第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

1、1,Chp12：統(tǒng)計(jì)決策理論,用不同方法可能得到多個(gè)不同的估計(jì)，哪個(gè)估計(jì)更好一些？統(tǒng)計(jì)決策理論：比較統(tǒng)計(jì)過程的形式化理論,2,損失函數(shù),損失函數(shù)：度量真值 與估計(jì) 之間的差異損失函數(shù)舉例,平方誤差損失,絕對誤差損失,損失,0-1損失,Kullback - Leibler損失,3,風(fēng)險(xiǎn)函數(shù),注意：估計(jì) 是數(shù)據(jù)的函數(shù)，有時(shí)記為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)：平均損失估計(jì) 的風(fēng)險(xiǎn)定義為對平方誤差損失，風(fēng)險(xiǎn)為MSE風(fēng)險(xiǎn)是

2、 的函數(shù)比較不同的估計(jì)，轉(zhuǎn)化為比較不同估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)但并不能清楚地回答哪個(gè)估計(jì)更好,4,風(fēng)險(xiǎn)比較,例12.3：令 ，損失函數(shù)：平方誤差損失估計(jì)1：極大斯然估計(jì)：偏差bias=0，所以,5,風(fēng)險(xiǎn)比較,例12.3（續(xù)）:估計(jì)2：貝葉斯估計(jì)，先驗(yàn)為 ，則估計(jì)為風(fēng)險(xiǎn)為當(dāng)

3、 時(shí)，,，其中,6,風(fēng)險(xiǎn)比較,,沒有一個(gè)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)在所有的p值都超過另外一個(gè),7,風(fēng)險(xiǎn)比較,風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的兩個(gè)單值概述最大風(fēng)險(xiǎn)貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)其中 為θ的先驗(yàn)。,8,風(fēng)險(xiǎn)比較,例12.5：最大風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)： ，所以根據(jù)最小最大風(fēng)險(xiǎn)， 更好一些,,9,風(fēng)險(xiǎn)比較,例12.5：貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)：先驗(yàn)為當(dāng) 時(shí)， 所以根據(jù)最小貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)， 更好一些

4、,問題：需要先驗(yàn)，尤其對復(fù)雜問題的話，確定先驗(yàn)可能很困難,,10,決策規(guī)則(Decision Rules),決策規(guī)則是估計(jì)的別名最小化貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)的決策規(guī)則稱為貝葉斯規(guī)則或貝葉斯估計(jì)，即 為對應(yīng)先驗(yàn) f 的貝葉斯估計(jì)其中下界是對所有的估計(jì) 計(jì)算最小化最大風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)稱為最小最大規(guī)則其中下界是對所有的估計(jì) 計(jì)算,11,貝葉斯估計(jì),估計(jì) 的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)：貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)與后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)：其中

5、 為X的邊緣分布 為最小化后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn) 的θ的值則 為貝葉斯估計(jì)給定一個(gè)模型（先驗(yàn)和似然）和損失函數(shù)，就可以找到貝葉斯規(guī)則,12,,,證明：,,,,,,,13,貝葉斯估計(jì),一些簡單損失函數(shù)對應(yīng)的貝葉斯規(guī)則若 ，則貝葉斯規(guī)則為后驗(yàn)均值

6、若 ，則貝葉斯規(guī)則為后驗(yàn)中值若 為0-1損失，則貝葉斯規(guī)則為后驗(yàn)眾數(shù)(MAP),14,最小最大規(guī)則,找最小最大規(guī)則、或者證明一個(gè)估計(jì)是最小最大估計(jì)是一件很困難的事情。本節(jié)主要講述一個(gè)簡單的方法：有些貝葉斯估計(jì)（風(fēng)險(xiǎn)為常數(shù)）是最小最大估計(jì)令 對應(yīng)先驗(yàn) f 的貝葉斯估計(jì)：假設(shè)則 為最小最大估計(jì)，且f 稱為最小受歡迎先驗(yàn)( least favorabl

7、e prior)。上述結(jié)論一個(gè)簡單的結(jié)論：如果一個(gè)貝葉斯規(guī)則的風(fēng)險(xiǎn)為常數(shù) ，則它是最小最大估計(jì)。,15,正態(tài)分布的最小最大規(guī)則,定理12.14：令 ，則 是關(guān)于任意損失函數(shù)的最小最大規(guī)則且這是唯一有此性質(zhì)的估計(jì),16,MLE為近似最小最大估計(jì),對滿足弱正則條件的參數(shù)模型，極大似然估計(jì)近似為最小最大估計(jì)。對均方誤差損失，通常

8、根據(jù)Cramer-Rao 不等式，這是所有無偏估計(jì)的方差的下界。,17,MLE為近似最小最大估計(jì),因此對所有估計(jì) ，有對大數(shù)n， MLE為近似最小最大估計(jì)。因此，對大多數(shù)參數(shù)模型，當(dāng)有大量樣本時(shí)，MLE近似為最小最大估計(jì)和貝葉斯估計(jì)。Many Normal Means 情況不成立（不是大樣本）,18,可接受性(Admissibility),一個(gè)估計(jì)如果在θ所有值上都比其它估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)大，則該估計(jì)不是我們所希望的。如

9、果存在一個(gè)其它的規(guī)則 ，使得則該估計(jì) 是不可接受的。否則， 是可接受的。,19,貝葉斯規(guī)則是可接受性,可接受性是與其他表示估計(jì)好壞的方法有何關(guān)系？在一些正則條件下，如果 為貝葉斯規(guī)則且有有限風(fēng)險(xiǎn)，則它是可接受的。定理12.20：令 ，在均方誤差損失下， 是可接受的。風(fēng)險(xiǎn)為,20,可接受性,如果 的風(fēng)險(xiǎn)為常數(shù)且是可接受的，則它是

10、最小最大估計(jì)。定理12.22：令 ，在均方誤差損失下， 是最小最大估計(jì)。風(fēng)險(xiǎn)為雖然最小最大估計(jì)不能保證是可接受的，但它是“接近可接受的”。,21,多正態(tài)均值(Many Normal Means),Many Normal Means是一個(gè)原型問題，與一般的非參數(shù)估計(jì)問題等價(jià)。對這個(gè)問題，以前許多關(guān)于極大似然估計(jì)的正面的結(jié)論都不再滿足。令

11、 ， 表示數(shù)據(jù)， 表示未知參數(shù)，c>0，這里參數(shù)的數(shù)目與觀測數(shù)據(jù)的數(shù)目一樣多,22,Many Normal Means,MLE為 ，損失函數(shù)為

12、MLE的風(fēng)險(xiǎn)為最小最大估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)近似為 ，且存在這樣一個(gè)估計(jì) 能達(dá)到該風(fēng)險(xiǎn)。 ? 存在風(fēng)險(xiǎn)比MLE更小的估計(jì)，因此MLE是不可接受的。因此對高維問題或非參數(shù)問題，MLE并不是最優(yōu)估計(jì)。另外在非參數(shù)場合，MLE的魯棒性也不是很好。,,23,底線,根據(jù)這些工具，怎樣選擇估計(jì)呢？如果一個(gè)估計(jì)是不可接受的，則該估計(jì)一定是不好的。如果你信仰