正態(tài)總體的抽樣分布

1、,正態(tài)總體的抽樣分布,,一、樣本均值分布,定理 設(shè)總體,是X的樣本。,樣本均值,（標(biāo)準(zhǔn)化）,,,記為,1.定義: 設(shè)隨機變量,相互獨立,都服從,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1), 則稱統(tǒng)計量：,所服從的分布為自由度為 n 的,分布.,注: 自由度是指*右端所含獨立的隨機變量的個數(shù)。,,,分布的密度函數(shù)為,來定義.,通過積分,其中伽瑪函數(shù),?2—分布的密度函數(shù)曲線,,由 分布的定義，不難得到：,,且X1 , X2相互獨立，,這個

2、性質(zhì)叫 分布的可加性.,(2) 設(shè),則,2. ?2分布的性質(zhì),應(yīng)用中心極限定理可得，若,則當(dāng)n充分大時，,的分布近似正態(tài)分布 N (0,1).,(3),,,對于給定的正數(shù),稱滿足條件的點,為,分位點.,分布的上,(4) 分布的分位點,,,,例,即,對于給定的,稱滿足條件,的點,為,分布的“上,百分位點”,相互獨立, 都服從正態(tài)分布,則,問題 設(shè),為什么？,例2 設(shè)總體X~N（0，0.32）, n =10,求,解

3、,∵ X/0.3~N（0，1），,∴,T的密度函數(shù)為：,,,記為T～t(n).,所服從的分布為自由度為 n的 t 分布.,,1. 定義:,設(shè) X～N(0,1) ,,Y～,則稱變量,, 且 X 與 Y,相互獨立，,三、t 分布,t(n) 的概率密度為,（1）具有自由度為 n 的 t 分布的隨機變量 T 的,當(dāng)n充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度,（2）t 分布的密度函數(shù)關(guān)于 x = 0 對稱，且,數(shù)學(xué)期望和方差為:,E( T

4、) = 0; D( T ) = n / ( n - 2 ) , 對 n > 2,函數(shù)的圖形.,很大.,不難看到，當(dāng)n充分大時，,t 分布近似,N (0,1)分布.,但對于較小的n， t分布與N (0,1)分布相差,2. 性質(zhì),對于給定的正數(shù),稱滿足條件,的點,為,百分位點”。,分布的“上,例,查t 分布表，附表3,3 、 t 分布的分位點,取,? 分布上側(cè)α分位點,? 分布下側(cè)α分位點,? 分布雙側(cè)α分位點,t的分布的

5、雙側(cè)α分位點為滿足,,,,若X ~ F (n1,n2)， X的概率密度為,1.定義: 設(shè),X與Y相互獨立，,則稱統(tǒng)計量,服從自由度為n1及 n2 的F分布，,四、F分布,n1稱為第一自由度，,n2稱為第二自由度，,記作 F ~F (n1,n2).,,,即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.,,,(2) X的數(shù)學(xué)期望為:,,若 n2 > 2,(1) 由定義可見，,~ F( n2, n1),2. 性質(zhì),(3) F 分

6、布的分位點,對于給定的正數(shù),稱滿足條件,的點,為,分位點。,分布的上,,,,,,,關(guān)于 F 分布分位點的重要結(jié)論,表中所給的,都是很小的數(shù)，如0.01，0.05等,當(dāng),表中查不出，可由以上結(jié)論,較大時，如0.95，,休息片刻,定理 1 (樣本均值的分布),設(shè) X1,X2,…,Xn 是取自正態(tài)總體,則有,的樣本，,N 取不同值時樣本均值 的分布,四、幾個重要的抽樣分布定理,,設(shè) X1, X2, … , Xn 是取自正態(tài)總體

7、,分別為樣本均值和樣本方差,,則有,的樣本,,N 取不同值時,的分布,定理 2 (樣本方差的分布),例題分析,,設(shè) X1, X2 ,…, Xn 是取自正態(tài)總體,的樣本,,分別為樣本均值和樣本方差, 則有,（與樣本均值和樣本方差有關(guān) 的一個分布）,當(dāng),則由t-分布的定義：,且它們獨立。,定理 3,Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它們相互獨立，,則,若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X

8、2，…,Xn1,（1）,4. 兩個正態(tài)總體,定理3 (兩總體樣本均值差的分布),,分別是這兩個樣本的樣本,且 X 與Y 獨立,,X1,X2,…,,是取自X的樣本,,取自Y的樣本,,分別是這兩個樣本的樣本方差,,均值,,則有,Y1,Y2,…,,是,定理 3 (兩總體樣本方差比的分布),,分別是這兩個樣本的,且X與Y獨立,,取自Y的樣本,,分別是這兩個樣本的樣本方差,,均值，,則有,Y1,Y2,…,,是,樣本,設(shè) X:

9、X1，X2，…，Xn,1.,2.,若 X~N（0，1），則,兩個最常用統(tǒng)計量及三大分布的定義,Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它們相互獨立，,則,若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1,（1）,（2）,當(dāng)σ12 =σ22 =σ2時，,兩個正態(tài)總體,（3）,設(shè)X1,X2,X3,X4是總體N（0，1）的樣本，則：,請回答：,例題分析,設(shè)X1,X2,X3,X4是總體,例題分析,例題

10、分析,請回答,請回答：設(shè)總體X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8為一個樣本，則（ ）成立。,(2) ~ t (7),（1） ~ t (8),(4) ~ t (8),(3) ~ t (7),請回答：設(shè)