(3)外干擾→有穩(wěn)態(tài)誤差狀態(tài)觀測器極點配置的目的

1、1,6.1 離散系統狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律的極點配置設計6.3 狀態(tài)觀測器設計6.4 調節(jié)器設計（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統最優(yōu)二次型設計,2,6.1.1 可控性與可達性,可控性定義： 對式(6-1)所示系統，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時間NT內驅動系統從任意初始狀態(tài)x(0)到達任意期望狀態(tài)x(N)=0，則稱該系統是狀態(tài)完全可控的（簡稱是可控的）?？蛇_性定義：對式(

2、6-1)所示系統，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限時間NT內驅動系統從任意初始狀態(tài)x(0)到達任意期望狀態(tài)x(N)，則稱該系統是狀態(tài)完全可達的。,離散系統：,,(6-1),,,3,推導離散系統可控及可達應滿足的條件,1. 可達性條件 利用迭代法,(6-3),為使,唯一存在，應滿足下述充分必要條件：,（1）x是n維向量，所以(6-3)必須是n維線性方程，故N=n。（2）必須滿足：,依式(6-3)可得允許控制,,4,,推導

3、離散系統可控及可達應滿足的條件,2. 可控性條件,(6-3),為使上述線性方程組有解，必須,若F 是可逆的，則,,或,N=n,可控陣,,,,系統狀態(tài)完全可控的充分必要條件,,可控性與可達性一致,由于采樣系統的狀態(tài)轉移陣F=eAT可逆，故采樣系統的可達性與可控性一致。,5,6.1.2 可觀性,可觀性定義：對式(6-1)所示系統，如果可以利用系統輸出，在有限的時間NT內確定系統的初始狀態(tài)x(0) ，則稱該系統是可觀的。,系統的可觀性只

4、與系統結構及輸出信息的特性有關，與控制矩陣G無關，為此，以后可只研究系統的自由運動(6-6) ：,(6-6),,離散系統：,,(6-1),6,6.1.2 可觀性,可觀性定義：對式(6-6)所示系統，如果可以利用系統輸出，在有限的時間NT內確定系統的初始狀態(tài)x(0) ，則稱該系統是可觀的。,(6-6),離散系統：,,已知,，為使x(0)有解，要求：,(6-8),(1)式(6-8)代數方程組一定是n維的。,(2)令k=n-1，則應有,其

5、中可觀陣,,7,6.1.3 可控性及可觀性某些問題的說明,1. 系統組成部份S1:可控可觀部分S2:不可控及不可觀部分S3:可控不可觀部分S4:可觀不可控部分。,系統脈沖傳函只反映了系統中可控可觀那部分狀態(tài)S1的特性。,2.表示系統可控性及可觀性的另一種方式可以采用系統模態(tài)可控及可觀的表示方式。,3. 系統脈沖傳遞函數不能全面反映系統特性的原因系統傳遞函數中發(fā)生了零點和極點相對消的現象。,圖6-3 系統的分解,8,6.1

6、.4 采樣系統可控可觀性與采樣周期的關系,對于采樣系統，不加證明給出下述結論：(1) 若原連續(xù)系統是可控及可觀的，經過采樣后，系統可控及可觀的充分條件是：對連續(xù)系統任意2個相異特征根λp、λq，下式應成立：,采樣對象：,,連續(xù)對象：,,若連續(xù)系統的特征根無復根時，則采樣系統必定是可控及可觀的。(2) 若已知采樣系統是可控及可觀的，原連續(xù)系統一定也是可控及可觀的。,9,6.1 離散系統狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制

7、律的極點配置設計6.3 狀態(tài)觀測器設計6.4 調節(jié)器設計（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統最優(yōu)二次型設計,10,,6.2.1 狀態(tài)反饋控制,根據(6-14)有結論：(1) 閉環(huán)系統的特征方程由[F-GK]決定，系統的階次不改變。通過選擇狀態(tài)反饋增益K，可以改變系統的穩(wěn)定性。(2) 閉環(huán)系統的可控性由[F-GK]及G決定?？梢宰C明，如開環(huán)系統可控，閉環(huán)系統也可控，反之亦然。 (3) 閉環(huán)系統的可觀性由[F-GK]

8、及[C-DK]決定。如果開環(huán)系統是可控可觀的，加入狀態(tài)反饋控制，由于K的不同選擇，閉環(huán)系統可能失去可觀性。,,取線性反饋控制,令,，得閉環(huán)系統狀態(tài)方程,,(6-14),(6-12),圖6-7 狀態(tài)反饋控制系統結構圖,11,根據(6-14)有結論：,(4) 狀態(tài)反饋時閉環(huán)系統特征方程為 可見，狀態(tài)反饋增益矩陣K決定了閉環(huán)系統的特征根?？梢宰C明，如果系統是完全可控的，通過選擇K陣可以任意配置閉環(huán)系統的特征根。(5) 狀態(tài)反饋與閉環(huán)

9、系統零點的關系 狀態(tài)反饋不能改變或配置系統的零點。,12,6.2.2 單輸入系統的極點配置,基本思想:由系統性能要求確定閉環(huán)系統期望極點位置，然后依據期望極點位置確定反饋增益矩陣K。(本節(jié)主要討論單輸入系統的極點配置方法) 1. 系數匹配法,,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統特征方程,,閉環(huán)系統期望特征根為:,閉環(huán)系統期望特征方程：,對應系數相等，得n個代數方程,,,,,可求得n個未知系數,,13,,,單輸入系統的極點配置,2. Ackerma

10、nn公式建立在可控標準型基礎上的一種計算反饋陣K的方法，對于高階系統，便于用計算機求解.,閉環(huán)系統期望特征方程：,其中,,14,3. 使用極點配置方法的注意問題,(1) 系統完全可控是求解該問題的充分必要條件。若系統有不可控模態(tài)，利用狀態(tài)反饋不能移動該模態(tài)所對應的極點。(2) 實際應用極點配置法時，首先應把閉環(huán)系統期望特性轉化為z平面上的極點位置。(3) 理論上，反饋增益 ，系統頻帶 ，快速性 。

11、 u(k) 執(zhí)行元件飽和 系統性能 。 實際要考慮到所求反饋增益物理實現的可能性 。(4)系統階次較低時，可以直接利用系數匹配法；系統階次較高時，應依Ackermann公式，利用計算機求解。,,,,,,,,,15,6.2.3 多輸入系統的極點配置,對于n階系統，最多需要配置n個極點。單輸入系統狀態(tài)反饋增益K矩陣為1×n維，其中的n個元素可以由n個閉環(huán)特征

12、值要求唯一確定。對于多輸入系統，K陣是m×n維，如果只給出n個特征值要求，K陣中有m×(n-1)個元素不能唯一確定，必須附加其他條件，如使‖K‖最小，得到最小增益陣；給出特征向量要求，使部分狀態(tài)量解耦等。事實上，對于多輸入多輸出系統，一般不再使用單純的極點配置方法設計，而常用如特征結構配置、自適應控制、最優(yōu)控制等現代多變量控制方法設計。,16,6.1 離散系統狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律

13、的極點配置設計6.3 狀態(tài)觀測器設計6.4 調節(jié)器設計（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統最優(yōu)二次型設計,17,,6.3.1 系統狀態(tài)的開環(huán)估計,狀態(tài)估計：,圖6-10 開環(huán)估計器結構圖,估計誤差：,估計誤差狀態(tài)方程：,,(1) 如果原系統是不穩(wěn)定的，那么觀測誤差將隨著時間的增加而發(fā)散；(2) 如果F 陣的模態(tài)收斂很慢，觀測值也不能很快收斂到的值，將影響觀測效果。(3) 開環(huán)估計只利用了原系統的輸入信號，并沒有利

14、用原系統可測量的輸出信號。,,18,6.3.2 全階狀態(tài)觀測器設計,1. 預測觀測器,圖6-11 閉環(huán)狀態(tài)估計器,,預估,閉環(huán)觀測器方程,估計誤差狀態(tài)方程：,(6-35),觀測器設計的基本問題：要及時地求得狀態(tài)的精確估計值，也就是要使觀測誤差能盡快地趨于零或最小值。從式(6-35)可見，合理地確定增益L矩陣，可以使觀測器子系統的極點位于給定的位置，加快觀測誤差的收斂速度。,19,觀測誤差產生的原因,(1)構造觀測器所用的模型參數

15、與真實系統的參數不可能完全一致。(2)觀測器與對象的初始狀態(tài)很難一致。(3)外干擾→有穩(wěn)態(tài)誤差狀態(tài)觀測器極點配置的目的，使,，而設,一般,20,,計算觀測器增益L,方法一：系數匹配法,觀測器期望特征多項式：,方法二 Ackermann公式計算法,觀測器特征方程,期望特征方程：,對應系數相等，得m個代數方程,可求得m個未知系數,,,,,,,其中：,系統可觀陣,(6-36),21,6.3.2 全階狀態(tài)觀測器設計,2. 現今

16、值觀測器,,預估,估計誤差狀態(tài)方程：,(6-41),觀測器極點的配置由[F CF]的可觀性決定。分析表明，若[F C]可觀，則[F CF]必定也可觀。選擇反饋增益L亦可任意配置現今值觀測器的極點。,觀測誤差,,預測值,得修正值,圖6-12 現今值觀測器,22,圖6-13預測觀測器與現今值觀測器的區(qū)別,現今值觀測器與預測觀測器比較,主要差別：預測觀測器利用陳舊的y(k)測量值產生觀測值現今值觀測器利用當前測量值y(k+1)產生觀

17、測值，進行計算控制作用。由于ε≠0，故現今值觀測器是不能準確實現的，但采用這種觀測器，仍可使控制作用的計算減少時間延遲，比預測觀測器更合理。,計算時間 ε≠0,23,,6.3.3 降維狀態(tài)觀測器,假設系統有p個狀態(tài)可測，有q=n-p個狀態(tài)需要觀測,,維可測,維需觀測,系統狀態(tài)方程,,,,,,,,,可直接測得,,動態(tài)方程,輸出方程,,可直接測得,降維系統觀測誤差方程:,其中觀測器增益L的求法可以采用系數匹配法，也可以利用Ackerma

18、nn公式。,24,6.1 離散系統狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律的極點配置設計6.3 狀態(tài)觀測器設計6.4 調節(jié)器設計（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統最優(yōu)二次型設計,25,,6.4.1 調節(jié)器設計分離原理,被控對象,圖6-14觀測器與控制律的組合,反饋狀態(tài),預測觀測誤差的狀態(tài)方程,組合系統方程,,特征方程,,26,調節(jié)器設計分離原理:,分離原理：控制規(guī)律與觀測器可以分開單獨設計，組合后各自的極

19、點不變。,組合系統的特征方程,,組合系統的階次為2n，它的特征方程分別由觀測器及原閉環(huán)系統的特征方程組成，反饋增益K只影響反饋控制系統的特征根，觀測器反饋增益L只影響觀測器系統特征根。,圖6-14觀測器與控制律的組合,27,,6.4.2 調節(jié)器系統的控制器,把觀測器系統與控制規(guī)律組合起來，構成控制器,控制器 狀態(tài)方程,特征方程,對SISO系統，控制器的輸入為測量輸出y(k)，輸出為u(k),,,圖6-14觀測器與控制律的組合,28,6

20、.4.3 控制律及觀測器極點選擇,控制律的極點由系統期望特性確定。觀測器極點通常選擇觀測器極點的最大時間常數為控制系統最小時間常數的(1/2~1/4) ，由此確定觀測器的反饋增益L。觀測器極點時間常數越小，觀測值可以更快地收斂到真實值，但要求反饋增益L越大。過大的增益L，將增大測量噪聲，降低觀測器平滑濾波的能力，增大了觀測誤差。若觀測器輸出與對象輸出十分接近，L的修正作用較小，則L可以取得小些。弱對象參數不準或對象上的干擾使

21、觀測值與真實值偏差較大，L應取得大些。若測量值中噪聲干擾嚴重，則L應取得小些。實際系統設計L時，最好的方法是采用較真實的模型(包括作用于對象上的干擾及測量噪聲)進行仿真研究,29,6.1 離散系統狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律的極點配置設計6.3 狀態(tài)觀測器設計6.4 調節(jié)器設計（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統最優(yōu)二次型設計,30,,,,,6.5.1 概述,最優(yōu)控制實質：將尋求一種最優(yōu)控制策

22、略，使某一性能指標最佳。,最優(yōu)控制問題常被稱為“二次型最優(yōu)控制問題。,離散系統代價函數：,通常的性能指標（代價函數）：,為使代價函數有意義，應要求：,S、Q至少是對稱半正定的，R是對稱正定的。,有限時間最優(yōu)代價函數,無限時間最優(yōu)代價函數,,,是有限的,離散系統,連續(xù)系統,,,,,最優(yōu)控制存在,31,,,,6.5.2 無限時間離散最優(yōu)二次型,其中的S、Q對稱半正定的，R對稱正定,,最優(yōu)控制存在,有限時間情況：,代價函數,最優(yōu)控制：,為R

23、iccati陣，滿足,其中，有,,32,無限時間離散最優(yōu)二次型代價函數,注意：N趨于無窮大時，并不是所有有限時間最優(yōu)調節(jié)器問題都有解。1. 被控對象及代價函數應滿足的條件： (1) 被控對象（F G）應是完全可控或可穩(wěn)定的——穩(wěn)態(tài)解存在的必要條件。 (2) 控制加權陣R是正定的，狀態(tài)加權陣Q也是正定的——解存在的充分條件。,,穩(wěn)態(tài)最優(yōu)調節(jié)器問題,此時Riccati方程的解為：,最優(yōu)控制為,常值反饋增益陣,,即有,或寫成

24、：,,33,2. 二次型最優(yōu)穩(wěn)態(tài)調節(jié)器的特性,(1)上述所得到的設計結果不僅可以用于SISO系統，也可以用于MIMO系統及時變系統。通過改變Q、R各元素相對比值可以很容易地改變系統響應，協調系統響應速度和控制信號模值之間的關系。(2)若Q、R是正定的，P亦是正定的。若Q是半正定的，且（F D）對完全可觀，其中D滿足 則在這種條件下也可以證明P是正定的。(3)對于無限時間的最優(yōu)控制，若Q半正定，R正定，可以證明最優(yōu)控制

25、 使閉環(huán)系統 漸近穩(wěn)定，同時還具有一定的相位穩(wěn)定裕度和增益穩(wěn)定裕度。(4)最優(yōu)控制閉環(huán)極點軌跡：二次型最優(yōu)調節(jié)器閉環(huán)極點與代價函數加權陣密切相關，加權變化時閉環(huán)極點隨之變化，形成閉環(huán)極點軌跡。,34,6.5.3 采樣系統最優(yōu)二次型設計,1. 采樣系統最優(yōu)調節(jié)器問題,采樣系統特點：,對象連續(xù),積分代價函數J最小,不同于離散系統最優(yōu)調節(jié)器問題,尋求分段常值控制,不可采用

26、連續(xù)系統最優(yōu)調節(jié)器理論與結果,,,,,,思路：采樣系統最優(yōu)調節(jié)器問題,離散系統最優(yōu)調節(jié)器問題,,35,6.5.3 采樣系統最優(yōu)二次型設計,1. 采樣系統最優(yōu)調節(jié)器問題,,采樣區(qū)段內，系統狀態(tài)應連續(xù)變化,,其中：,36,,1. 采樣系統最優(yōu)調節(jié)器問題,通過簡化處理，得到,其中，各等價加權矩陣為：,,該最優(yōu)控制問題可通過MATLAB中的最優(yōu)控制工具箱求解。,,37,2. 等價加權矩陣的計算,一種較為簡單的方法：,其中：,,離散化處理,,

27、,,,,38,,2. 等價加權矩陣的計算（續(xù)）,,式中,(6-80),(6-81),式(6-80)可以看作是矩陣微分方程(6-81)在零初始條件下的解。數值積分中的許多方法，如阿達姆預報校正法都可用于解該矩陣方程,39,6.5.4 離散最優(yōu)二次型調節(jié)器,按離散或采樣系統二次型設計所得的控制規(guī)律仍然是一種全狀態(tài)反饋。由于全狀態(tài)反饋難于實現，常要采用狀態(tài)觀測器，從而形成了一種組合系統，在不考慮指令信號時，也構成了一種調節(jié)器。問題：使

28、用觀測器后，為使代價函數最小是否仍使用原設計的最優(yōu)反饋增益；如仍使用原設計的最優(yōu)反饋增益，代價函數是否仍是最小。通常：仍取原設計的最優(yōu)反饋增益最優(yōu)代價函數的最小值要增大，且直接與觀測器設計有關。,40,,最優(yōu)代價函數的最小值增大原因的簡單說明,直接狀態(tài)反饋,采用觀測器,代價函數的增量,結論：最優(yōu)代價函數損失量完全是由觀測誤差引起的，它與觀測器動態(tài)特性有關。在最優(yōu)調節(jié)器中引入觀測器時，應把最優(yōu)代價函數的損失量作為選擇觀測器特性的一