二維區(qū)域本征值問題的研究畢業(yè)論文

1、二維區(qū)域上本征值問題的研究第1頁共9頁二維區(qū)域上本征值問題的研究二維區(qū)域上本征值問題的研究徐榮超(安慶師范學院物理與電氣工程學院安徽安慶246011)指導教師：章禮華摘要：摘要：本文是對二維區(qū)域上的本征值問題進行研究，二維本征值問題涉及二維振動問題、輸運問題以及穩(wěn)定場等問題。首先寫出相關的定解問題，然后導出二維本征值問題，如矩形、圓形、三角形、扇環(huán)形等區(qū)域，并運用數學物理方法教程中所涉及的方法對其進行求解，例如分離變量法，拉普拉斯變換法

2、，得到本征值和本征函數。最后對各種二維區(qū)域的本征值問題進行總結，并進行分析比較。關鍵詞：關鍵詞：二維區(qū)域，本征值問題，分離變量法1引言引言在運用數學物理方程來研究物理問題時，我們都必須要解數學物理方程而求解數學物理方程的過程中必然會產生本征值問題，需要我們對本征值問題進行求解。梁昆淼的《數學物理方法》、姚端正的《數學物理方法》以及四川大學出版的《高等數學第四冊》均詳細的向我們講解了利用分離變量法、積分變換等方法來對各種有界問題進行求解，

3、其中包括矩形區(qū)域和圓形區(qū)域[1][2][3]；章禮華的《等腰三角形薄膜振動的解析解》在矩形膜的特征解的基礎上，求解了占據等腰三角形區(qū)域的均勻膜的橫振動問題，并討論了等腰三角形的均勻膜的橫振動的某些性質[4]；彭芳麟的《數學物理方程的MATLAB求解與可視化》以及《計算物理基礎》向我們介紹了利用MATLAB指令來求解二維區(qū)域上本征值問題，并可將結果用圖形甚至動畫表現(xiàn)出來[5][6]。在解決二維振動方程問題、輸運問題或者穩(wěn)定場等問題時免不了

4、要面臨對二維本征值問題的求解，因此研究二維區(qū)域上本征值問題對于解決各種二維數學物理方程有著非常重要的作用和意義。2本征值問題的基本概念本征值問題的基本概念考慮長為兩端固定的弦的自由振動l(1)??????????????????????0)()(000000002lxxuxutuutlxuautttlxxxxtt??由經典力學的知識我們清楚地知道，兩端固定的弦的自由振動會產生駐波，這就指導我們應該考慮利用駐波的一些性質來解決這樣的問題。

5、在經典力學中，駐波的表達式為(2)txAtxu????2cos2cos2)(?對于定解問題(1)式可設其分離變數的試探解為(3))()()(tTxXtxu?也就是說和分別只是變量和的函數，變量和可以分開互不影響。把試探解)(xX)(tTxtxt（3）式帶入定解問題方程，分離變量得到二維區(qū)域上本征值問題的研究第3頁共9頁（9）將定解問題分離變量得三個方程為(10)0)()()(?????xXxX??(11)0)()(????yYyY?(1

6、2)0)(2????TatT?方程（10）和其對應的邊界條件構成一個本征值問題????????????0)(0)0(0)()()(cxXxXxXxX??(13)方程（11）和其對應的邊界條件構成又一個本征值問題(14)???????????0)(0)0(0)()(byYyYyYyY?分別求解得到本征值問題（13）和（14）的本征值和本征函數分別為(15)?????321)(sin)(2mbmbymyYmm???(16)??????321

7、)(sin)(2ncncxnxXmmnm????即得到矩形膜的振動的本征模為22)()(sinsin)()(cnbmbymcxnyYxXmnmm????????3.23.2圓形區(qū)域上本征值問題圓形區(qū)域上本征值問題考慮一個半徑為上下兩面絕熱的薄圓盤上的穩(wěn)定溫度分布問題，如圖2所示。由于邊界是圓周，a因此采用極坐標求解更為簡便，又因為圓盤的上下兩面絕熱，所以沒有熱量流動，又因為圓盤很薄，因此可以看成是二維圓形區(qū)域的穩(wěn)定場問題。在極坐標下該問