第三章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型多元回歸

1、第三章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：多元線性回歸模型,多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的預測回歸模型的其他形式回歸模型的參數(shù)約束,§3.1 多元線性回歸模型,一、多元線性回歸模型 二、多元線性回歸模型的基本假定,一、多元線性回歸模型,多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。 一般表現(xiàn)形式：,i=1,2…,n,其中:k為解釋變量的數(shù)目，?j稱

2、為回歸參數(shù)（regression coefficient）。,也被稱為總體回歸函數(shù)的隨機表達形式。它 的非隨機表達式為:,表示：各變量X值固定時Y的平均響應。,習慣上：把常數(shù)項看成為一虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。于是：模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）,總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式為:,其中,?j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，X j每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化;

3、 或者說?j給出了X j的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。,用來估計總體回歸函數(shù)的樣本回歸函數(shù)為：,其隨機表示式:,ei稱為殘差或剩余項(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項?i的近似替代。 樣本回歸函數(shù)的矩陣表達:,或,其中：,二、多元線性回歸模型的基本假定,假設1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關（無多重共線性）。 假設2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列

4、相關性。,假設3，解釋變量與隨機項不相關,假設4，隨機項滿足正態(tài)分布,上述假設的矩陣符號表示 式：,假設1，n?(k+1)矩陣X是非隨機的，且X的秩?=k+1，即X滿秩。 假設2，,假設4，向量? 有一多維正態(tài)分布，即,同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設： 假設5，樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n?∞時，,假設3，E(X’?)=0，即,其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差

5、為元素組成的n?k階矩陣,假設6，回歸模型的設定是正確的。,或,§3.2 多元線性回歸模型的估計,一、普通最小二乘估計 *二、最大或然估計 *三、矩估計 四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 五、樣本容量問題 六、估計實例,說 明,估計方法：3大類方法：OLS、ML或者MM在經(jīng)典模型中多應用OLS在非經(jīng)典模型中多應用ML或者MM在本節(jié)中， ML與MM為選學內(nèi)容,一、普通最小二乘估計,對于隨機抽取的n組觀測值,如果樣本函

6、數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有：,i=1,2…n,根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計值應該是右列方程組的解,其中,于是得到關于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組：,,,□正規(guī)方程組的矩陣形式,即,由于X’X滿秩，故有,將上述過程用矩陣表示如下：,即求解方程組：,得到：,于是：,例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消費支出例中，,可求得：,于是：,?正規(guī)方程組 的另一種寫法,對于正規(guī)方程組,于是,或,(*)或（**）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組的另一種

7、寫法。,(*),(**),,?樣本回歸函數(shù)的離差形式,i=1,2…n,其矩陣形式為：,其中 ：,在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為,?隨機誤差項?的方差?的無偏估計,可以證明，隨機誤差項?的方差的無偏估計量為：,*二、最大或然估計,對于多元線性回歸模型,易知,Y的隨機抽取的n組樣本觀測值的聯(lián)合概率,對數(shù)或然函數(shù)為,對對數(shù)或然函數(shù)求極大值，也就是對,求極小值。,即為變量Y的或然函數(shù),因此，參數(shù)的最大或然估計為,結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘

8、估計相同,*三、矩估計（Moment Method, MM）,OLS估計是通過得到一個關于參數(shù)估計值的正規(guī)方程組,并對它進行求解而完成的。,該正規(guī)方程組 可以從另外一種思路來導:,求期望 :,稱為原總體回歸方程的一組矩條件，表明了原總體回歸方程所具有的內(nèi)在特征。,矩方法是工具變量方法(Instrumental Variables,IV)和廣義矩估計方法(Generalized Moment Method, GMM)的基礎,在矩方法中利用

9、了關鍵是 E(X’?)=0,如果某個解釋變量與隨機項相關，只要能找到1個工具變量，仍然可以構成一組矩條件。這就是IV。 如果存在＞k+1個變量與隨機項不相關，可以構成一組包含＞k+1方程的矩條件。這就是GMM。,四、參數(shù)估計量的性質(zhì),在滿足基本假設的情況下，其結(jié)構參數(shù)?的普通最小二乘估計、最大或然估計及矩估計仍具有： 線性性、無偏性、有效性。,同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有：

10、 漸近無偏性、漸近有效性、一致性。,1、線性性,其中,C=(X’X)-1 X’ 為一僅與固定的X有關的行向量,2、無偏性,3、有效性（最小方差性）,這里利用了假設: E(X’?)=0,其中利用了,和,五、樣本容量問題,所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。,⒈ 最小樣本容量,樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即

11、 n ≥ k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1,2、滿足基本要求的樣本容量,從統(tǒng)計檢驗的角度： n?30 時，Z檢驗才能應用； n-k≥8時, t分布較為穩(wěn)定,一般經(jīng)驗認為: 當n≥30或者至少n≥3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。,模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明,六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例,例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中國居民人均消費

12、一元線性模型。這里我們再考慮建立多元線性模型。,解釋變量：人均GDP：GDPP 前期消費：CONSP(-1),估計區(qū)間：1979~2000年,Eviews軟件估計結(jié)果,§3.3 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗,一、擬合優(yōu)度檢驗 二、方程的顯著性檢驗(F檢驗) 三、變量的顯著性檢驗（t檢驗） 四、參數(shù)的置信區(qū)間,一、擬合優(yōu)度檢驗,1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù),則,總離差平方和

13、的分解,由于:,=0,所以有：,注意：一個有趣的現(xiàn)象,,可決系數(shù),該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。,問題：在應用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量， R2往往增大（Why?) 這就給人一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可?！?但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關，R2需調(diào)整。,調(diào)整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of determination

14、）,在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:,其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。,*2、赤池信息準則和施瓦茨準則,為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有: 赤池信息準則（Akaike information criterion, AIC）,施瓦茨準則（Schwa

15、rz criterion，SC）,這兩準則均要求僅當所增加的解釋變量能夠減少AIC值或AC值時才在原模型中增加該解釋變量。,Eviews的估計結(jié)果顯示： 中國居民消費一元例中： AIC=6.68 AC=6.83 中國居民消費二元例中： AIC=7.09 AC=7.19從這點看，可以說前期人均居民消費CONSP(-1)應包括在模型中。,二、方程的顯著性檢驗(F檢驗),方程的顯

16、著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。,1、方程顯著性的F檢驗,即檢驗模型 Yi=?0+?1X1i+?2X2i+ ? +?kXki+?i i=1,2, ?,n中的參數(shù)?j是否顯著不為0。,可提出如下原假設與備擇假設：,H0： ?0=?1=?2= ? =?k=0 H1： ?j不全為0,F檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式：

17、 TSS=ESS+RSS,如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關系，反之總體上可能不存在線性關系。 因此,可通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷。,根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設H0成立的條件下，統(tǒng)計量,服從自由度為(k , n-k-1)的F分布。,給定顯著性水平?，可得到臨界值F?(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過 F? F?(k,n-k-1)

18、 或 F≤F?(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，以判定原方程總體上的線性關系是否顯著成立。,對于中國居民人均消費支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3,給定顯著性水平? =0.05，查分布表，得到臨界值： 一元例：F?(1,21)=4.32 二元例： F?(2,19)=3.52,顯然有 F? F?(k,n-k-1) ，即二個模型的線性關系在95%的水平下顯著成

19、立。,2、關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論,由,可推出：,與,或,在中國居民人均收入—消費一元模型中，,在中國居民人均收入—消費二元模型中，,三、變量的顯著性檢驗（t檢驗）,方程的總體線性關系顯著?每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。 因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗是由對變量的 t 檢驗完成的。,1、t統(tǒng)計量,由于,以cii表示矩陣(X’X)-1 主對角

20、線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為：,其中?2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替:,因此，可構造如下t統(tǒng)計量,2、t檢驗,設計原假設與備擇假設：,H1：?i?0,給定顯著性水平?，可得到臨界值t?/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t的數(shù)值，通過 |t|? t?/2(n-k-1) 或 |t|≤t?/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，從而判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。,H0：?i=0

21、 （i=1,2…k）,注意：一元線性回歸中，t檢驗與F檢驗一致,一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設H0：?1=0 進行檢驗; 另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系：,在中國居民人均收入-消費支出二元模型例中，由應用軟件計算出參數(shù)的t值：,給定顯著性水平?=0.05，查得相應臨界值： t0.025(19) =2.093。,可見，計算的所有t值都大于該臨界值，所以拒絕原假設。即:包括常數(shù)項在內(nèi)的3個解釋變量都在95

22、%的水平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗。,四、參數(shù)的置信區(qū)間,參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多“近”。 在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：,容易推出：在(1-?)的置信水平下?i的置信區(qū)間是,其中，t?/2為顯著性水平為? 、自由度為n-k-1的臨界值。,在中國居民人均收入－消費支出二元模型例中,給定?=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093,計算得參數(shù)的置信區(qū)間：

23、 ?0 ：(44.284, 197.116) ?1 ： (0.0937, 0.3489 ) ?2 ：(0.0951, 0.8080),從回歸計算中已得到：,如何才能縮小置信區(qū)間？,增大樣本容量n，因為在同樣的樣本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減??； 提高模型

24、的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。,提高樣本觀測值的分散度,一般情況下，樣本觀測值越分散，(X’X)-1的分母的|X’X|的值越大，致使區(qū)間縮小。,§3.4 多元線性回歸模型的預測,一、E(Y0)的置信區(qū)間 二、Y0的置信區(qū)間,對于模型,給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解釋變量的預測值：,它可以是總體均值E(Y0)或個

25、值Y0的預測。 但嚴格地說，這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。 為了進行科學預測，還需求出預測值的置信區(qū)間，包括E(Y0)和Y0的置信區(qū)間。,一、E(Y0)的置信區(qū)間,易知,容易證明,于是，得到(1-?)的置信水平下E(Y0)的置信區(qū)間：,其中，t?/2為(1-?)的置信水平下的臨界值。,二、Y0的置信區(qū)間,如果已經(jīng)知道實際的預測值Y0，那么預測誤差為：,容易證明,e0服從正態(tài)分布，即,構造t統(tǒng)計量

26、,可得給定(1-?)的置信水平下Y0的置信區(qū)間：,中國居民人均收入-消費支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元，,于是人均居民消費的預測值為 ?2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元）,實測值（90年價）=1782.2元，相對誤差：-0.31%,預測的置信區(qū)間 ：,于是E(?2001）的95%的置信區(qū)間為:,或 （1

27、741.8，1811.7）,或 （1711.1, 1842.4）,同樣，易得?2001的95%的置信區(qū)間為,§3.5 回歸模型的其他函數(shù)形式,一、模型的類型與變換 二、非線性回歸實例,說 明,在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關系是復雜的，直接表現(xiàn)為線性關系的情況并不多見。如著名的恩格爾曲線(Engle curves)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟學中的菲利普斯曲線（Pillips cuves

28、）表現(xiàn)為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單的數(shù)學處理，使之化為數(shù)學上的線性關系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。,一、模型的類型與變換,1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法,例如，描述稅收與稅率關系的拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c<0 s：稅收； r：稅率,

29、設X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c<0,2、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法,例如，Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)：冪函數(shù) Q = AK?L?Q：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動,方程兩邊取對數(shù)： ln

30、Q = ln A + ? ln K + ? ln L,3、復雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法,方程兩邊取對數(shù)后，得到：,(?1+?2=1),Q:產(chǎn)出量，K：資本投入，L：勞動投入 ?：替代參數(shù)， ?1、?2：分配參數(shù),例如，常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù),將式中l(wèi)n(?1K-? + ?2L-?)在?=0處展開臺勞級數(shù),取關于?的線性項，即得到一個線性近似式。,如取0階、1階、2階項，可得:,二、非線性回歸實例,例3.5.1 建立中國

31、城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數(shù)模型。,根據(jù)需求理論，居民對食品的消費需求函數(shù)大致為:,Q:居民對食品的需求量，X：消費者的消費支出總額P1：食品價格指數(shù)，P0：居民消費價格總指數(shù)。,(*),零階齊次性，當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變,(**),為了進行比較，將同時估計（*）式與（**）式。,根據(jù)恩格爾定律，居民對食品的消費支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)的變化關系:,首先,確定具體的函數(shù)形式,對數(shù)變換:,(***

32、),考慮到零階齊次性時,(****)式也可看成是對（***）式施加如下約束而得:,因此，對（****）式進行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。,(****),X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數(shù)FP：居民食品消費價格指數(shù)XC：人均消費（90年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數(shù)（1990=100）P：居民食品消費價格縮減指數(shù)（1990=100,中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費,特征：

33、消費行為在1981~1995年間表現(xiàn)出較強的一致性；1995年之后呈現(xiàn)出另外一種變動特征。,建立1981~1994年中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費需求模型:,(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34),按零階齊次性表達式回歸:,（75.86）(52.66) (-3.62),為了比較，改寫該式為：,與,接近。,意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征。

34、,§3.6 受約束回歸,一、模型參數(shù)的線性約束 二、對回歸模型增加或減少解釋變量 三、參數(shù)的穩(wěn)定性 *四、非線性約束,說 明,在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟理論需要對模型中的參數(shù)施加一定的約束條件。例如：——需求函數(shù)的0階齊次性條件——生產(chǎn)函數(shù)的1階齊次性條件模型施加約束條件后進行回歸，稱為受約束回歸（restricted regression）;未加任何約束的回歸稱為無約束回歸（unrestricted

35、regression）。,一、模型參數(shù)的線性約束,例如對模型:,施加約束:,得:,或:,(*),(**),如果對（**）式回歸得出:,則由約束條件可得：,然而，對所考查的具體問題能否施加約束？需進一步進行相應的檢驗。常用的檢驗有：F檢驗、x2檢驗與t檢驗。,F檢驗,在同一樣本下，記無約束樣本回歸模型為:,受約束樣本回歸模型為:,于是:,受約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSR,于是,e’e為無約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSU,(*),

36、受約束與無約束模型都有相同的TSS,,這意味著，通常情況下，對模型施加約束條件會降低模型的解釋能力。 但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR 與 RSSU的差異變小。,由（*）式 RSSR ≥ RSSU從而 ESSR ≤ ESSU,可用RSSR - RSSU的大小來檢驗約束的真實性,根據(jù)數(shù)

37、理統(tǒng)計學的知識：,于是：,討論： 如果約束條件無效， RSSR 與 RSSU的差異較大，計算的F值也較大。,于是，可用計算的F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。,注意，kU - kR恰為約束條件的個數(shù)。,例3.6.1 中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求實例中，對零階齊次性檢驗：,無約束回歸:RSSU=0.00324， kU=3 受約束回歸:RSSR=0.00332， K

38、R=2 樣本容量n=14， 約束條件個數(shù)kU - kR=3-2=1,取?=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96結(jié)論：不能拒絕中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設。,這里的F檢驗適合所有關于參數(shù)線性約束的檢驗,如：多元回歸中對方程總體線性性的F檢驗： H0： ?j=0 j=1,2,…,k,這里：受約束回歸模型為,這里，運用了ESSR ＝0。,

39、二、對回歸模型增加或減少解釋變量,考慮如下兩個回歸模型,(*),(**),(*)式可看成是（**）式的受約束回歸：,H0：,相應的Ｆ統(tǒng)計量為：,Ｆ統(tǒng)計量的另一個等價式,如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1, …, Xk+q對Ｙ沒有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較??； 否則，約束條件為假，意味著額外的變量對Ｙ有較強的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較大。 因此，可通過F的計算值與臨界值的比較，來判斷額外變量是否應包括在模型中

40、。,討論：,三、參數(shù)的穩(wěn)定性,1、鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗,建立模型時往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的結(jié)構不變，這將提高模型的預測與分析功能。如何檢驗？,假設需要建立的模型為,在兩個連續(xù)的時間序列（1,2,…，n1）與（n1+1,…，n1+n2）中，相應的模型分別為：,合并兩個時間序列為( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )，則可寫出如下無約束回歸模型,如果?=?，表示沒有發(fā)生結(jié)構變化，因此可針對如下假設進行檢驗：

41、 H0: ?=?(*)式施加上述約束后變換為受約束回歸模型,(*),（**）,因此，檢驗的F統(tǒng)計量為：,記RSS1與RSS2為在兩時間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗證，,于是,參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗步驟：,（1）分別以兩連續(xù)時間序列作為兩個樣本進行回歸，得到相應的殘差平方： RSS1與RSS2 （2）將兩序列并為一個大樣本后進行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR,（3）計算F統(tǒng)計量的值，與臨界值比較：

42、 若F值大于臨界值，則拒絕原假設，認為發(fā)生了結(jié)構變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。 該檢驗也被稱為鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗（Chow test for parameter stability）。,2、鄒氏預測檢驗,上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗要求n2>k。 如果出現(xiàn)n2<k ，則往往進行如下的鄒氏預測檢驗（Chow test for predictive failure）。,鄒氏預測檢驗的基本思想: 先用前

43、一時間段n1個樣本估計原模型，再用估計出的參數(shù)進行后一時間段n2個樣本的預測。,如果預測誤差較大，則說明參數(shù)發(fā)生了變化，否則說明參數(shù)是穩(wěn)定的。,分別以?、? 表示第一與第二時間段的參數(shù)，則:,其中，,,(*),如果? =0，則 ? = ?，表明參數(shù)在估計期與預測期相同,(*)的矩陣式：,可見，用前n1個樣本估計可得前k個參數(shù)?的估計，而?是用后n2個樣本測算的預測誤差X2(? - ?),(**),如果參數(shù)沒有發(fā)生變化，則?=0，矩陣式簡

44、化為,(***),（***）式與（**）式,這里：KU - KR=n2 RSSU=RSS1,分別可看成受約束與無約束回歸模型，于是有如下F檢驗：,第一步，在兩時間段的合成大樣本下做OLS回歸，得受約束模型的殘差平方和RSSR ； 第二步，對前一時間段的n1個子樣做OLS回歸，得殘差平方和RSS1 ； 第三步，計算檢驗的F統(tǒng)計量，做出判斷：,鄒氏預測檢驗步驟：,給定顯著性水平?，查F分布表，得臨界值F?

45、(n2, n1-k-1)，如果 F>F(n2, n1-k-1) ，則拒絕原假設，認為預測期發(fā)生了結(jié)構變化。,例3.6.2 中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒氏檢驗。,1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗,1981~1994：,RSS1=0.003240,1995~2001：,(9.96) (7.14) (-5.13) (1.81),1981~2001:,(14.83) (27.26)

46、(-3.24) (-11.17),給定?=5%，查表得臨界值F0.05(4, 13)=3.18,結(jié)論：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在1994年前后發(fā)生了顯著變化。,2、鄒氏預測檢驗,給定?=5%，查表得臨界值F0.05(7, 10)=3.18 結(jié)論： F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設,*四、非線性約束,也可對模型參數(shù)施加非線性約束,如對模型,施加非線性約束

47、?1?2=1,得到受約束回歸模型:,該模型必須采用非線性最小二乘法（nonlinear least squares）進行估計。 非線性約束檢驗是建立在最大似然原理基礎上的,有最大似然比檢驗、沃爾德檢驗與拉格朗日乘數(shù)檢驗.,1、最大似然比檢驗 (likelihood ratio test, LR),估計:無約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法:最大似然法， 檢驗:兩個似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。,

48、記L(?,?2)為一似然函數(shù):無約束回歸 : Max:,受約束回歸 : Max:,約束：g(?)=0,或求極值：,g(?):以各約束條件為元素的列向量, ?’：以相應拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量,受約束的函數(shù)值不會超過無約束的函數(shù)值，但如果約束條件為真，則兩個函數(shù)值就非?！敖咏?。,由此，定義似然比（likelihood ratio）:,如果比值很小，說明兩似然函數(shù)值差距較大，則應拒絕約束條件為真的假設； 如果比值

49、接近于１，說明兩似然函數(shù)值很接近，應接受約束條件為真的假設。,具體檢驗時，由于大樣本下：,h是約束條件的個數(shù)。因此：通過LR統(tǒng)計量的?2分布特性來進行判斷。,在中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費需求例中，對零階齊次性的檢驗：,LR= -2(38.57-38.73)=0.32,給出?=5%、查得臨界值?20.05(1)＝3.84， LR< ?20.05(1),不拒絕原約束的假設， 結(jié)論:中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)滿足零階

50、齊次性條件。,２、沃爾德檢驗（Wald test, W）,沃爾德檢驗中，只須估計無約束模型。如對,在所有古典假設都成立的條件下，容易證明,因此，在?1+?2=1的約束條件下:,記,可建立沃爾德統(tǒng)計量:,如果有h個約束條件，可得到h個統(tǒng)計量z1,z2,…,zh 約束條件為真時，可建立大樣本下的服從自由度為h的漸近?2 分布統(tǒng)計量:,其中，Z為以zi為元素的列向量，C是Z的方差-協(xié)方差矩陣。因此，W從總體上測量了無約束回歸不滿足約

51、束條件的程度。對非線性約束，沃爾德統(tǒng)計量W的算法描述要復雜得多。,3、拉格朗日乘數(shù)檢驗,拉格朗日乘數(shù)檢驗則只需估計受約束模型. 受約束回歸是求最大似然法的極值問題:,?’是拉格朗日乘數(shù)行向量，衡量各約束條件對最大似然函數(shù)值的影響程度。,如果某一約束為真，則該約束條件對最大似然函數(shù)值的影響很小，于是，相應的拉格朗日乘數(shù)的值應接近于零。 因此，拉格朗日乘數(shù)檢驗就是檢驗某些拉格朗日乘數(shù)的值是否“足夠大”，如果“足

52、夠大”，則拒絕約束條件為真的假設。,拉格朗日統(tǒng)計量LM本身是一個關于拉格朗日乘數(shù)的復雜的函數(shù)，在各約束條件為真的情況下，服從一自由度恰為約束條件個數(shù)的漸近?2分布。,同樣地，如果為線性約束，LM服從一精確的?2分布：,(*),n為樣本容量，R2為如下被稱為輔助回歸（auxiliary regression）的可決系數(shù):,如果約束是非線性的，輔助回歸方程的估計比較復雜，但仍可按（*）式計算LM統(tǒng)計量的值。 最后，一般地有:LM≤LR