優(yōu)化模型與lingo優(yōu)化軟件

1、優(yōu)化模型與LINGO優(yōu)化軟件,張 軍E-mail: phil_zj@mail.njust.edu.cn南京理工大學(xué)理學(xué)院,簡要提綱,優(yōu)化模型簡介 LINDO公司的主要軟件產(chǎn)品及功能簡介 LINGO軟件的使用簡介 建模與求解實例（結(jié)合軟件使用）參考教材: 《優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件》 謝金星，薛毅 ， 清華大學(xué)出版社,2006,優(yōu)化模型,實際問題中的優(yōu)化模型,x~決策變量,f(x)~目

2、標函數(shù),gi(x)?0~約束條件,數(shù)學(xué)規(guī)劃,線性規(guī)劃(LP)二次規(guī)劃(QP)非線性規(guī)劃(NLP),純整數(shù)規(guī)劃(PIP)混合整數(shù)規(guī)劃(MIP),整數(shù)規(guī)劃(IP),,,,0-1整數(shù)規(guī)劃一般整數(shù)規(guī)劃,連續(xù)規(guī)劃,,LINDO 公司軟件產(chǎn)品簡要介紹,美國芝加哥(Chicago)大學(xué)的Linus Schrage教授于1980年前后開發(fā), 后來成立 LINDO系統(tǒng)公司（LINDO Systems Inc.）， 網(wǎng)址：http://www.li

3、ndo.com,LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1)LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V10.0)LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V2.0)What’s Best!: (

4、SpreadSheet e.g. EXCEL) (V7.0),演示(試用)版、學(xué)生版、高級版、超級版、工業(yè)版、擴展版… （求解問題規(guī)模和選件不同）,Matlab 優(yōu)化工具箱能求解的優(yōu)化問題,LINGO軟件能求解的優(yōu)化模型,,LINGO,LINDO,優(yōu)化模型,線性規(guī)劃(LP),非線性規(guī)劃(NLP),二次規(guī)劃(QP),,,,連續(xù)優(yōu)化,整數(shù)規(guī)劃(IP),,,,,,LP QP

5、 NLP IP 全局優(yōu)化(選) ILP IQP INLP,LINGO軟件的求解過程,LINGO預(yù)處理程序,線性優(yōu)化求解程序,非線性優(yōu)化求解程序,,,,分枝定界管理程序,,,1. 確定常數(shù)2. 識別類型,,1. 單純形算法2. 內(nèi)點算法(選),,1、順序線性規(guī)劃法(SLP) 2、廣義

6、既約梯度法(GRG) (選) 3、多點搜索(Multistart) (選),,建模時需要注意的幾個基本問題,1、盡量使用實數(shù)優(yōu)化，減少整數(shù)約束和整數(shù)變量2、盡量使用光滑優(yōu)化，減少非光滑約束的個數(shù) 如：盡量少使用絕對值、符號函數(shù)、多個變量求最大/最小值、四舍五入、取整函數(shù)等3、盡量使用線性模型，減少非線性約束和非線性變量的個數(shù) （如x/y <5 改為x<5y）4、合理設(shè)定變量上下界

7、，盡可能給出變量初始值 5、模型中使用的參數(shù)數(shù)量級要適當(dāng) (如小于103),需要掌握的幾個重要方面,1、掌握集合(SETS)的應(yīng)用；2、正確閱讀求解報告；3、正確理解求解狀態(tài)窗口； 4、學(xué)會設(shè)置基本的求解選項(OPTIONS) ； 5、掌握與外部文件的基本接口方法,LINGO軟件簡介,目標與約束段 集合段（SETS ENDSETS） 數(shù)據(jù)段（DATA ENDDATA）

8、初始段（INIT ENDINIT） 計算段（CALC ENDCALC）——LINGO9.0以上,,,LINGO模型的構(gòu)成：,LINGO模型的優(yōu)點,集成了線性(非線性)/連續(xù)(整數(shù))/全局優(yōu)化功能提供了靈活的編程語言（矩陣生成器）,LINGO模型 — 例：選址問題,某公司有6個建筑工地，位置坐標為(ai, bi) (單位：公里),水泥日用量di (單位：噸）,假設(shè)：料場和工地之間有直線道路,用例中數(shù)據(jù)計算，最優(yōu)解為,總噸公里數(shù)為1

9、36.2,線性規(guī)劃模型,決策變量：ci j (料場j到工地i的運量）~12維,演示 Location_LP.lg4,選址問題：NLP,2）改建兩個新料場，需要確定新料場位置(xj,yj)和運量cij ，在其它條件不變下使總噸公里數(shù)最小。,決策變量：ci j，(xj,yj)~16維,非線性規(guī)劃模型,演示 Location_NLP.lg4,LINGO模型的構(gòu)成：4個段,集合段（SETS ENDSETS）,數(shù)據(jù)段（DATA EN

10、DDATA）,初始段（INIT ENDINIT）,目標與約束段,局部最優(yōu)：89.8835(噸公里 ),,,LP：移到數(shù)據(jù)段,邊界,LINGO中的集,對實際問題建模的時候，總會遇到一群或多群相聯(lián)系的對象，比如工廠、消費者群體、交通工具和雇工等等。LINGO允許把這些相聯(lián)系的對象聚合成集（sets）。一旦把對象聚合成集，就可以利用集來最大限度的發(fā)揮LINGO建模語言的優(yōu)勢。,為什么使用集,集是LINGO建模語言的基礎(chǔ)，是程序設(shè)計最強有力

11、的基本構(gòu)件。借助于集，能夠用一個單一的、長的、簡明的復(fù)合公式表示一系列相似的約束，從而可以快速方便地表達規(guī)模較大的模型。,什么是集,集是一群相聯(lián)系的對象，這些對象也稱為集的成員。一個集可能是一系列產(chǎn)品、卡車或雇員。每個集成員可能有一個或多個與之有關(guān)聯(lián)的特征，我們把這些特征稱為屬性。屬性值可以預(yù)先給定，也可以是未知的，有待于LINGO求解。例如，產(chǎn)品集中的每個產(chǎn)品可以有一個價格屬性；卡車集中的每輛卡車可以有一個牽引力屬性；雇員集中的每位雇

12、員可以有一個薪水屬性，也可以有一個生日屬性等等。,LINGO有兩種類型的集： 基本集(primitive set) 派生集(derived set)一個基本集是由一些最基本的對象組成的。一個派生集是用一個或多個其它集來定義的，也就是說，派生集的成員來自于其它已存在的集。,基本集,定義基本集的語法： setname[/member_list/][:attribute_list]; 必須部分 可選

13、部分 可選部分 集名 成員列表 屬性列表,集合定義方法： 直接列舉法 隱式列舉法,1、集合元素的直接列舉,例 定義一個名為students的原始集，它具有成員John、Jill、Rose和Mike，屬性有sex和age sets: students/John Jill, Rose Mike/: sex, age; endsets,

14、2、集合元素的隱式列舉,語法：setname/member1..memberN/[: attribute_list];,set: students/s1..s7/:sex,age ; date/ MON..FRI/: aa , bb ; month/ OCT2001..JAN2002/ ; endsets,集成員不放在集定義中，而在隨后的數(shù)據(jù)部分來定義。 sets: s

15、tudents: sex, age; endsets data: students, sex, age= John 1 16 Jill 0 14 Rose 0 17

16、 Mike 1 13; enddata,可以把集、集成員和集屬性同C語言中的結(jié)構(gòu)體作個類比。如下圖：集 ←→ 結(jié)構(gòu)體集成員 ←→ 結(jié)構(gòu)體的域集屬性 ←→ 結(jié)構(gòu)體實例,LINGO內(nèi)置的建模語言是一種描述性語言，用它可以描述現(xiàn)實世界中的一些問題，然后再借助于LINGO求解器求解。因此，集屬性的值一旦在模型中被確定，就不可能再更改。在LINGO中，只有在初始部分中給出的集屬性值在以后的求解

17、中可更改。這與前面并不矛盾，初始部分是LINGO求解器的需要，并不是描述問題所必須的。,定義派生集,定義一個派生集，必須詳細聲明： 集的名字 父集的名字 [集成員][成員的屬性]語法如下： setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list]; setname是集的名字。parent_set_list是已定義的集的列表，多個時必須用逗號隔開。如果沒有指定成

18、員列表，那么LINGO會自動創(chuàng)建父集成員的所有組合作為派生集的成員。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。,sets: product/A B/; machine/M N/; week/1..2/; allowed(product,machine,week):x;endsets,LINGO生成了三個父集的所有組合共八組作為allowed集的成員。列表如下：編號

19、 成員1 (A,M,1)2                            (A,M,2)3 

20、                           (A,N,1)4         

21、                   (A,N,2)5                 

22、           (B,M,1)6                         

23、   (B,M,2) 7                            (B,N,1)8    &#

24、160;                       (B,N,2),稠密集稀疏集派生集成員的聲明也可以放在數(shù)據(jù)部分①顯式羅列； allowed(product,machine,week)/A M 1,A

25、N 2,B N 1/:x;②設(shè)置成員資格過濾器。,sets: !學(xué)生集：性別屬性sex，1表示男性，0表示女性；年齡屬性age. ; students/John,Jill,Rose,Mike/:sex,age; !男學(xué)生和女學(xué)生的聯(lián)系集：友好程度屬性friend，[0，1]之間的數(shù)。 ; linkmf(students,students)|sex(&1) #eq# 1 #and# sex

26、(&2) #eq# 0: friend; !男學(xué)生和女學(xué)生的友好程度大于0.5的集; linkmf2(linkmf) | friend(&1,&2) #ge# 0.5 : x;endsets,data: sex ,age = 1 16 0 14 0 17 0 13; friend

27、 = 0.3 0.5 0.6;enddata,LINGO可識別的集只有兩種類型：原始集和派生集。在一個模型中，原始集是基本的對象，不能再被拆分成更小的組分。原始集可以由顯式羅列和隱式羅列兩種方式來定義。當(dāng)用顯式羅列方式時，需在集成員列表中逐個輸入每個成員。當(dāng)用隱式羅列方式時，只需在集成員列表中輸入首成員和末成員。派生集是由其它的集來創(chuàng)建。這些集被稱為該派生集的父集（原始集或其它的派生集）。稠密集包含了父集成員的所有組合（有時也稱

28、為父集的笛卡爾乘積）。稀疏集僅包含了父集的笛卡爾乘積的一個子集,集合的類型,集合 派生集合 基本集合 稀疏集合 稠密集合 元素列表法 元素過濾法 直接列舉法 隱式列舉法,setname [/member_list/] [: attribute_list];,setname(parent_set_list)

29、[/member_list/] [: attribute_list];,SETS: CITIES /A1,A2,A3,B1,B2/; ROADS(CITIES, CITIES)/ A1,B1 A1,B2 A2,B1 A3,B2/:D; ENDSETS,SETS: STUDENTS /S1..S8/; PAIRS( STUDENTS, STUDENTS) | &2 #GT# &a

30、mp;1: BENEFIT, MATCH;ENDSETS,模型的數(shù)據(jù)部分和初始部分,在處理模型的數(shù)據(jù)時，需要為集指派一些成員并且在LINGO求解模型之前為集的某些屬性指定值。為此，LINGO為用戶提供了兩個可選部分：輸入集成員和數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)部分 （Data Section）為決策變量設(shè)置初始值的初始部分 （Init Section）,模型的數(shù)據(jù)部分,數(shù)據(jù)部分入門數(shù)據(jù)部分提供了模型相對靜止部分和數(shù)據(jù)分離的可能性。顯然，這對模

31、型的維護和維數(shù)的縮放非常便利。數(shù)據(jù)部分以關(guān)鍵字“data:”開始，以關(guān)鍵字“enddata”結(jié)束。在這里，可以指定集成員、集的屬性。其語法如下：object_list = value_list;,對象列（object_list）包含要指定值的屬性名、要設(shè)置集成員的集名，用逗號或空格隔開。一個對象列中至多有一個集名，而屬性名可以有任意多。如果對象列中有多個屬性名，那么它們的類型必須一致。如果對象列中有一個集名，那么對象列中所有的屬性的

32、類型就是這個集。數(shù)值列（value_list）包含要分配給對象列中的對象的值，用逗號或空格隔開。注意屬性值的個數(shù)必須等于集成員的個數(shù)?？聪旅娴睦印?sets: set1/A,B,C/: X,Y; endsets data: X=1,2,3; Y=4,5,6; enddata,也可采用如下例子中的復(fù)合數(shù)據(jù)聲明（data statement）實現(xiàn)同樣的功能,sets: set1/A,B,C/: X,Y

33、;endsetsdata: X,Y=1, 4, 2, 5, 3, 6;enddata,注意賦值的順序!,在數(shù)據(jù)部分也可以指定一些標量變量（scalar variables）(參數(shù))。,data: interest_rate =0.085;enddata也可以同時指定多個參數(shù)。data: interest_rate, inflation_rate = 0.085 0.0

34、3;enddata,實時數(shù)據(jù)處理,在某些情況，對于模型中的某些數(shù)據(jù)并不是定值。譬如模型中有一個通貨膨脹率的參數(shù)，我們想在2%至6%范圍內(nèi)，對不同的值求解模型，來觀察模型的結(jié)果對通貨膨脹的依賴有多么敏感。我們把這種情況稱為實時數(shù)據(jù)處理（what if analysis）。LINGO有一個特征可方便地做到這件事。在本該放數(shù)的地方輸入一個問號（?）。,例: data: interest_rate,inflation_rate

35、= 0.085 ?; enddata每一次求解模型時，LINGO都會提示為參數(shù)inflation_rate輸入一個值。在WINDOWS操作系統(tǒng)下，將會接收到一個類似下面的對話框,直接輸入一個值再點擊OK按鈕，LINGO就會把輸入的值指定給 inflation_rate，然 后繼續(xù)求解模型。,模型的初始部分,初始部分是LINGO提供的另一個可選部分。在初始部分中，可以輸入初始聲明（initialization

36、statement），和數(shù)據(jù)部分中的數(shù)據(jù)聲明相同。對實際問題的建模時，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分輸入的值僅被LINGO求解器當(dāng)作初始點來用，并且僅僅對非線性模型有用。和數(shù)據(jù)部分指定變量的值不同，LINGO求解器可以自由改變初始部分初始化的變量的值。,一個初始部分以“init:”開始，以“endinit”結(jié)束。,LINGO函數(shù),LINGO有9種類型的函數(shù)：1. 基本運算符：包括算術(shù)運算符、邏輯運算符和關(guān)系運算符2. 數(shù)

37、學(xué)函數(shù)：三角函數(shù)和常規(guī)的數(shù)學(xué)函數(shù)3. 金融函數(shù)：LINGO提供的兩種金融函數(shù)4. 概率函數(shù)：LINGO提供了大量概率相關(guān)的函數(shù)5. 變量界定函數(shù)：這類函數(shù)用來定義變量的取值范圍6. 集操作函數(shù)：這類函數(shù)為對集的操作提供幫助7. 集循環(huán)函數(shù)：遍歷集的元素，執(zhí)行一定的操作的函數(shù)8. 數(shù)據(jù)輸入輸出函數(shù)：這類函數(shù)允許模型和外部數(shù)據(jù)源相聯(lián) 系，進行數(shù)據(jù)的輸入輸出9. 輔助函數(shù)：各種雜類函數(shù),運算符的優(yōu)先級,三類運算

38、符： 算術(shù)運算符 邏輯運算符 關(guān)系運算符,集合循環(huán)函數(shù),四個集合循環(huán)函數(shù)：FOR、SUM 、 MAX、MIN@function( setname [ ( set_index_list)[ | condition]] : expression_list);,[objective] MAX = @SUM( PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J) * MATCH( I, J));

39、@FOR(STUDENTS( I): [constraints] @SUM( PAIRS( J, K) | J #EQ# I #OR# K #EQ# I: MATCH( J, K)) =1);@FOR(PAIRS( I, J): @BIN( MATCH( I, J)));MAXB=@MAX(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J));MINB=@MIN(PAIRS( I, J): BENEFI

40、T( I, J));,Example:,狀態(tài)窗口,Solver Type:B-and-BGlobal Multistart,Model Class: LP， QP，ILP， IQP，PILP, PIQP，NLP，INLP，PINLP,State:Global OptimumLocal OptimumFeasibleInfeasibleUnboundedInterruptedUndetermined,7個

41、選項卡(可設(shè)置80-90個控制參數(shù)),程序與數(shù)據(jù)分離,文本文件,LINGO軟件與外部文件的接口,Cut (or Copy) – Paste 方法@FILE 輸入數(shù)據(jù)、@TEXT輸出數(shù)據(jù)（文本文件）@OLE函數(shù)與電子表格軟件（如EXCEL）連接@ODBC函數(shù)與數(shù)據(jù)庫連接LINGO命令腳本文件,LG4 （LONGO模型文件）LNG （LONGO模型文件）LTF （LONGO腳本文件）LDT （LONGO數(shù)據(jù)文件）LR

42、P （LONGO報告文件）,常用文件后綴,例: (采購問題) 多個城市需要采購一定的物品，但每個城市只能在自己所在的城市采購，城市 I 的最低需求為 NEED(I), 最大供應(yīng)為 SPUULY(I) , 單件采購成本為 COST(I) , 如何采購似的總成本最小 ？,采購量用 ORDERED(I)來表示，則模型 min ∑COST( I ) * ORDER( I ) s.t.

43、ORDER( I ) ≤ SUPPLY ( I ) ORDER( I ) ≥ NEED ( I ),@FILE和@TEXT：文本文件輸入輸出,MODEL:SETS: MYSET / @FILE(myfile.ldt) / : @FILE(myfile.ldt);ENDSETSDATA: COST = @FILE(myfile.ldt); NEED = @FILE(myfile.ldt); SU

44、PPLY = @FILE(myfile.ldt); ENDDATAMIN = @SUM( MYSET( I): ORDERED( I) * COST( I)); @FOR( MYSET( I): [CON1] ORDERED( I) > NEED( I); [CON2] ORDERED( I) < SUPPLY( I));END,myfile.ldt文件的內(nèi)容、格式：Seat

45、tle,Detroit,Chicago,Denver~COST,NEED,SUPPLY,ORDERED~12,28,15,20~1600,1800,1200,1000~1700,1900,1300,1100,演示 Myfile.lg4,,MODEL: SETS: MYSET/@FILE(myfile.ldt)/:@FILE(myfile.ldt); ENDSETS MIN=@SUM(MYSET(I):ORDE

46、RED(I)*COST(I)); @FOR(MYSET(I): [con1]ORDERED(I)>NEED(I); [con2]ORDERED(I)<SUPPLY(I)); DATA: COST=@FILE(myfile.ldt); NEED=@FILE(myfile.ldt); SUPPLY=@FILE(myfile.ldt); @TEXT(‘result

47、.txt')='ORDERED'; @TEXT('result.txt')=ORDERED; @TEXT('result.txt')='COST'; @TEXT('result.txt')=COST; @TEXT('result.txt')='SUPPLY'; @TEXT(

48、9;result.txt')=SUPPLY; @TEXT('result.txt')='NEED'; @TEXT('result.txt')=NEED; ENDDATAEND,演示 Myfile1.lg4,通過電子表格文件傳遞數(shù)據(jù),在LINGO中使用電子表格文件的數(shù)據(jù)，通過函數(shù) @OLE實現(xiàn)。@OLE函數(shù)的使用格式為： @OLE（Excel_F

49、ILE[,range_name_list]）,繼續(xù)考慮上面的例子，但通過@OLE和Excel文件輸入數(shù)據(jù)。為此，先建立Excel文件mydata.xls,這里，我們在建立好文件，即輸入數(shù)據(jù)后，還要做一項命名的工作，選中表格的B4:B7單元，然后選擇Excel　插入｜名稱｜定義，這時在彈出的對話框中輸入需要的名字，如Cities，對其余各列做相應(yīng)的操作，即C4:C7命名為COST，D4:D７命名為NEED，E4:E7命名為SUPPLY，F(xiàn)

50、4:F7命名為ORDERED。,@OLE ：與EXCEL連接,MODEL:SETS: MYSET: COST,SHIP,NEED,SUPPLY;ENDSETSMIN = @SUM( MYSET( I): ORDERED( I) * COST( I)); @FOR( MYSET( I): [CON1] ORDERED( I) > NEED( I); [CON2] ORDERE

51、D (I) < SUPPLY( I));DATA: MYSET =@OLE('D:\JXIE\BJ2004MCM\mydata.xls','CITIES'); COST,NEED,SUPPLY =@OLE(mydata.xls); @OLE(mydata.xls,'SOLUTION')= ORDERED; ENDDATAEND,mydata.xls文件中必

52、須有下列名稱(及數(shù)據(jù))： CITIES， COST，NEED，SUPPLY，ORDERED,在EXCEL中還可以通過“宏”自動調(diào)用LINGO(略)也可以將EXCEL表格嵌入到LINGO模型中(略),演示 Mydata.lg4,,問題1. 如何下料最節(jié)省 ?,例 鋼管下料,問題2. 客戶增加需求：,節(jié)省的標準是什么？,由于采用不同切割模式太多，會增加生產(chǎn)和管理成本，規(guī)定切割模式不能超過3種。如何下料最節(jié)省？,按照客戶需要在

53、一根原料鋼管上安排切割的一種組合。,切割模式,合理切割模式的余料應(yīng)小于客戶需要鋼管的最小尺寸,鋼管下料,為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節(jié)省？,合理切割模式,2. 所用原料鋼管總根數(shù)最少,鋼管下料問題1,兩種標準,1. 原料鋼管剩余總余量最小,xi ~按第i 種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,…7),約束,滿足需求,決策變量,目標1（總余量）,按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米,最

54、優(yōu)解：x2=12, x5=15, 其余為0；最優(yōu)值：27,整數(shù)約束： xi 為整數(shù),演示 CUT01a.lg4,當(dāng)余料沒有用處時，通常以總根數(shù)最少為目標,目標2（總根數(shù)）,鋼管下料問題1,約束條件不變,最優(yōu)解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余為0；最優(yōu)值：25。,xi 為整數(shù),按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米,雖余料增加8米，但減少了2根

55、,與目標1的結(jié)果“共切割27根，余料27米” 相比,CUT01b.lg4,鋼管下料問題2,對大規(guī)模問題，用模型的約束條件界定合理模式,增加一種需求：5米10根；切割模式不超過3種。,現(xiàn)有4種需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚舉法確定合理切割模式，過于復(fù)雜。,決策變量,xi ~按第i 種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,3),r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 種切割模式下，每根原料鋼管生產(chǎn)4米、5米

56、、6米和8米長的鋼管的數(shù)量,滿足需求,模式合理：每根余料不超過3米,整數(shù)非線性規(guī)劃模型,鋼管下料問題2,目標函數(shù)（總根數(shù)）,約束條件,整數(shù)約束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)為整數(shù),增加約束，縮小可行域，便于求解,原料鋼管總根數(shù)下界：,特殊生產(chǎn)計劃：對每根原料鋼管模式1：切割成4根4米鋼管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米鋼管，需10根；模式3：切割成2根8米鋼管，需8根。原料鋼管總

57、根數(shù)上界：31,模式排列順序可任定,鋼管下料問題2,需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根,每根原料鋼管長19米,LINGO求解整數(shù)非線性規(guī)劃模型,Local optimal solution found at iteration: 12211 Objective value: 28.00000Variable Value Reduced CostX1

58、 10.00000 0.000000X2 10.00000 2.000000X3 8.000000 1.000000R11 3.000000 0.000000R12 2.000000 0.000000R13 0.000000

59、 0.000000R21 0.000000 0.000000R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000

60、0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000

61、 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000,模式1：每根原料鋼管切割成3根4米和1根6米鋼管，共10根；模式2：每根原料鋼管切割成2根4米、1根5米和1根6米鋼管，共10根；模式3：每根原料鋼管切割成2根8米鋼管，共8根。原料鋼管總