(3)外干擾→有穩(wěn)態(tài)誤差狀態(tài)觀測器極點(diǎn)配置的目的

1、1,6.1 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)6.3 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)6.4 調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計(jì),2,6.1.1 可控性與可達(dá)性,可控性定義： 對(duì)式(6-1)所示系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時(shí)間NT內(nèi)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達(dá)任意期望狀態(tài)x(N)=0，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的（簡稱是可控的）?？蛇_(dá)性定義：對(duì)式(

2、6-1)所示系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限時(shí)間NT內(nèi)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達(dá)任意期望狀態(tài)x(N)，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達(dá)的。,離散系統(tǒng)：,,(6-1),,,3,推導(dǎo)離散系統(tǒng)可控及可達(dá)應(yīng)滿足的條件,1. 可達(dá)性條件 利用迭代法,(6-3),為使,唯一存在，應(yīng)滿足下述充分必要條件：,（1）x是n維向量，所以(6-3)必須是n維線性方程，故N=n。（2）必須滿足：,依式(6-3)可得允許控制,,4,,推導(dǎo)

3、離散系統(tǒng)可控及可達(dá)應(yīng)滿足的條件,2. 可控性條件,(6-3),為使上述線性方程組有解，必須,若F 是可逆的，則,,或,N=n,可控陣,,,,系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件,,可控性與可達(dá)性一致,由于采樣系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣F=eAT可逆，故采樣系統(tǒng)的可達(dá)性與可控性一致。,5,6.1.2 可觀性,可觀性定義：對(duì)式(6-1)所示系統(tǒng)，如果可以利用系統(tǒng)輸出，在有限的時(shí)間NT內(nèi)確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0) ，則稱該系統(tǒng)是可觀的。,系統(tǒng)的可觀性只

4、與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及輸出信息的特性有關(guān)，與控制矩陣G無關(guān)，為此，以后可只研究系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)(6-6) ：,(6-6),,離散系統(tǒng)：,,(6-1),6,6.1.2 可觀性,可觀性定義：對(duì)式(6-6)所示系統(tǒng)，如果可以利用系統(tǒng)輸出，在有限的時(shí)間NT內(nèi)確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0) ，則稱該系統(tǒng)是可觀的。,(6-6),離散系統(tǒng)：,,已知,，為使x(0)有解，要求：,(6-8),(1)式(6-8)代數(shù)方程組一定是n維的。,(2)令k=n-1，則應(yīng)有,其

5、中可觀陣,,7,6.1.3 可控性及可觀性某些問題的說明,1. 系統(tǒng)組成部份S1:可控可觀部分S2:不可控及不可觀部分S3:可控不可觀部分S4:可觀不可控部分。,系統(tǒng)脈沖傳函只反映了系統(tǒng)中可控可觀那部分狀態(tài)S1的特性。,2.表示系統(tǒng)可控性及可觀性的另一種方式可以采用系統(tǒng)模態(tài)可控及可觀的表示方式。,3. 系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能全面反映系統(tǒng)特性的原因系統(tǒng)傳遞函數(shù)中發(fā)生了零點(diǎn)和極點(diǎn)相對(duì)消的現(xiàn)象。,圖6-3 系統(tǒng)的分解,8,6.1

6、.4 采樣系統(tǒng)可控可觀性與采樣周期的關(guān)系,對(duì)于采樣系統(tǒng)，不加證明給出下述結(jié)論：(1) 若原連續(xù)系統(tǒng)是可控及可觀的，經(jīng)過采樣后，系統(tǒng)可控及可觀的充分條件是：對(duì)連續(xù)系統(tǒng)任意2個(gè)相異特征根λp、λq，下式應(yīng)成立：,采樣對(duì)象：,,連續(xù)對(duì)象：,,若連續(xù)系統(tǒng)的特征根無復(fù)根時(shí)，則采樣系統(tǒng)必定是可控及可觀的。(2) 若已知采樣系統(tǒng)是可控及可觀的，原連續(xù)系統(tǒng)一定也是可控及可觀的。,9,6.1 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制

7、律的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)6.3 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)6.4 調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計(jì),10,,6.2.1 狀態(tài)反饋控制,根據(jù)(6-14)有結(jié)論：(1) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程由[F-GK]決定，系統(tǒng)的階次不改變。通過選擇狀態(tài)反饋增益K，可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2) 閉環(huán)系統(tǒng)的可控性由[F-GK]及G決定?？梢宰C明，如開環(huán)系統(tǒng)可控，閉環(huán)系統(tǒng)也可控，反之亦然。 (3) 閉環(huán)系統(tǒng)的可觀性由[F-GK]

8、及[C-DK]決定。如果開環(huán)系統(tǒng)是可控可觀的，加入狀態(tài)反饋控制，由于K的不同選擇，閉環(huán)系統(tǒng)可能失去可觀性。,,取線性反饋控制,令,，得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程,,(6-14),(6-12),圖6-7 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,11,根據(jù)(6-14)有結(jié)論：,(4) 狀態(tài)反饋時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 可見，狀態(tài)反饋增益矩陣K決定了閉環(huán)系統(tǒng)的特征根?？梢宰C明，如果系統(tǒng)是完全可控的，通過選擇K陣可以任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。(5) 狀態(tài)反饋與閉環(huán)

9、系統(tǒng)零點(diǎn)的關(guān)系 狀態(tài)反饋不能改變或配置系統(tǒng)的零點(diǎn)。,12,6.2.2 單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,基本思想:由系統(tǒng)性能要求確定閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)位置，然后依據(jù)期望極點(diǎn)位置確定反饋增益矩陣K。(本節(jié)主要討論單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法) 1. 系數(shù)匹配法,,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)特征方程,,閉環(huán)系統(tǒng)期望特征根為:,閉環(huán)系統(tǒng)期望特征方程：,對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得n個(gè)代數(shù)方程,,,,,可求得n個(gè)未知系數(shù),,13,,,單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,2. Ackerma

10、nn公式建立在可控標(biāo)準(zhǔn)型基礎(chǔ)上的一種計(jì)算反饋陣K的方法，對(duì)于高階系統(tǒng)，便于用計(jì)算機(jī)求解.,閉環(huán)系統(tǒng)期望特征方程：,其中,,14,3. 使用極點(diǎn)配置方法的注意問題,(1) 系統(tǒng)完全可控是求解該問題的充分必要條件。若系統(tǒng)有不可控模態(tài)，利用狀態(tài)反饋不能移動(dòng)該模態(tài)所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)。(2) 實(shí)際應(yīng)用極點(diǎn)配置法時(shí)，首先應(yīng)把閉環(huán)系統(tǒng)期望特性轉(zhuǎn)化為z平面上的極點(diǎn)位置。(3) 理論上，反饋增益 ，系統(tǒng)頻帶 ，快速性 。

11、 u(k) 執(zhí)行元件飽和 系統(tǒng)性能 。 實(shí)際要考慮到所求反饋增益物理實(shí)現(xiàn)的可能性 。(4)系統(tǒng)階次較低時(shí)，可以直接利用系數(shù)匹配法；系統(tǒng)階次較高時(shí)，應(yīng)依Ackermann公式，利用計(jì)算機(jī)求解。,,,,,,,,,15,6.2.3 多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,對(duì)于n階系統(tǒng)，最多需要配置n個(gè)極點(diǎn)。單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益K矩陣為1×n維，其中的n個(gè)元素可以由n個(gè)閉環(huán)特征

12、值要求唯一確定。對(duì)于多輸入系統(tǒng)，K陣是m×n維，如果只給出n個(gè)特征值要求，K陣中有m×(n-1)個(gè)元素不能唯一確定，必須附加其他條件，如使‖K‖最小，得到最小增益陣；給出特征向量要求，使部分狀態(tài)量解耦等。事實(shí)上，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，一般不再使用單純的極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)，而常用如特征結(jié)構(gòu)配置、自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制等現(xiàn)代多變量控制方法設(shè)計(jì)。,16,6.1 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律

13、的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)6.3 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)6.4 調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計(jì),17,,6.3.1 系統(tǒng)狀態(tài)的開環(huán)估計(jì),狀態(tài)估計(jì)：,圖6-10 開環(huán)估計(jì)器結(jié)構(gòu)圖,估計(jì)誤差：,估計(jì)誤差狀態(tài)方程：,,(1) 如果原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么觀測誤差將隨著時(shí)間的增加而發(fā)散；(2) 如果F 陣的模態(tài)收斂很慢，觀測值也不能很快收斂到的值，將影響觀測效果。(3) 開環(huán)估計(jì)只利用了原系統(tǒng)的輸入信號(hào)，并沒有利

14、用原系統(tǒng)可測量的輸出信號(hào)。,,18,6.3.2 全階狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì),1. 預(yù)測觀測器,圖6-11 閉環(huán)狀態(tài)估計(jì)器,,預(yù)估,閉環(huán)觀測器方程,估計(jì)誤差狀態(tài)方程：,(6-35),觀測器設(shè)計(jì)的基本問題：要及時(shí)地求得狀態(tài)的精確估計(jì)值，也就是要使觀測誤差能盡快地趨于零或最小值。從式(6-35)可見，合理地確定增益L矩陣，可以使觀測器子系統(tǒng)的極點(diǎn)位于給定的位置，加快觀測誤差的收斂速度。,19,觀測誤差產(chǎn)生的原因,(1)構(gòu)造觀測器所用的模型參數(shù)

15、與真實(shí)系統(tǒng)的參數(shù)不可能完全一致。(2)觀測器與對(duì)象的初始狀態(tài)很難一致。(3)外干擾→有穩(wěn)態(tài)誤差狀態(tài)觀測器極點(diǎn)配置的目的，使,，而設(shè),一般,20,,計(jì)算觀測器增益L,方法一：系數(shù)匹配法,觀測器期望特征多項(xiàng)式：,方法二 Ackermann公式計(jì)算法,觀測器特征方程,期望特征方程：,對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得m個(gè)代數(shù)方程,可求得m個(gè)未知系數(shù),,,,,,,其中：,系統(tǒng)可觀陣,(6-36),21,6.3.2 全階狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì),2. 現(xiàn)今

16、值觀測器,,預(yù)估,估計(jì)誤差狀態(tài)方程：,(6-41),觀測器極點(diǎn)的配置由[F CF]的可觀性決定。分析表明，若[F C]可觀，則[F CF]必定也可觀。選擇反饋增益L亦可任意配置現(xiàn)今值觀測器的極點(diǎn)。,觀測誤差,,預(yù)測值,得修正值,圖6-12 現(xiàn)今值觀測器,22,圖6-13預(yù)測觀測器與現(xiàn)今值觀測器的區(qū)別,現(xiàn)今值觀測器與預(yù)測觀測器比較,主要差別：預(yù)測觀測器利用陳舊的y(k)測量值產(chǎn)生觀測值現(xiàn)今值觀測器利用當(dāng)前測量值y(k+1)產(chǎn)生觀

17、測值，進(jìn)行計(jì)算控制作用。由于ε≠0，故現(xiàn)今值觀測器是不能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)的，但采用這種觀測器，仍可使控制作用的計(jì)算減少時(shí)間延遲，比預(yù)測觀測器更合理。,計(jì)算時(shí)間 ε≠0,23,,6.3.3 降維狀態(tài)觀測器,假設(shè)系統(tǒng)有p個(gè)狀態(tài)可測，有q=n-p個(gè)狀態(tài)需要觀測,,維可測,維需觀測,系統(tǒng)狀態(tài)方程,,,,,,,,,可直接測得,,動(dòng)態(tài)方程,輸出方程,,可直接測得,降維系統(tǒng)觀測誤差方程:,其中觀測器增益L的求法可以采用系數(shù)匹配法，也可以利用Ackerma

18、nn公式。,24,6.1 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)6.3 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)6.4 調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計(jì),25,,6.4.1 調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)分離原理,被控對(duì)象,圖6-14觀測器與控制律的組合,反饋狀態(tài),預(yù)測觀測誤差的狀態(tài)方程,組合系統(tǒng)方程,,特征方程,,26,調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)分離原理:,分離原理：控制規(guī)律與觀測器可以分開單獨(dú)設(shè)計(jì)，組合后各自的極

19、點(diǎn)不變。,組合系統(tǒng)的特征方程,,組合系統(tǒng)的階次為2n，它的特征方程分別由觀測器及原閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程組成，反饋增益K只影響反饋控制系統(tǒng)的特征根，觀測器反饋增益L只影響觀測器系統(tǒng)特征根。,圖6-14觀測器與控制律的組合,27,,6.4.2 調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的控制器,把觀測器系統(tǒng)與控制規(guī)律組合起來，構(gòu)成控制器,控制器 狀態(tài)方程,特征方程,對(duì)SISO系統(tǒng)，控制器的輸入為測量輸出y(k)，輸出為u(k),,,圖6-14觀測器與控制律的組合,28,6

20、.4.3 控制律及觀測器極點(diǎn)選擇,控制律的極點(diǎn)由系統(tǒng)期望特性確定。觀測器極點(diǎn)通常選擇觀測器極點(diǎn)的最大時(shí)間常數(shù)為控制系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)的(1/2~1/4) ，由此確定觀測器的反饋增益L。觀測器極點(diǎn)時(shí)間常數(shù)越小，觀測值可以更快地收斂到真實(shí)值，但要求反饋增益L越大。過大的增益L，將增大測量噪聲，降低觀測器平滑濾波的能力，增大了觀測誤差。若觀測器輸出與對(duì)象輸出十分接近，L的修正作用較小，則L可以取得小些。弱對(duì)象參數(shù)不準(zhǔn)或?qū)ο笊系母蓴_使

21、觀測值與真實(shí)值偏差較大，L應(yīng)取得大些。若測量值中噪聲干擾嚴(yán)重，則L應(yīng)取得小些。實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)L時(shí)，最好的方法是采用較真實(shí)的模型(包括作用于對(duì)象上的干擾及測量噪聲)進(jìn)行仿真研究,29,6.1 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2 狀態(tài)反饋控制律的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)6.3 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)6.4 調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)（控制律與觀測器的組合）6.5 控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計(jì),30,,,,,6.5.1 概述,最優(yōu)控制實(shí)質(zhì)：將尋求一種最優(yōu)控制策

22、略，使某一性能指標(biāo)最佳。,最優(yōu)控制問題常被稱為“二次型最優(yōu)控制問題。,離散系統(tǒng)代價(jià)函數(shù)：,通常的性能指標(biāo)（代價(jià)函數(shù)）：,為使代價(jià)函數(shù)有意義，應(yīng)要求：,S、Q至少是對(duì)稱半正定的，R是對(duì)稱正定的。,有限時(shí)間最優(yōu)代價(jià)函數(shù),無限時(shí)間最優(yōu)代價(jià)函數(shù),,,是有限的,離散系統(tǒng),連續(xù)系統(tǒng),,,,,最優(yōu)控制存在,31,,,,6.5.2 無限時(shí)間離散最優(yōu)二次型,其中的S、Q對(duì)稱半正定的，R對(duì)稱正定,,最優(yōu)控制存在,有限時(shí)間情況：,代價(jià)函數(shù),最優(yōu)控制：,為R

23、iccati陣，滿足,其中，有,,32,無限時(shí)間離散最優(yōu)二次型代價(jià)函數(shù),注意：N趨于無窮大時(shí)，并不是所有有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題都有解。1. 被控對(duì)象及代價(jià)函數(shù)應(yīng)滿足的條件： (1) 被控對(duì)象（F G）應(yīng)是完全可控或可穩(wěn)定的——穩(wěn)態(tài)解存在的必要條件。 (2) 控制加權(quán)陣R是正定的，狀態(tài)加權(quán)陣Q也是正定的——解存在的充分條件。,,穩(wěn)態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題,此時(shí)Riccati方程的解為：,最優(yōu)控制為,常值反饋增益陣,,即有,或?qū)懗?/p>

24、：,,33,2. 二次型最優(yōu)穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)器的特性,(1)上述所得到的設(shè)計(jì)結(jié)果不僅可以用于SISO系統(tǒng)，也可以用于MIMO系統(tǒng)及時(shí)變系統(tǒng)。通過改變Q、R各元素相對(duì)比值可以很容易地改變系統(tǒng)響應(yīng)，協(xié)調(diào)系統(tǒng)響應(yīng)速度和控制信號(hào)模值之間的關(guān)系。(2)若Q、R是正定的，P亦是正定的。若Q是半正定的，且（F D）對(duì)完全可觀，其中D滿足 則在這種條件下也可以證明P是正定的。(3)對(duì)于無限時(shí)間的最優(yōu)控制，若Q半正定，R正定，可以證明最優(yōu)控制

25、 使閉環(huán)系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定，同時(shí)還具有一定的相位穩(wěn)定裕度和增益穩(wěn)定裕度。(4)最優(yōu)控制閉環(huán)極點(diǎn)軌跡：二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器閉環(huán)極點(diǎn)與代價(jià)函數(shù)加權(quán)陣密切相關(guān)，加權(quán)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)隨之變化，形成閉環(huán)極點(diǎn)軌跡。,34,6.5.3 采樣系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計(jì),1. 采樣系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題,采樣系統(tǒng)特點(diǎn)：,對(duì)象連續(xù),積分代價(jià)函數(shù)J最小,不同于離散系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題,尋求分段常值控制,不可采用

26、連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器理論與結(jié)果,,,,,,思路：采樣系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題,離散系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題,,35,6.5.3 采樣系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計(jì),1. 采樣系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題,,采樣區(qū)段內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)應(yīng)連續(xù)變化,,其中：,36,,1. 采樣系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題,通過簡化處理，得到,其中，各等價(jià)加權(quán)矩陣為：,,該最優(yōu)控制問題可通過MATLAB中的最優(yōu)控制工具箱求解。,,37,2. 等價(jià)加權(quán)矩陣的計(jì)算,一種較為簡單的方法：,其中：,,離散化處理,,

27、,,,,38,,2. 等價(jià)加權(quán)矩陣的計(jì)算（續(xù)）,,式中,(6-80),(6-81),式(6-80)可以看作是矩陣微分方程(6-81)在零初始條件下的解。數(shù)值積分中的許多方法，如阿達(dá)姆預(yù)報(bào)校正法都可用于解該矩陣方程,39,6.5.4 離散最優(yōu)二次型調(diào)節(jié)器,按離散或采樣系統(tǒng)二次型設(shè)計(jì)所得的控制規(guī)律仍然是一種全狀態(tài)反饋。由于全狀態(tài)反饋難于實(shí)現(xiàn)，常要采用狀態(tài)觀測器，從而形成了一種組合系統(tǒng)，在不考慮指令信號(hào)時(shí)，也構(gòu)成了一種調(diào)節(jié)器。問題：使

28、用觀測器后，為使代價(jià)函數(shù)最小是否仍使用原設(shè)計(jì)的最優(yōu)反饋增益；如仍使用原設(shè)計(jì)的最優(yōu)反饋增益，代價(jià)函數(shù)是否仍是最小。通常：仍取原設(shè)計(jì)的最優(yōu)反饋增益最優(yōu)代價(jià)函數(shù)的最小值要增大，且直接與觀測器設(shè)計(jì)有關(guān)。,40,,最優(yōu)代價(jià)函數(shù)的最小值增大原因的簡單說明,直接狀態(tài)反饋,采用觀測器,代價(jià)函數(shù)的增量,結(jié)論：最優(yōu)代價(jià)函數(shù)損失量完全是由觀測誤差引起的，它與觀測器動(dòng)態(tài)特性有關(guān)。在最優(yōu)調(diào)節(jié)器中引入觀測器時(shí)，應(yīng)把最優(yōu)代價(jià)函數(shù)的損失量作為選擇觀測器特性的一