矩陣跡的性質(zhì)與應(yīng)用

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2013屆畢業(yè)論文第1頁(yè)矩陣跡的若干個(gè)性質(zhì)與應(yīng)用矩陣跡的若干個(gè)性質(zhì)與應(yīng)用姓名：某某指導(dǎo)老師：某某摘要：根據(jù)矩陣跡的定義首先給出了矩陣跡的性質(zhì)然后依據(jù)方陣的范數(shù)定義Cauchy—F?Schwarz不等式給出了零矩陣不相似矩陣數(shù)冪矩陣列矩陣冪等矩陣及矩陣不等式的證法。矩陣的跡在解題中的應(yīng)用給出了實(shí)例。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：跡矩陣范數(shù)特征值1引言引言矩陣的跡及其應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是工程理論研究中的重要工具。本文

2、在前人研究的基礎(chǔ)上，首先介紹了矩陣跡的相關(guān)性質(zhì)，然后給出了零矩陣，不相似矩陣，數(shù)冪矩陣，列矩陣，冪等矩陣及矩陣不等式的證法，最后對(duì)矩陣的應(yīng)用給出實(shí)例。2預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)定義定義1設(shè)則稱(chēng)為的跡。nnijCaA???)(???niiiatrA1A定義定義2設(shè)記與向量范數(shù)相容的的一范數(shù)為:nnijCaA???)(2XAAF21121)(?????ninjijFaA)1(00???FAA(2)CKAKKAFF????(3)nFFFCBABABA

3、?????(4)nnFFFCBABAAB?????(5)22XAAXF??引理：引理：矩陣跡的性質(zhì):1trBtrABAtr???)(證明：設(shè)則(a)()ijnnijnnABb????111()()()()inininiiiiiiiiiiitrAatrBbtrABab??????????????安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2013屆畢業(yè)論文第3頁(yè)證明：由若當(dāng)定理知100nAJ???????????????:?因?yàn)橄嗨凭仃囒E相等，所以??

4、?niitrA1?8???niiAtr122)(?證明：設(shè)矩陣的特征值為A1.......n??則矩陣的特征值為2A221.......n??則由（7）即可得證9若則特別，~ABtrBtrA?trAATTtr??)(1（下面定理有證明）10若，，則0?A||||0A0?trA有了上面關(guān)于矩陣的跡定義及性質(zhì)的介紹，下面我們通過(guò)舉例來(lái)看其在解題中的應(yīng)用。3解題中的應(yīng)用解題中的應(yīng)用例1設(shè)為同階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若正定，則和不相似。BABA?AB證：

5、假設(shè)相似則由性質(zhì)9知ABtrBtrA?再由性質(zhì)1得0)(????trBtrABAtr故由性質(zhì)10知不是正定陣與已知矛盾從而和不相似。BA?!AB例2設(shè)n階矩陣的對(duì)角線上元素全是1，且其特征值為復(fù)數(shù)，求證A||1A?證：設(shè)為的全部特征值，且則有(12...)iin??A012...iin???1212||...()...nnAtrA??????????又的主對(duì)角線上的元素全是1，知A()trAn?則1212...()...1nnntrAn