高中物理競賽講義——微積分初步

1、物理競賽講義南豐一中彭定輝編寫1tv高中物理競賽講義高中物理競賽講義——微積分初步微積分初步一：引入一：引入【例】問均勻帶電的立方體角上一點的電勢是中心的幾倍。分析：①根據(jù)對稱性，可知立方體的八個角點電勢相等；將原立方體等分為八個等大的小立方體原立方體的中心正位于八個小立方體角點位置；而根據(jù)電勢疊加原理，其電勢即為八個小立方體角點位置的電勢之和，即U1=8U2；②立方體角點的電勢與什么有關(guān)呢電荷密度ρ；二立方體的邊長a；三立方體的形狀；

2、根據(jù)點電荷的電勢公式U=及量綱知識，可猜想邊長為a的立方體角點電勢為KQrU==Ckρa2；其中C為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點）有關(guān)，Q是總電量，CKQaρ是電荷密度；其中Q=ρa3③大立方體的角點電勢：U0=Ckρa2；小立方體的角點電勢：U2=Ckρ（）2=a2CKρa24大立方體的中心點電勢：U1=8U2=2Ckρa2；即U0=U112【小結(jié)】我們發(fā)現(xiàn)，對于一個物理問題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關(guān)聯(lián)，或者用數(shù)

3、學(xué)語言來說，所求的物理量就是其他物理量（或者說是變量）的函數(shù)。如果我們能夠把這個函數(shù)關(guān)系寫出來，或者將其函數(shù)圖像畫出來，那么定量或定性地理解物理量的變化情況，幫助我們解決物理問題。二：導(dǎo)數(shù)二：導(dǎo)數(shù)㈠物理量的變化率物理量的變化率我們經(jīng)常對物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如vt圖像，求其斜率可以得出加速度a，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過vt圖像中某個點作出切線，其斜率即a=.△v△t下面我們從代數(shù)上考察

4、物理量的變化率：【例】若某質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的函數(shù)關(guān)系為上s=3t2t2試求其t時刻的速度的表達式。（所有物理量都用國際制單位，以下同）物理競賽講義南豐一中彭定輝編寫3“”表示極限，意思是△t的極限值為0。常規(guī)計算：0limt??①（△tC）=C②C△t=0③f(△t)=f(0)0limt??0limt??0limt??④f(t△t)=f(t)⑤=10limt??0limt??sin(△t)△t『附錄附錄』常用等價無窮小關(guān)系常

5、用等價無窮小關(guān)系（）0x?①；②；③；④；⑤sinxx?tanxx?211cos2xx????ln1xx??1xex??㈢導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)前面我們用了極限“”的表示方法，那么物理量y的變化率的瞬時值z可以寫0limt??成:z=并簡記為z=稱為物理量y函數(shù)對時間變量t的導(dǎo)數(shù)。物理上經(jīng)常用0limt??△y△tdydt某物理量的變化率來定義或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N等，甚dxdtdvdtdqdtdФdt至不限于對時間求導(dǎo)，如F=

6、、Ex=、ρ=等。dWFdxdUdxdmdl這個dt（也可以是dx、dv、dm等）其實相當(dāng)于微元法中的時間微元△t，當(dāng)然每次這樣用來求物理量變化率的瞬時值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時期的微積分。0limt??如果能把常見導(dǎo)數(shù)計算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡單快速地求解物理量變化率的瞬時值（導(dǎo)數(shù)）了。同學(xué)們可以課后推導(dǎo)以下公式：⑴導(dǎo)數(shù)的四則運算導(dǎo)數(shù)的四則運算①=③=d(uv)dtdudtdvdt②=vud(uv)dtdudtdvdtu