4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)1

1、第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,本章要點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)的傅里葉變換LTI系統(tǒng)的頻域分析取樣定理,信號(hào)分解為正交函數(shù)與矢量分解為正交矢量類(lèi)似,一、正交矢量：,定義：如果兩個(gè)矢量 和 相互垂直，則稱(chēng) 和 為正交矢量。,設(shè)在平面上，兩個(gè)矢量 和 夾角為?， 在 上的投影為,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),其誤

2、差矢量為：,1、要用一個(gè)矢量分量去代表原矢量，當(dāng)分量是原矢量的垂直投影時(shí)，誤差矢量最?。?若用 來(lái)近似表示 ，則表達(dá)式為：,,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),,2、若從解析角度考慮c12的取值問(wèn)題，可令誤差矢量的平方最?。?C12標(biāo)志著兩個(gè)矢量相互接近的程度。,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),二、正交函數(shù)：,設(shè)在時(shí)間區(qū)間（t1，t2）內(nèi)，兩函數(shù)f1(t)，f2(t)。 用f1(t)在f2

3、(t)中的分量c12f2(t)來(lái)表示f1(t)。即：,這個(gè)概念可推廣到n維空間。,平面上任意矢量在直角坐標(biāo)系中可分解為兩個(gè)正交矢量的組合。,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),設(shè)誤差函數(shù)為：,為使f1(t)和f2(t)達(dá)到最佳近似，用均方誤差：,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),當(dāng)c12為0時(shí)，表示兩個(gè)函數(shù)正交。 c12為f1(t)與f2(t)的相關(guān)系數(shù)。由此，給出正交函數(shù)的定義：,

4、67;4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),1、 在[t1,t2]區(qū)間上定義的非零實(shí)函數(shù)f1(t)與f2(t)，若滿(mǎn)足條件：,則函數(shù)f1(t)與f2(t)為區(qū)間[t1,t2]上的正交函數(shù),2、 若 f1(t)與f2(t)是復(fù)變函數(shù)，則 f1(t)與f2(t)在[t1,t2]區(qū) 間上正交的條件是：,正交函數(shù)的定義：,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),三、正交函數(shù)集：,定義：在[t1,t2]區(qū)間上定義的n個(gè)非零實(shí)函數(shù)集 g1(t),

5、 g2(t) ,…,gn(t)，其中任意兩個(gè)函數(shù)gi(t)、 gj(t)均滿(mǎn)足：,其中，ki為常數(shù)，稱(chēng)此函數(shù)集為正交函數(shù)集,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),任意一個(gè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[t1,t2]內(nèi)，可以用這n個(gè)正交函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)近似表示：,在使近似式的均方誤差最小的情況下，可分別求得系數(shù)c1,c2,…,cn：,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),四、完備正交函數(shù)集,在區(qū)間[t1,t2

6、]內(nèi)，用正交函數(shù)集g1(t),g2(t) ,...,gn(t)，來(lái)近似表示函數(shù)f(t)，其方均誤差為 ：,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),所謂完備，是指對(duì)任意函數(shù)f(t)，都可以用一無(wú)窮級(jí)數(shù)表示：,此級(jí)數(shù)收斂于f(t)。上式即f(t)的正交分解。,§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),常用的完備正交函數(shù)集:,1、三角函數(shù)集： 函數(shù)1，cos?t,cos2?t, …,cosn?t,...,sin?t, sin2?t,… ,sin