，可以幫助讀者理清高中不等式的要點，更好地掌握課程標準所要求的相關內(nèi)容。</p><p>　　

4、【關鍵詞】不等式，高考，分類研究。</p><p>　　【ABSTRACT】Inequality, occupies a large proportion, has been the hotspot and focus in college entrance math examination recent years. Inequality in the college entrance examination

5、in lively form and varied, both multiple-choice questions, fill the blanks, and solutions. With the college entrance mathematical examination has been analyzed comprehensive to recent years, inequality test question can

6、be classify the following six: solution inequality problem, ask questions, compare scope issues, pro</p><p>　　【KEYWORDS】Inequality, college entrance mathematical examination, analyzed and classified reasonab

7、ly.</p><p><b>　　目　錄</b></p><p>　　摘　要錯誤!未定義書簽。</p><p>　　Abstract錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　目　錄II</b></p><p><b>　　1引言3</b>

8、;</p><p>　　1.1問題的提出3</p><p>　　1.2研究目的和內(nèi)容3</p><p>　　1.2.1研究目的3</p><p>　　1.2.2研究內(nèi)容4</p><p>　　1.3研究方法4</p><p>　　2高考中的不等式5</p>&l

9、t;p>　　2.1高中數(shù)學考點框圖5</p><p>　　2.2近五年高考不等式的分布5</p><p>　　3近五年高考不等式真題分類10</p><p>　　3.1解不等式問題10</p><p>　　3.1.1解分式不等式10</p><p>　　3.1.2解絕對值不等式11</p

10、><p>　　3.1.3解含參數(shù)不等式12</p><p>　　3.1.4解不等式小結13</p><p>　　3.2比較大小問題13</p><p>　　3.3求取值范圍問題14</p><p>　　3.3.1一般不等式的求取值范圍問題14</p><p>　　3.3.2含參數(shù)不等式

11、的求取值范圍問題15</p><p>　　3.4不等式證明問題17</p><p>　　3.5線性規(guī)劃問題18</p><p>　　3.6不等式的綜合應用22</p><p><b>　　4總結28</b></p><p><b>　　參考文獻29</b>

12、</p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p><b>　　問題的提出</b></p><p>　　不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數(shù)量關系，是數(shù)學研究的重要內(nèi)容。“等

13、”與“不等”是辯證統(tǒng)一的，相等關系是不等關系的某一特殊狀態(tài)。建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。</p><p>　　不等式不僅是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，也是高等數(shù)學的基礎和工具。不等式涉及的數(shù)學思想主要有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合的思想、分類討論的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)學建模思想等；涉及的數(shù)學方法有：比較法、綜合法、分析法、換元法、放縮法、反證法、數(shù)學歸納法、求導法、利用函數(shù)的單調(diào)性等。不等式不

14、僅是培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯思維能力、推理論證能力、運算能力、建模能力、分析問題和解決問題的能力的重要載體，也是學生進一步學習高等數(shù)學的基礎知識和重要工具。</p><p>　　翻閱近五年高考數(shù)學試題，我們可以發(fā)現(xiàn)：不等式問題在近幾年來的高考試題中占有相當大的比重，一直是高考數(shù)學考查的重點和熱點。不等式試題體現(xiàn)了“基礎與能力考查并重”的原則。這些試題不僅能考查學生對于數(shù)學中不等式方面的基本知識和數(shù)學思想方法的掌握情況，而

15、且還能有效地反映學生的運算能力、邏輯推理能力，以及運用數(shù)學知識和思想方法去分析解決實際問題的能力。</p><p>　　高考試卷中的不等式試題形式上靈活多樣，涵蓋選擇題、填空題、解答題等各種數(shù)學題型。而且不等式試題的考查的內(nèi)容版塊眾多，考查的問題一般可以分為以下六類：解不等式問題、比較大小問題、求取值范圍問題、不等式證明問題、線性規(guī)劃問題和不等式的綜合應用。 通過對比較合理地分類后的高考不等式試題進行分析研究，可

16、以幫助讀者理清高中不等式的要點，更好地掌握課程標準所要求的相關內(nèi)容。</p><p><b>　　研究目的和內(nèi)容</b></p><p><b>　　研究目的</b></p><p>　　對近五年全國各地數(shù)學高考題中的各種不等式試題進行分類。歸納整理解不等式、比較大小、求最值范圍、不等式證明、線性規(guī)劃和不等式的綜合應用等六

17、個方面的不等式試題，并對其進行分析。通過對比較合理地分類后的高考不等式考題進行分析研究，可以幫助讀者理清高中不等式的要點，更好地掌握課程標準所要求的相關內(nèi)容。</p><p><b>　　研究內(nèi)容</b></p><p>　　分析研究近五年全國各地數(shù)學高考題中的不等式試題，主要從解不等式、比較大小、求最值范圍、不等式證明、線性規(guī)劃、不等式的綜合應用等六個方面入手分析不

18、等式試題，并對其進行分類與歸納。</p><p><b>　　研究方法</b></p><p>　　本文對近五年高考不等式試題的研究運用內(nèi)容分析法：收集近五年全國各地的數(shù)學高考題中的不等式試題，同時查閱教育部2003年公布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）以及全國各地專家老師對不等式的研究成果等相關資料與文獻，分類歸納解不等式、比較大小、求最值范圍

19、、不等式證明、線性規(guī)劃和不等式的綜合應用等六個方面的不等式試題，并針對典型例子進行分析。</p><p><b>　　高考中的不等式</b></p><p><b>　　高中數(shù)學考點框圖</b></p><p>　　近五年高考不等式的分布</p><p>　　在高中階段，《標準》中關于不等式的安排是

20、：必修5中從不等關系、一元二次不等式、二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題和基本不等式四個方面對高中生做了學習要求。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。能夠解一些不等式的習題以及解決關于不等式的具體實例。選修4－5：不等式選講則是對高考選擇不等式選講模塊的理科生提出了更高要求。</p><p>　　高考試卷中的不等式試題形式上靈活多樣，涵蓋選擇題、填空題、解答題

21、等各種數(shù)學題型。而且不等式試題考查的內(nèi)容版塊眾多，考查的問題一般可以分為以下六類：解不等式問題、比較大小問題、求取值范圍問題、不等式證明問題、線性規(guī)劃問題和不等式的綜合應用。</p><p>　　最近幾年各地高考數(shù)學中不等式題型的具體（分值）分布為（本文主要統(tǒng)計近五年各地理科高考卷中直接考查不等式的試題）： </p><p>　　作為高中數(shù)學知識結構的一個重要組成部分，不等式問題在近年來的

22、高考試題中占有相當大的比重，一直是考查的重點和熱點。從數(shù)據(jù)統(tǒng)計上來看，每年高考對不等式的考查比較穩(wěn)定，總的波動并不大。平均每份高考卷，直接或間接考查不等式知識的試題約占總分的五分之一以上。</p><p>　　在不等式試題的具體分布方面，直接解不等式的試題常以選擇或者填空的形式出現(xiàn)，這些題旨在考查學生對不等式的基本性質(zhì)的掌握情況，一般屬于容易題，在每年的試卷中出現(xiàn)的頻率也比較穩(wěn)定。而單一地用不等式的基本性質(zhì)比較數(shù)

23、的大小以及不等式的證明近年被逐漸淡化，這部分題目更多的是與函數(shù)、三角、數(shù)列等知識綜合，以中等偏難的綜合應用的解答題的形式出現(xiàn)。求取值范圍的問題一般也是與函數(shù)等知識結合，是最近幾年高考的熱點之一。這類題中很大一部分題目是求使不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，要求學生在解題時要有清晰的解題思路，否則很容易事倍功半。此外，多以選擇填空的形式出現(xiàn)的線性規(guī)劃問題也一直是近幾年高考的熱點，有些以實際問題為載體，雖然分值不是很高，但基本屬于必考題。<

24、;/p><p>　　總之，高考中不等式的試題數(shù)量和分值雖有波動，但整體還是比較穩(wěn)定。不等式試題的命題特點也逐漸明朗化，選擇題和填空題一般單獨考查不等式的試題，屬于容易題，而在解答題通常是不等式性質(zhì)與函數(shù)、三角、數(shù)列等其他知識結合的綜合題，有些甚至是壓軸題，難度較高。</p><p>　　近五年高考不等式真題分類</p><p><b>　　解不等式問題<

25、/b></p><p>　　解不等式是解決各類不等式問題的基礎，也是研究數(shù)學的基本手段之一。高考主要考察以下幾類不等式的解法：1、一元一（二）次不等式（組）；2、高次不等式；3、分式不等式；4、含參數(shù)不等式；5、含絕對值不等式；6、指數(shù)不等式；7、對數(shù)不等式；8、簡單的三角不等式。高考試題中，對解不等式有較高的要求。解一元一（二）次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎，必須熟練掌握?！稑藴省芬髮W生掌握求解

26、一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題。求解一元二次不等式，首先可求出相應方程的根，然后根據(jù)相應函數(shù)的圖象求出不等式的解；也可以運用代數(shù)的方法求解。分式不等式、含參數(shù)不等式等其他不等式往往通過等價轉(zhuǎn)化得到整式的一元一（二）次不等式（組），再對整式不等式進行求解。</p><p><b>　　解分式不等式</b></p><p>　　解分式不等式，一般不采用去分

27、母的方法。若去分母，必須考慮符號，往往需要討論。當遇到分母中含有未知數(shù)的不等式時，先將不等式化為0（或0,＜0,0），再化為整式不等式0（0，0）。對于等整式不等式的求解，則一般是一元一（二）次方程的求解。</p><p>　　例1（1）（2010全國2，5）不等式的解集為（ C ）</p><p>　　A. B.</p><p&

28、gt;　　C. D.</p><p>　　（2）（2010上海，1）不等式的解集是 （-4, 2） 。</p><p>　　解：（1）由得（x-3）（x+2）（x-1）0，可用數(shù)軸標根法解得x3或</p><p>　　-2＜x＜1，故選C。</p><p>　?。?）不等式的解法等價于（x-2）(x+4)&l

29、t;0,所以-4<x<2。</p><p>　　分析：解分式不等式主要就是要能夠保證在不等式變形時等價轉(zhuǎn)化，去分母這種方法容易導致變形不等價的情況出現(xiàn)。（1）（2）兩題都采用0這種轉(zhuǎn)化成整式不等式的方法，這種轉(zhuǎn)化方法不僅思路清晰，而且解題計算過程相對簡單。近幾年考查的分式不等式一般都是不等式一邊為0，如果另一邊不為0，則需要增加移項這一步。之后再同（1）（2）題的解法。</p><

30、p><b>　　解絕對值不等式</b></p><p>　　解絕對值不等式一直是高考解不等式這一塊考點的重中之重，也是易錯點。解絕對值不等式的主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一元一（二）次不等式（組）進行求解。含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點分段法求解；《標準》要求學生在學習中應該把握一些重要不等式的幾何背景，對于形如m或<m（m為正常數(shù)）的不等式，利用絕對值的幾何

31、意義求解較簡便。</p><p>　　例2（1）（2009山東，13）不等式的解集為 。</p><p>　　（2）（2009福建，21（3））選修4-5：不等式選講 </p><p>　　解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1。</p><p>　?。?）（2009遼寧，24）選修4-5：不等式選講</p&

32、gt;<p><b>　　設函數(shù)。</b></p><p><b>　?。á瘢┤艚獠坏仁剑?lt;/b></p><p>　?。á颍┤绻?,求的取值范圍。</p><p>　　解:（1）原不等式等價于不等式組①或②或③不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為.</p><p&

33、gt;　?。?）當x<0時,原不等式可化為</p><p><b>　　又不存在;</b></p><p>　　當時,原不等式可化為。</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　當</b></p><p>　　綜上,原不等

34、式的解集為。</p><p><b>　?。?）（Ⅰ）當時，</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　則易得的解集為 。 </p><p>　　（Ⅱ）若，不滿足題設條件</p><p><b>　　若 的最

35、小值為</b></p><p><b>　　的最小值為</b></p><p>　　所以的充要條件是，從而的取值范圍為。 </p><p>　　分析：（1）（2）兩題題的解法都是通過討論每個絕對值內(nèi)多項式與0的大小比較，轉(zhuǎn)化成幾個個一元一次不等式（組），問題迎刃而解。此類題也可以通過移項然后兩邊平方的方法進行求解，應用平方

36、法時，要注意只有在不等式兩邊均為非負的情況下才能施行。（3）題中的第Ⅰ小題也是含絕對不等式的求解，2008寧夏24題也是同一題型。這類題型則可以利用幾何法快速求解。因此，我們在去絕對值符號時，用何種方法需視具體情況而定。</p><p><b>　　解含參數(shù)不等式</b></p><p>　　含參數(shù)不等式一般考查的是參數(shù)的取值范圍及函數(shù)的最值，如2009遼寧，24（Ⅱ

37、），這類問題的求解一般轉(zhuǎn)化到求函數(shù)的最值，所以此版塊將在求取值范圍時具體分析。此處只具體介紹一題求參數(shù)值的高考題。</p><p>　　例3（2009江西，15）若不等式的解集為區(qū)間,且,則。</p><p>　　解：由數(shù)形結合，直線在半圓上方必須滿足，則直線過點（），則。</p><p>　　分析：此題的解法運用數(shù)形結合的思想方法，通過構造函數(shù)，數(shù)形結合，則可將不

38、等式的解化歸為直觀，形象的圖象關系，比較簡便地解決了問題。解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運用。</p><p><b>　　解不等式小結</b></p><p>　　雖然解不等式的題型多種多樣，但無論何種類型的問題，核心都是不等式的同解變形。一元一（二）次不等式（組）等整式不等式的解法是解不等式的基礎。學生在學習過程中要經(jīng)

39、歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系。依據(jù)不等式的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性等其他可運用的知識，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式（組）是解不等式的基本思想。方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化。</p><p><b>　　比較大小問題</b></p>&l

40、t;p>　　不等式中的比較大小問題是對不等式的性質(zhì)的最直接應用，高考中一般不會直接命題，往往與其他知識相結合，如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、數(shù)列等。學生在解題時要深刻體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。比較兩個實數(shù)的大小，要根據(jù)不等式的加法和乘法法則，以及不等式的傳遞性進行。由于現(xiàn)在高考中不等式的比較大小問題往往是不等式與其他知識的結合，所以比較大小問題的解法不能僅僅停留在簡單的作差作商這類比較法上。</p><p>

41、;　　例4（1）（2008北京，2）若，，，則（ A ）</p><p>　　A．B．C．D．</p><p>　?。?）（2009江蘇，10）已知，函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的大小關系為 。</p><p>　?。?）（2006浙江，3）已知0＜＜1，logm＜logn＜0，則（ A ）</p><p>　　A

42、.1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D． n＜m＜1</p><p>　　解：（1）1,0＜1，，即0，故選A。</p><p>　　（2），函數(shù)為R上的減函數(shù)，又，故＜。</p><p>　?。?）令=，則m=4，n=2滿足題意，所以1＜n＜m。故選A。</p><p>　　分析

43、：這三題都是不等式與其他知識（指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)）結合的關于比較實數(shù)大小的題目。（1）題解法中運用了介值法，（2）題解法中運用了單調(diào)性法，（3）題解法中運用了特殊值法。高考不等式比較大小的方法很多，常用有：介值法、特殊值法、基本不等式法、單調(diào)性法、比較法、歸納-猜想-證明法等。前幾種方法較適用于客觀題，后幾種方法較適用于解答題。當然客觀題和解答題往往需要根據(jù)各題型中不同的條件采取不同的方法。如（3）題可以借助函數(shù)的單調(diào)性解題，但通過采用

44、特殊值法可以更加方便簡潔地得到答案。</p><p><b>　　求取值范圍問題</b></p><p>　　一般不等式的求取值范圍問題</p><p>　　《標準》要求學生探索并了解基本不等式的證明過程。會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。基本不等式幾乎是每年必考內(nèi)容之一，高考中不外乎考查求最值、求取值范圍等。</p>&

45、lt;p>　　例5（1）（2010重慶，7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（ B ）</p><p>　　A. 3 B. 4 C. D. </p><p>　?。?）（2010四川，12）設，則的最小值是( B )</p><p>　　A． 2 B. 4 C

46、. D. 5</p><p>　　解：（1），整理得，</p><p><b>　　即，又，</b></p><p><b>　?。?） ＝ </b></p><p>　?。健?＋2＋2＝4。</p><p>　　當且僅當a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1時等

47、號成立</p><p>　　如取a＝,b＝,c＝滿足條件。故選B。</p><p>　　分析：（1）（2）兩題都是對運用基本不等式求取值范圍的考查，學生在解題時必須要有敏銳的觀察力，根據(jù)條件能夠想到使用基本不等式。高考中這類取值范圍的試題一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。</p><p>　　含參數(shù)不等式的求取值范圍問題</p><p&g

48、t;　　求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是高中數(shù)學的難點之一，也一直是高考數(shù)學的熱點之一。此類題目對學生的抽象思維能力和運算能力都有著較高的要求，可以考查學生靈活運用函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結合及分類討論等核心數(shù)學思想方法的能力。解此類題目的方法一般有：</p><p>　　構造函數(shù)法：如2007年重慶，20以及2008江西，12等。</p><p>　　利用一次函數(shù)的性質(zhì)：</p

49、><p>　　在不等式恒成立的問題中，如果參數(shù)能變?yōu)橐淮蔚男问?，則我們能利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求解。</p><p>　　一次函數(shù)在x [m，n]上恒大于零的充要條件是：</p><p><b>　　或 或 </b></p><p>　　（對于恒小于零的條件也可類推得出）。</p><p>　　2

50、、利用二次函數(shù)的單調(diào)性：任何一個一元二次不等式總可以化為>0 (>0) 的形式，由二次函數(shù)(>0)的圖象和性質(zhì)，我們可以得到以下兩個結論:</p><p>　　（1）>0 (>0) 在R上恒成立的充要條件是△<0；</p><p>　?。?）>0 (>0) 在區(qū)間[m，n]上恒成立的充要條件是</p><p>

51、　　或 或 △<0。</p><p>　　分離參數(shù)法：如例6(1)2010全國1，2以及2010湖南，20等 。</p><p>　　如果關于x的不等式f(x，k)≥0 (或f(x，k)≤0) ①在區(qū)間I上恒成立，要求實參數(shù)k的范圍。</p><p>　　如果能將不等式①化為F(k)≥G(x) (或F(k)≤G(x)) 的形式，且可求出G(x)在

52、區(qū)間I上的最大(最小)值，那么不等式①在區(qū)間I上恒成立的充要條件是：</p><p>　　F(k)≥max{G(x)} (或F(k)≤min{G(x)})</p><p><b>　　數(shù)形結合法：</b></p><p>　　有些含參數(shù)不等式恒成立問題，既不易于轉(zhuǎn)化為某個變量的函數(shù)，又難以用分離參數(shù)法求解時，則可采用數(shù)形結合法。如2007安徽

53、，3以及例3 2009江西，15等。</p><p>　　以上三種方法是求不等式恒成立的參數(shù)取值范圍的基本方法。此外，還有一些方法，如討論法、主參換位法（如2008安徽，20）等。</p><p>　　例6(1)（2010全國1，2） 已知函數(shù)</p><p>　　（Ⅰ）若，求的取值范圍；</p><p><b>　　（Ⅱ）證明：

54、。</b></p><p>　?。?）（2010山東，14）若對任意恒成立，則的取值范圍是 。</p><p><b>　　解：（1）（Ⅰ），</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　題設等價于。</b></p

55、><p><b>　　令，則</b></p><p>　　當，；當時，，是的最大值點，</p><p>　　綜上，的取值范圍是。</p><p>　　(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即。</p><p><b>　　當時，；</b></p><p><b>　

56、　當時，</b></p><p><b>　　所以。</b></p><p>　　（2）因為，所以（當且僅當時取等號），所以有 （當且僅當時取等號），即的最大值為，故。</p><p>　　分析：《標準》中有關不等式的部分并未提及對含參數(shù)不等式的要求，但這一部分的題型已成為近年來高考中的常見題型，因此此類問題當屬學習的熱點。在確定恒

57、成立不等式中參數(shù)的取值范圍時，不僅僅只是用到不等式的基本性質(zhì)，需要學生能夠靈活掌握各種數(shù)學思想方法，熟練地綜合運用各種相關知識，因此此類問題的求解又是學習過程中的難點。</p><p>　　fffffffffffffffffffffffffffff不等式證明問題</p><p>　　不等式的證明高考中不等式證明問題，常常是與數(shù)列、二次曲線、三角函數(shù)、排列組合數(shù)等相結合的解答題。不等式證明還

58、要求學生了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。常用證法有：比較法、綜合法、基本不等式法、分析法、數(shù)學歸納法、放縮法、向量法等。所以這部分內(nèi)容可以歸類到不等式的綜合應用版塊。 </p><p>　　近幾年新課程改革之后，某些地方高考卷也會出現(xiàn)難度中等的只是使用平均值不等式和柯西不等式的單純的不等式證明題，如2010江蘇，21和2010遼寧，24等?！稑藴省放c舊大綱在不等式模塊的要求上有著

59、很大的不同。新課程改革后的選修4-5介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學歸納法和它的簡單應用。對于選修不等式選講的學生來說，《標準》中關于不等式的證明的要求非常明確。</p><p>　　不管是學生還是老師，如果在高考中選擇不等式選講這一模塊，就要適度把握《標準》的要求，在證明不等式方面的練習中不要盲目加大難度。</p><p>　　例7（2010江蘇，21）選修4-5：不等式選講<

60、;/p><p>　　設a、b是非負實數(shù)，求證：。</p><p><b>　　解：證法一：</b></p><p>　　因為實數(shù)a、b≥0，</p><p>　　所以上式大于等于0。 即有。</p><p>　　證法二：由a、b是非負實數(shù)，作差得</p><p><

61、b>　　當時，，從而，得；</b></p><p><b>　　當時，，從而，得；</b></p><p><b>　　所以。</b></p><p>　　證法三：、是非負實數(shù)，故有</p><p>　　當0時，不等式顯然成立；</p><p><b&

62、gt;　　當0時，</b></p><p><b>　　當且僅當時取等號。</b></p><p>　　分析：單純的不等式證明題題目難度中等，而且往往證明方法多樣。這類題目一般最簡單的思路就是作差證明。如果學生思維敏捷，則可以考慮直接使用基本不等式或者平均值不等式進行證明。例7是新課程改革之后的一道考查不等式選講部分內(nèi)容的高考題，題目考查緊扣《標準》的要求

63、，難度不大。</p><p><b>　　線性規(guī)劃問題</b></p><p>　　線性規(guī)劃是優(yōu)化的具體模型之一。線性規(guī)劃是高考的熱點之一，多考查線性目標函數(shù)的最值問題，兼顧面積、距離、斜率等問題。往往要求考生會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，用線性規(guī)劃的方法解決重要的實際問題，并能加以解決，使能收到的效益最大，耗費的人力、物力資源最少。</p&g

64、t;<p>　　不等式有豐富的實際背景，是刻畫區(qū)域的重要工具?？坍媴^(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟。解簡單線性規(guī)劃的方法可稱為圖解法，通常通過畫可行域、移線，用數(shù)形結合的思想方法解題。所以，正確畫出可行域并利用數(shù)形結合求最優(yōu)解是接線性規(guī)劃問題的重要一環(huán)，作圖一定要力圖準確。另外，在求最優(yōu)解時，常把關注點落在可行域的頂點上。</p><p>　　高考中對于這類知識的直接考查基本為選擇題或填空題，為

65、容易題或中檔題。解這類題目一般用一族平行直線與某平面區(qū)域相交，研究直線在y軸上截距的最大值或最小值，從而求其二元一次函數(shù)的最值。</p><p>　　例8(1)(2010全國1，3)若變量滿足約束條件則的最大值為( B )</p><p>　　A. 4 B. 3 C. 2 D. 1</p><p>　?。?）(2010安徽，13)

66、設滿足約束條件若目標函數(shù)的最大值為8，則的最小值為 4 。</p><p>　　解：（1）畫出可行域如下圖，</p><p>　　目標函數(shù)為，當目標函數(shù)過C（1，-1）時取最大值，所以Z的最大值為3。故選B。</p><p>　　（2）（x，y）滿足可行域如下圖，</p><p>　　因為的最大值為8，觀察圖象，目標函數(shù)過A點時取最

67、大值，所以有8=ab+4，ab=4。又因為當a=b=2時取等號，所以。</p><p>　　分析：高考中的關于線性規(guī)劃的求最值問題基本就是如以上兩個例子這樣的題型，只要掌握圖解法的思路，這類題目沒有多大難度。</p><p>　　此外，《標準》還要求學生會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。近幾年數(shù)學高考題很注重這方面的考查，經(jīng)常運用生活實際背景出題。解線性規(guī)劃中的

68、實際問題時，需從已知條件中建立數(shù)學模型，然后利用圖解法解決問題，在這個過程中，建立模型需讀懂題意，仔細分析，適當引入變量，再利用數(shù)學知識解決。</p><p>　　例9（1）（2010四川，7）某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．

69、甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為（ B ）</p><p>　　A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱</p><p>　　B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱</p><p>　　C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱</p>

70、;<p>　　D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱</p><p>　?。?）（2009廣東，19）某營養(yǎng)師要為某個兒童預定午餐和晚餐，已知一個單位的午餐含12個單位的鹽水化合物一個單位的蛋白質(zhì)和6和單位的維生素C，一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6和單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C。另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素

71、C。</p><p>　　如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預定多少個單位的午餐和晚餐？</p><p>　　解：（1）設甲車間加工x箱原料，乙車間加工y箱原料，總獲利為z，則可行域如下圖所示，</p><p>　　目標函數(shù)z=280x+200y，易知目標函數(shù)過A點時取最大值，故選B。<

72、/p><p>　?。?）設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依據(jù)題意得：z=2.5x+4y，且x，y滿足，可行域如下圖，</p><p>　　讓目標函數(shù)表示的直線z=2.5x+4y在可行域上平移，由此可知在B點時z取最小值。因此，應當為兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求。</p><p>　　分析：（1）（2）兩

73、題都是解線性規(guī)劃的應用題，求解程序如下：①設出未知數(shù)，列出約束條件，確定目標函數(shù)z=ax+by+c；②作出可行域；③作出直線l：ax+by=0；④確定直線l的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點；⑤解相關方程組，求出最優(yōu)解，從而求出目標函數(shù)的最小值或最大值。特別需要注意的是，在實際問題中，要注意最優(yōu)解的隱含約束條件。如（1）中箱數(shù)必須是正整數(shù)，而（2）中也有類似的隱含條件。如果相關方程組解出的最優(yōu)解不符合這些隱含條件，則要學會在可行域中

74、就近找點，直至求出符合條件的最優(yōu)解。</p><p>　　另外，若目標函數(shù)所對應的直線束的斜率與約束條件中的某一個約束條件所對應的直線斜率相等，則最優(yōu)解有可能有無數(shù)個。</p><p><b>　　不等式的綜合應用</b></p><p>　　研究分析歷年各地的數(shù)學高考試卷，我們不難發(fā)現(xiàn)，解答題中關于不等式的考查除了線性規(guī)劃問題，無論是解不等式

75、、求取值范圍還是不等式證明幾乎都是與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識綜合的題目。主要考查的形式有：求函數(shù)的定義域、值域；討論函數(shù)的單調(diào)性；求函數(shù)的最值；研究方程的實根分布；確定參數(shù)的取值范圍；解決與不等式有關的應用題等。這類題目的知識結構比較綜合，大多題目中等偏難，很多都是以壓軸題的形式出現(xiàn)。</p><p>　　例10（1）（2010湖北，21）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為。</p><p&g

76、t;　　（Ⅰ）用表示出b，c；</p><p>　?。á颍┤粼谏虾愠闪?，求的取值范圍；</p><p><b>　　（Ⅲ）證明。</b></p><p>　?。?）（2010四川，22）設（且），是的反函數(shù)。</p><p>　?。á瘢┰O關于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求的取值范圍；</p><p>

77、　?。á颍┊敚樽匀粚?shù)的底數(shù)）時，證明：；</p><p>　?。á螅┊敃r，試比較與4的大小，并說明理由。</p><p>　?。?）（2010江蘇，17）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。</p><p>　　（Ⅰ）該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請

78、據(jù)此算出H的值；</p><p>　?。á颍┰撔〗M分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，、最大？</p><p>　　解：（1）（Ⅰ），則有，解得　。</p><p>　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，</p><p><b>　　令

79、，，</b></p><p><b>　　則 ，。</b></p><p><b>　?、佼?，</b></p><p>　　若 ，則，是減函數(shù)，所以</p><p><b>　　，故在上恒不成立。</b></p><p><b>

80、　　②時， </b></p><p><b>　　若，故當時，</b></p><p>　　綜上所述，所求的取值范圍為。</p><p>　?。á螅┳C法一：由（Ⅱ）知：當時，有。</p><p><b>　　令，有，</b></p><p><b>　　

81、當時，。</b></p><p><b>　　令，有，</b></p><p><b>　　即 ，。</b></p><p>　　將上述個不等式一次相加得，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　整理得

82、。</b></p><p>　　證法二：用數(shù)學歸納法證明</p><p>　?、佼敃r，左邊，右邊，不等式成立；</p><p>　　②假設時不等式成立，即，　</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　那么</b></p>

83、<p><b>　　。</b></p><p>　　由（Ⅱ）知：當時，有，</p><p><b>　　令，有，</b></p><p><b>　　令，得：，</b></p><p><b>　　，</b></p><p&g

84、t;<b>　　。</b></p><p>　　這就是說， 當時，不等式也成立。</p><p>　　根據(jù)①和②，可知不等式對任何都成立。</p><p>　?。?）（Ⅰ）由題意，得</p><p><b>　　故。</b></p><p><b>　　由得，<

85、;/b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　列表如下：</b></p><p><b>　　所以，</b></p><p>　　所以t的取值范圍為[5，32]。</p><p><b>　?。á颍?lt;

86、/b></p><p><b>　?。á螅?lt;/b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　綜上，有。</b></p><p>　?。?）（Ⅰ），同理：，。AD—AB=DB，故得，解得：。</p><p>　　因此，算出

87、的電視塔的高度H是124m。</p><p>　?。á颍┯深}設知，得，</p><p><b>　　，</b></p><p>　?。ó斍覂H當時，取等號）</p><p><b>　　故當時，最大。</b></p><p>　　因為，則，所以當時，-最大。</p>

88、<p><b>　　故所求的是m。</b></p><p>　　分析：（1）題考查的知識比較綜合，難度屬中等偏上。當遇到與其他知識結合（如函數(shù)、數(shù)列等）的不等式證明題時，要緊緊把握住函數(shù)或者數(shù)列的性質(zhì)，再聯(lián)系不等式的性質(zhì)，充分運用綜合法、分析法和放縮法等不等式證明方法去解題。當然，如（1）的第三小題這種形式（數(shù)列相關）的證明題，數(shù)學歸納法也不失為一個很好的證明途徑。</p

89、><p>　?。?）題是2010年四川的壓軸題，考查函數(shù)、反函數(shù)、方程、不等式、導數(shù)及其應用等基礎知識，考查化歸、分類整合等數(shù)學思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力。</p><p>　　數(shù)學來源于生活，來源于社會實踐，日常生活創(chuàng)造了數(shù)學，數(shù)學為日常生活服務。．近些年高考試題出現(xiàn)了一大批“以實際問題為背景，以函數(shù)為模型，以重要不等式為解題工具”的應用題。（3）題就是從日常生活中提煉出來

90、的數(shù)學題目，主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的綜合應用。</p><p><b>　　總結</b></p><p>　　解不等式題需要用到轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論的、數(shù)形結合的、函數(shù)與方程和數(shù)學建模等數(shù)學思想，以及比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法、數(shù)學歸納法、求導法和利用函數(shù)的單調(diào)性等數(shù)學方法。在解決不等式題的過程中，學生可以培養(yǎng)和提高數(shù)學邏輯思維能力、

91、推理論證能力、運算能力、建模能力、分析問題和解決問題的能力。</p><p>　　因此，不等式試題不僅能夠反映出學生對學科知識的掌握程度如何，還能衡量學生的思維能力。特別是一些不等式的綜合應用題，能夠很好地區(qū)分考生的數(shù)學思維水平，很好地發(fā)揮高考選拔評價功能。</p><p>　　在不等式的學習中，我們需要抓住高考的風向標，理清高中不等式的要點，更好地掌握課程標準所要求的相關內(nèi)容。特別是在高

92、考復習中要注意：</p><p>　　本文章節(jié)2.2已經(jīng)對近幾年高考不等式考題的分布進行了分析，直接利用不等式的基本性質(zhì)解不等式及不等式證明題是不等式試題中易得分點。此外，線性規(guī)劃屬高考?？贾R點，而且一般要求較低，也是多數(shù)考生的得分點，這類題必須把握住。</p><p>　　當然，高考一般不會單一地考查不等式。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，可互相轉(zhuǎn)化。以函數(shù)為背景的不等式題（如例題中2

93、008北京，2；2009江蘇，10；2010湖北，21；2010四川，22等題）往往立意新穎，抽象程度高。因此，強化函數(shù)與方程等數(shù)學思想在不等式中的應用訓練十分必要。我們在復習不等式時，要注意強化含參數(shù)不等式的解法與證明的訓練，同時加強以函數(shù)為載體的不等式綜合題的練習。力求在高考中不僅能夠拿下不等式基礎題，還能突破那些要求和難度較高的不等式綜合應用題。 </p><p><b>　　參考文獻</b

94、></p><p>　　浙江省高考命題咨詢委員會.浙江省高考命題解析（數(shù)學）[M]．杭州：浙江攝影出版社，2006：51． </p><p>　　中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］．北京：人民教育出版社，2003.</p><p>　　G.波利亞（涂泓，馮承天譯）.怎樣解題[M]．上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007．</p>

95、<p>　　季素月．初等數(shù)學研究教程[M]．長春：吉林科學技術出版社，2004：115-126．</p><p>　　王善臣．5年高考3年模擬（高考理數(shù)）[M]．北京：首都師范大學出版社，科學教育出版社，2010：126-143．</p><p>　　黃愛民，肖穎妮. 高考復習中不等式題型分析及解法[J].中學數(shù)學月刊，2007，（4）：9-12．</p><

96、;p>　　曾安雄.高考不等式的六大熱點[J].數(shù)理化學習(高中版)，2006，（1）:18-22.</p><p>　　王朝璇，張志峰.解讀2010年高考題中的不等式證明題[J].中學數(shù)學研究，2010，（8）：15-17.</p><p>　　孔凡哲，蘆淑坤.不等式的思想、方法及其應用[J].中學生數(shù)理化，2006（2）:4-5.</p><p>　　杜平.

97、不等式思想在解題中的應用[J].中學數(shù)學教學參考，1995，（7）:18-19.</p><p>　　蔣明斌.一個條件不等式的背景、簡證與推廣[J]. 中學數(shù)學研究，2006，（10）:13-16.</p><p>　　慕澤剛.點擊以課本習題為背景的不等式高考題[J]. 中學生數(shù)理化(高二版)， 2007，（Z1）：30-33.</p><p>　　單文海.新課程高

98、考專題復習——不等式[J].中學數(shù)學月刊，2004，(4):12-17.</p><p>　　何拓程.創(chuàng)意不斷 ?？汲Ｐ隆?007年高考不等式試題賞析[J].中學數(shù)學教學，2007，（4）：52-55.</p><p>　　趙爽.高考不等式問題分類解析[J].數(shù)學愛好者(高考版)，2007，（9）:22-23.</p><p>　　The Ohio State U

99、niversity． G. Polya and “How to Solve It!”[DB/OL].</p><p>　　http://www.physics.ohio-state.edu/~ntg/263/handouts/261polya05.pdf，2005-3-22/2010-12-15.</p><p>　　Keith Pledger&John Sylvester. Ed