高考數(shù)學(xué)-極點(diǎn)、極線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、一道高考解析幾何題的背景溯源一道高考解析幾何題的背景溯源────極點(diǎn)、極線與圓錐曲線的位置關(guān)系極點(diǎn)、極線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目題目已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的取值范圍是，直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.這是2010年高考湖北卷文科第15題，本題是一道涉及到點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定的考題從高等幾何的觀點(diǎn)知，這里的點(diǎn)和直線就是橢圓的一對極點(diǎn)與極線，本題第二問實(shí)際上是：已知橢圓的極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，判斷極線與橢圓的位置關(guān)系據(jù)筆者之前發(fā)表

2、的文章中圓錐曲線極點(diǎn)和極線的幾何性質(zhì)可得如下結(jié)論：定理定理已知點(diǎn)已知點(diǎn)和直線和直線是圓錐曲線是圓錐曲線的一對極點(diǎn)與極線（的一對極點(diǎn)與極線（1）若極點(diǎn)）若極點(diǎn)在曲線上，在曲線上，則極線則極線與曲線與曲線的相切于點(diǎn)的相切于點(diǎn)；（；（2）若極點(diǎn)）若極點(diǎn)在曲線內(nèi)，則極線在曲線內(nèi)，則極線與曲線與曲線的相離；的相離；（2）若極點(diǎn)）若極點(diǎn)在曲線外，則極線在曲線外，則極線與曲線與曲線的相交的相交由該定理不難知道，考題中的直線與橢圓相離，故公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0

3、若運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作動(dòng)態(tài)演示，不僅可以驗(yàn)證確認(rèn)該結(jié)論，而且還可獲得直觀感知從而加深印象強(qiáng)化理解本文將借用判別式法給出該定理的另一種證明為了表達(dá)方便我們給出圓錐曲線內(nèi)部和外部的定義圓、橢圓是封閉圖形其內(nèi)部和外部不言而喻，拋物線、雙曲線不是封閉的是開的，我們參考一些雜志專著，對雙曲線和拋物線的內(nèi)部和外部給出如下定義：焦點(diǎn)所在的平面區(qū)域稱為該曲線的內(nèi)部，不含焦點(diǎn)的平面區(qū)域稱為曲線的外部，曲線上的點(diǎn)既不在內(nèi)部也不在外部關(guān)于點(diǎn)與圓錐曲線位置

4、關(guān)系我們有如下結(jié)論（這里證明從略）引理引理1已知點(diǎn)和拋物線則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交證明證明當(dāng)時(shí)，則（1）點(diǎn)在直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交當(dāng)時(shí)，，將其代入曲線方程整理得，所以所以，（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交綜上所述，命題結(jié)論正確同理可證如下如下結(jié)論：定理定理3已知點(diǎn)和直線是雙曲線