第一章概率統(tǒng)計基礎(chǔ)

1、1,Chp12：統(tǒng)計決策理論,用不同方法可能得到多個不同的估計，哪個估計更好一些？統(tǒng)計決策理論：比較統(tǒng)計過程的形式化理論,2,損失函數(shù),損失函數(shù)：度量真值 與估計 之間的差異損失函數(shù)舉例,平方誤差損失,絕對誤差損失,損失,0-1損失,Kullback - Leibler損失,3,風險函數(shù),注意：估計 是數(shù)據(jù)的函數(shù)，有時記為風險函數(shù)：平均損失估計 的風險定義為對平方誤差損失，風險為MSE風險是

2、 的函數(shù)比較不同的估計，轉(zhuǎn)化為比較不同估計的風險但并不能清楚地回答哪個估計更好,4,風險比較,例12.3：令 ，損失函數(shù)：平方誤差損失估計1：極大斯然估計：偏差bias=0，所以,5,風險比較,例12.3（續(xù)）:估計2：貝葉斯估計，先驗為 ，則估計為風險為當

3、 時，,，其中,6,風險比較,,沒有一個估計的風險在所有的p值都超過另外一個,7,風險比較,風險函數(shù)的兩個單值概述最大風險貝葉斯風險其中 為θ的先驗。,8,風險比較,例12.5：最大風險函數(shù)： ，所以根據(jù)最小最大風險， 更好一些,,9,風險比較,例12.5：貝葉斯風險：先驗為當 時， 所以根據(jù)最小貝葉斯風險， 更好一些

4、,問題：需要先驗，尤其對復雜問題的話，確定先驗可能很困難,,10,決策規(guī)則(Decision Rules),決策規(guī)則是估計的別名最小化貝葉斯風險的決策規(guī)則稱為貝葉斯規(guī)則或貝葉斯估計，即 為對應先驗 f 的貝葉斯估計其中下界是對所有的估計 計算最小化最大風險的估計稱為最小最大規(guī)則其中下界是對所有的估計 計算,11,貝葉斯估計,估計 的后驗風險：貝葉斯風險與后驗風險：其中

5、 為X的邊緣分布 為最小化后驗風險 的θ的值則 為貝葉斯估計給定一個模型（先驗和似然）和損失函數(shù)，就可以找到貝葉斯規(guī)則,12,,,證明：,,,,,,,13,貝葉斯估計,一些簡單損失函數(shù)對應的貝葉斯規(guī)則若 ，則貝葉斯規(guī)則為后驗均值

6、若 ，則貝葉斯規(guī)則為后驗中值若 為0-1損失，則貝葉斯規(guī)則為后驗眾數(shù)(MAP),14,最小最大規(guī)則,找最小最大規(guī)則、或者證明一個估計是最小最大估計是一件很困難的事情。本節(jié)主要講述一個簡單的方法：有些貝葉斯估計（風險為常數(shù)）是最小最大估計令 對應先驗 f 的貝葉斯估計：假設(shè)則 為最小最大估計，且f 稱為最小受歡迎先驗( least favorabl

7、e prior)。上述結(jié)論一個簡單的結(jié)論：如果一個貝葉斯規(guī)則的風險為常數(shù) ，則它是最小最大估計。,15,正態(tài)分布的最小最大規(guī)則,定理12.14：令 ，則 是關(guān)于任意損失函數(shù)的最小最大規(guī)則且這是唯一有此性質(zhì)的估計,16,MLE為近似最小最大估計,對滿足弱正則條件的參數(shù)模型，極大似然估計近似為最小最大估計。對均方誤差損失，通常

8、根據(jù)Cramer-Rao 不等式，這是所有無偏估計的方差的下界。,17,MLE為近似最小最大估計,因此對所有估計 ，有對大數(shù)n， MLE為近似最小最大估計。因此，對大多數(shù)參數(shù)模型，當有大量樣本時，MLE近似為最小最大估計和貝葉斯估計。Many Normal Means 情況不成立（不是大樣本）,18,可接受性(Admissibility),一個估計如果在θ所有值上都比其它估計的風險大，則該估計不是我們所希望的。如

9、果存在一個其它的規(guī)則 ，使得則該估計 是不可接受的。否則， 是可接受的。,19,貝葉斯規(guī)則是可接受性,可接受性是與其他表示估計好壞的方法有何關(guān)系？在一些正則條件下，如果 為貝葉斯規(guī)則且有有限風險，則它是可接受的。定理12.20：令 ，在均方誤差損失下， 是可接受的。風險為,20,可接受性,如果 的風險為常數(shù)且是可接受的，則它是

10、最小最大估計。定理12.22：令 ，在均方誤差損失下， 是最小最大估計。風險為雖然最小最大估計不能保證是可接受的，但它是“接近可接受的”。,21,多正態(tài)均值(Many Normal Means),Many Normal Means是一個原型問題，與一般的非參數(shù)估計問題等價。對這個問題，以前許多關(guān)于極大似然估計的正面的結(jié)論都不再滿足。令

11、 ， 表示數(shù)據(jù)， 表示未知參數(shù)，c>0，這里參數(shù)的數(shù)目與觀測數(shù)據(jù)的數(shù)目一樣多,22,Many Normal Means,MLE為 ，損失函數(shù)為

12、MLE的風險為最小最大估計的風險近似為 ，且存在這樣一個估計 能達到該風險。 ? 存在風險比MLE更小的估計，因此MLE是不可接受的。因此對高維問題或非參數(shù)問題，MLE并不是最優(yōu)估計。另外在非參數(shù)場合，MLE的魯棒性也不是很好。,,23,底線,根據(jù)這些工具，怎樣選擇估計呢？如果一個估計是不可接受的，則該估計一定是不好的。如果你信仰