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1、注重挖掘代數(shù)式的幾何意義姜堰市勵(lì)才實(shí)驗(yàn)學(xué)校張網(wǎng)軍225500數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一,對(duì)于所研究的代數(shù)問(wèn)題,有時(shí)可研究其對(duì)應(yīng)的幾何性質(zhì)使問(wèn)題得以解決,以形助數(shù),往往能達(dá)到異想不到的妙處。筆者在高三復(fù)習(xí)不等式證明時(shí)對(duì)此深有感觸,加以整理與大家共享。對(duì)于以下結(jié)構(gòu)的問(wèn)題需要注意其式子的幾何意義:(1)表示兩點(diǎn)間的距離或向量的模;(2)表示過(guò)????22xayb???ybxa??點(diǎn)與直線的斜率;(3)與直線的截距有關(guān);??xy?
2、?abAxBy?0AxByC???(4)表示單位圓上的任意一點(diǎn);(5)與??cossinP??221xy??22aabb??余弦定理有關(guān),在解題過(guò)程可以利用這些式子的幾何意義達(dá)到簡(jiǎn)化不等式證明的目的。例1已知,求證:Rabcd??。????222222abcdacbd???????分析:分析:此題可利用距離公式與三角形的性質(zhì)加以解決。解:設(shè),則點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)在第三象限????AabBcd??AB∵,2222OAabOBcd??????
3、??22ABaccd????∴若三點(diǎn)不共線,則在中,OABOAB?OAOBAB??若三點(diǎn)共線,則OABOAOBAB??綜上所述,,即OAOBAB??????222222abcdacbd???????例2已知,且,求證:。Rxyz??xyza???22223axyz???分析:分析:表示平面上任意一點(diǎn)到空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)222xyz??xyza???距離平方,最小值為原點(diǎn)O到平面的距離。xyza???解:設(shè)點(diǎn)為平面:上任意一點(diǎn),則原點(diǎn)O到
4、平面??Pxyz?xyza????的距離為,則由平面外一點(diǎn)O與平面上2221010103111aad????????????任意一點(diǎn)的連線中垂線段最短知:OPd?所以,即。2223axyz???22223axyz???例3設(shè)函數(shù),且,求證:。2()1fxx??ab?()()fafbab???分析:分析:此題只要證明過(guò)點(diǎn)的直線的斜率????()()AafaBbfb的絕對(duì)值小于1。()()fafbkab???解:設(shè)為函數(shù)圖象上兩點(diǎn),則???
5、?()()AafaBbfb2()1fxx??,而函數(shù)的圖象是雙曲線的上半()()fafbkab???2()1fxx??221yx??支再直線AB的方程為,聯(lián)立方程組ykxb??消去得,221yxykxb???????x??2221210kybyb?????∵直線AB與雙曲線的上半支交于A、B兩點(diǎn)221yx??∴(等號(hào)不可同時(shí)成立),∴11AByy??0AByy?∵,∴,即,故22101ABbyyk????21k?1k?()()1fafb
6、ab???所以。()()fafbab???例4已知,且,求證:。Rabcd??222211abcd????1acbd??分析分析1:方程都表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓,故可利222211abcd????用圓的參數(shù)方程解題。解:設(shè)cossincossin(0)2abcd????????????則??coscossinsincosacbd???????????顯然??cos1acbd??????分析分析2:此題也可利用向量的數(shù)量積與模之間的關(guān)系
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