在職工程碩士gct_數(shù)學(xué)__第14章行列式

1、線性代數(shù),● 行列式,● 向量,● 線性方程組,● 矩陣,● 矩陣的特征值和特征向量,第1章 行列式（特定的算式）,一、行列式的概念,二、行列式的性質(zhì),三、行列式的計(jì)算,第1章 行列式,一、行列式的概念,1. 2階和3階行列式,行列式的元素,行列式的主對(duì)角線,行列式的次對(duì)角線,例,★ ★ ★共3!項(xiàng)的代數(shù)和,2. n階行列式,共n!項(xiàng)的代數(shù)和,● 特別：,一階行列式,,,,,,,,,,,,,▽,★★ 3. 幾種特殊的行列式

2、★ ★ ★,（對(duì)角行列式）,（上三角行列式）,（下三角行列式）,例,★ 特別：,二、行列式的性質(zhì)★ ★ ★,設(shè),● 的轉(zhuǎn)置行列式：,1、,即行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。,2、,即提公因子 。,推論：如果行列式中某行（列）元素全為0，,則此行列式的值為0。,3、若互換行列式的任意兩行（列），則行列式,的值改變符號(hào)。,推論1 若行列式中有兩行（列）元素完全相同，則此,行列式的值為0。,推論2 若行列式中有兩行（列）元素成比例，則此,

3、行列式的值為0。,★ 例 設(shè)行列式,則行列式,（ ）,C,A.,B.,C.,D.,（04年）,4、行列式中把某一行（列）的 倍加到另一行,對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變。,例,★ 5、,（對(duì)列也有同樣的性質(zhì)）,例 計(jì)算行列式,解 原式,（多種方法）,補(bǔ),如果 則,,,的值為（ ）.,解法一 原式,A.,B.,C.,D.,C,解法二,用性質(zhì)4，把相同的部分抵

4、消掉★ ★ ★,,★ 補(bǔ)★ ★ ★,不恒為零的函數(shù),（ ）,A. 沒(méi)有零點(diǎn),B. 至多有一個(gè)零點(diǎn),C. 恰有兩個(gè)零點(diǎn),D. 恰有3個(gè)零點(diǎn),（09年）,,,解法一,不確定,可排除 C，D,若取,則 是 的零點(diǎn)。,故排除A , 選B.,B,函數(shù) 的零點(diǎn),方程 的根,曲線 與 軸的交點(diǎn)（的橫坐標(biāo)）,,,★,,,,,,,,,（按第一列拆開(kāi)）,

5、為一次函數(shù)，,其圖像與 軸最多一個(gè)交點(diǎn)。,法二,,三、行列式的計(jì)算★ ★ ★,1. 化為上三角行列式,（觀察上三角行列式列的特點(diǎn)）,● 基本方法有兩種,,,化為上三角行列式,按某行（列）展開(kāi)（降階法）,例 計(jì)算行列式,解 原式,例 計(jì)算行列式,解 原式,▽ 提示,▽,2、按某行（列）展開(kāi) （降階法）,元素 的余子式：,元素 的代數(shù)余子式：,,● 行列式中每個(gè)元素都有余子式、代數(shù)余子式 .,● 元素

6、 的余子式、代數(shù)余子式的值與元素,本身的值無(wú)關(guān)，而只與 所在的位置有關(guān)。,● n階行列式中，每個(gè)元素的余子式、代數(shù)余子式是,一個(gè)n-1階行列式。,▽,例 求行列式 的第二行第一列元素的,代數(shù)余子式,,或,.,定理 行列式可按任意一行（列) 展開(kāi)。,★2、按某行（列）展開(kāi)（降階法）,（若 ，則,行列式,例1 計(jì)算行列式,解法一（按第一行展開(kāi)）,原式,解法二（按第二行展開(kāi)）,原式,▽,

7、例2 計(jì)算行列式,解 原式,,,● 用此法時(shí)，通常先初步選定一個(gè)好的行（列），,先用行列式的性質(zhì)把選好的行（列）化為只剩一個(gè),元素不為零，然后再按此行（列）展開(kāi)。,★ ★● ●三階行列式的計(jì)算一定要非常熟練 ! ! !,總結(jié)★ ★ ★,例3 計(jì)算行列式,解 原式,,,,,例4 計(jì)算行列式,解法二 原式,例 已知四階行列式 ，其第3列元素分別為,它們對(duì)應(yīng)的余子式分別為 ，則行列式 （ ）

8、,A.,B.,C.,D.,B,解,余子式,,代數(shù)余子式,推論：,行列式中某行元素與另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù),余子式乘積之和等于0.,（對(duì)列也適合）,例,（證明：,設(shè),,則,又 把 按第三行展開(kāi) 得,故,▽,補(bǔ)重要,設(shè) ，則,,.,解,法一,分別求出,法二,,法三,,,可看成,補(bǔ)重要,設(shè) ，則,=（ ）.,A.,B.,C.,D.,解,

9、,A,法一,分別求出,法二,提示！,3、應(yīng)用公式,①,②,③,特點(diǎn)：,0元素集中在左下角或右上角。,范德蒙行列式,▽,▽,范德蒙行列式,③,,▽,補(bǔ),設(shè) ，則,,. ★ ★ ★,解,（0元素較多，但不集中）,,,▽,D,例,A.,B.,C.,D.,（ ） ★ ★ ★.,解,,,補(bǔ),（ ）.,A.,B.,C.,D.,C,解,此行列式為范德蒙行列式,▽,補(bǔ)★ ★ ★,

10、方程 ，根的個(gè)數(shù),為（ ）.,C,A.,B.,C.,D.,解,此行列式轉(zhuǎn)置后為一范德蒙行列式,,行列式,故 方程有4個(gè)根.,▽,4、其它行列式的計(jì)算★ ★ ★,★★例 計(jì)算行列式,解,特點(diǎn)：,每行元素的和都相等,原式,例 方程 的根為（ ）.,A.,B.,C

11、.,D.,C,解,每行元素的和都相等,行列式,方程的根為 .,▽,★★例 行列式,解,特點(diǎn)：,每行元素的和都相等,（ ）.,,,,A.,B.,C.,D.,C,,,,★例 設(shè) 是方程 的三個(gè)根，,解,則行列式 的值等于（ ）.,A.,B.,C.,D.,B,（05年）,關(guān)鍵求出,經(jīng)觀察知，

12、 是方程 的根,,,不妨設(shè),則另兩根的和為：,故,,,,從而行列式的值為0.,法一,法二,是方程 的三個(gè)根,比較系數(shù) 得,故 行列式的值為0.,▽,★★例 行列式 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）,D,（07年）,A.,B.,C.,D.,解,設(shè),在上式中，令

13、 得,★例 行列式 展開(kāi)式中 的系數(shù),A,（03年）,A.,B.,C.,D.,是（ ）.,解,法一,（解此類(lèi)題的常用方法）,(展開(kāi) 想象),+,,行列式,,,故 的系數(shù)為2.,法二,展開(kāi)式中含 的項(xiàng)即次對(duì)角線上元素的乘積.,補(bǔ),方程 的實(shí)數(shù)根的,個(gè)

14、數(shù)是（ ）.,B,A.,B.,C.,D.,解,,,行列式,第2、3列均減去第一列，并……,方程只有一個(gè)實(shí)根。,,常數(shù)！,補(bǔ),方程 的實(shí)數(shù)根,的個(gè)數(shù)是（ ）.,A,A.,B.,C.,D. 無(wú)實(shí)數(shù)根,解,第2、3列均減去第一列,行列式,方程有一個(gè)實(shí)根。,,,▽,★ 補(bǔ),當(dāng) 時(shí)，計(jì)算 階行列式