代數(shù)發(fā)展史

1、代數(shù)發(fā)展史,福州屏東中學(xué)實(shí)習(xí)教師周韌,總述,數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個(gè)分支的“共和國(guó)”，這個(gè)“共和國(guó)”中的“三大聯(lián)邦”就是代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)以及分析學(xué)，而我們今天所要學(xué)習(xí)的就是代數(shù)這個(gè)最古老的分支的歷史，從古老的算術(shù)，到丟番圖，笛卡爾發(fā)明的初等代數(shù)，到現(xiàn)如今的高等代數(shù)，抽象代數(shù)，數(shù)論，代數(shù)學(xué)是巴比倫人，希臘人，阿拉伯人，中國(guó)人，印度人，西歐人一棒接著一棒而完成的偉大成就。,整體脈絡(luò),1.算術(shù)與數(shù)的進(jìn)制2.數(shù)的表示與

2、數(shù)的擴(kuò)充3.數(shù)學(xué)符號(hào)與代數(shù)運(yùn)算4.方程求解與抽象代數(shù),,1.1 算術(shù),高斯說(shuō)：“算術(shù)給予我們一個(gè)用之不竭、充滿樂(lè)趣的寶庫(kù)?！敝袊?guó)古代的政治制度，很大程度決定了中國(guó)數(shù)學(xué)中“算”占據(jù)了最主要的地位，所以毋庸置疑的是，中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)于算術(shù)的重視程度和取得的成就都是世界上數(shù)一數(shù)二的，而傳承下來(lái)的著作，解決掉的難題和讓人拍案叫絕的計(jì)算方法仍是當(dāng)今數(shù)學(xué)界的瑰寶。,1.1.1 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就— 《九章算術(shù)》,《九章算

3、術(shù)》我國(guó)古代最著名的傳世數(shù)學(xué)之作，又是中國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)典籍，而這部著作大約成型于漢代(約為公元1世紀(jì))后經(jīng)劉徽，李淳風(fēng)，祖沖之，楊輝(主要是前兩人)等人作注，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展添上了濃墨重彩的一筆。而這部著作的巨大貢獻(xiàn)體現(xiàn)在著作本身蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)意義和后人對(duì)該書(shū)所作的注釋中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，這極大的影響了后世的數(shù)學(xué)家?！毒耪滤阈g(shù)》實(shí)際上是246道應(yīng)用題及其解法的匯編，而在這246道應(yīng)用題中蘊(yùn)涵了許多在世界上遙遙領(lǐng)先的數(shù)學(xué)成果，如勾股定理

4、，方程思想，數(shù)列求和，正負(fù)數(shù)，而漢朝數(shù)學(xué)家們運(yùn)用極為精妙的算術(shù)方法一一為看似不可能在那個(gè)時(shí)代解決的問(wèn)題給出了正確的解答。,1.1.2 《九章算術(shù)》第196題： 兩鼠穿墻問(wèn)題,今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)幾何日相逢？各穿幾尺？用今天的辦法，設(shè)大鼠和小鼠在x日后相逢：我們得出這樣的一個(gè)用數(shù)列求和的等式：,1.1.3 求解過(guò)程,這里不僅涉及

5、到數(shù)列求和的問(wèn)題，還有超越方程的問(wèn)題！求解這樣的一個(gè)方程可能對(duì)于現(xiàn)在的我們都有一定的困難，但是《九章算術(shù)》卻巧妙的解出了此題。,由數(shù)列求和公式得：,做變換：令,得方程：,解之，得：,1.1.3 “盈不足術(shù)”,具體解法如下：解：假設(shè)兩只老鼠打洞2天，則仍差5寸(1寸為0.1尺)，不能把墻打穿，假設(shè)打洞3天，就會(huì)多出3尺7寸半，這樣一來(lái)，便化繁為簡(jiǎn)，成為了典型的“盈不足”問(wèn)題：,兩只老鼠相遇的天數(shù)(單位:天)：,相會(huì)時(shí)，大、小老鼠分

6、別穿墻(單位:尺)：,對(duì)于兩鼠穿墻問(wèn)題，《九章算術(shù)》給出的解法便是享譽(yù)古今的“盈不足術(shù)”。(回憶一下，這是我們小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的),1.2 數(shù)的進(jìn)制,在人類的記數(shù)史上，許多民族先后創(chuàng)造了許多記數(shù)符號(hào)和記數(shù)方法，同時(shí)也建立了相應(yīng)的進(jìn)位制度，如十進(jìn)制，五進(jìn)制，二進(jìn)制等等。而其中最為重要的當(dāng)然是十進(jìn)制記數(shù)法。十進(jìn)制產(chǎn)生的原因與人有十個(gè)指頭有關(guān)，因?yàn)楫?dāng)人類尚處于屈指數(shù)“數(shù)”的階段時(shí)，人們利用手指的屈或伸，記不大于十的數(shù)目是不會(huì)有什么困難的，而對(duì)于大

7、于十的數(shù)目，就感到屈指難數(shù)了。于是，“十”就成了記數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它迫使人們?nèi)?chuàng)造一種可以記十以上數(shù)的辦法。,1.2.1 十進(jìn)制的發(fā)明,在伊朗考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)距今五千年前人們使用小泥錐體來(lái)表示1，而用大一些的泥球來(lái)表示10，這應(yīng)該是世界上最早的十進(jìn)制的發(fā)源地。而我國(guó)也是較早使用十進(jìn)制記數(shù)的國(guó)家，早在三四千年前，我國(guó)的祖先已經(jīng)發(fā)明了在龜甲和獸骨上刻寫(xiě)的數(shù)碼字，并且采用十進(jìn)制記數(shù)了，甲骨文數(shù)碼共有九個(gè)：,另有四個(gè)表示十、百、千、萬(wàn)的位值符號(hào)：

8、,提問(wèn)：,你還可以說(shuō)出哪些中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著呢？你還知道哪些中國(guó)古代數(shù)學(xué)的著名方法呢？除了十進(jìn)制現(xiàn)在還有哪種進(jìn)制方式也在深刻地影響著我們的生活呢？,,2.1 數(shù)的表示,歷史上數(shù)的表示由繁至簡(jiǎn)經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的過(guò)程。中國(guó)甲骨文數(shù)字，羅馬數(shù)字，瑪雅數(shù)字是不同地域的數(shù)的表示法。阿拉伯?dāng)?shù)字則是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在印度游學(xué)后向西方推廣的，最終在補(bǔ)充了”0”之后成為了使用最廣的數(shù)字表示法。,2.2 數(shù)的擴(kuò)充,歷史上的數(shù)經(jīng)歷了這樣的一個(gè)擴(kuò)充過(guò)

9、程：,復(fù)數(shù)(加入了虛數(shù)),整數(shù)(加入了負(fù)整數(shù)),,有理數(shù)(加入了分?jǐn)?shù)),實(shí)數(shù)(加入了無(wú)理數(shù)),,,,,自然數(shù)(其實(shí)是正整數(shù)),非負(fù)數(shù)(加入了數(shù)字”0”),提問(wèn)：,你知道第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是因?yàn)槟膫€(gè)數(shù)的產(chǎn)生而引發(fā)的嗎？可以說(shuō)說(shuō)關(guān)于它的故事嗎？,,3.1 數(shù)學(xué)符號(hào),數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展跨越了1千多年的歷史，從第一階段的”文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)”(公元三世紀(jì)以前)到第二階段的”簡(jiǎn)化代數(shù)”(約為公元三世紀(jì)到16世紀(jì))最后再到第三階段的”符號(hào)代數(shù)”。在這其中，丟番

10、圖，以及我們熟知的韋達(dá)，笛卡爾都做了巨大的貢獻(xiàn)，他們將繁瑣的文字表達(dá)方式改進(jìn)為使用x,y,z代表未知量，用a,b,c代表已知量。,而其他的另外一些學(xué)者，則引入了：這些我們已經(jīng)非常熟悉的運(yùn)算符號(hào)，至此，代數(shù)也走進(jìn)了她的下一個(gè)時(shí)代。,3.2 代數(shù)運(yùn)算,引入數(shù)學(xué)符號(hào)之后，人們開(kāi)始對(duì)于方程，方程組的敘述做到了簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，而這個(gè)極大的簡(jiǎn)化也正式將代數(shù)運(yùn)算推上了歷史的舞臺(tái)。而各種算術(shù)中的運(yùn)算法則在代數(shù)運(yùn)算中的通用性更是大大的加速了人們對(duì)于

11、方程求解這一類在日常生活和科學(xué)研究中占據(jù)重要地位的數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，最終導(dǎo)致了新的數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)現(xiàn)。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)符號(hào)和代數(shù)運(yùn)算不僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的用符號(hào)代替繁瑣的文字的過(guò)程，而更是與各種數(shù)學(xué)思想方法一樣，都是人類智慧的偉大結(jié)晶。,,4.1 方程求解,作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的主要內(nèi)容的初等代數(shù)，中心內(nèi)容之一便是方程理論，而作為方程理論中最為基本和重要的方程求解問(wèn)題的一般性結(jié)論也是從古至今數(shù)學(xué)家們一直在追尋的。,4.1.1 多元一次方程組的解法,對(duì)

12、于多元一次方程組的問(wèn)題，睿智的古代數(shù)學(xué)家們?cè)缫呀o出了解決的辦法，《九章算術(shù)》中就有專門的一章”方程”來(lái)求解此類問(wèn)題。運(yùn)算采用的是被稱為”遍乘直除”的方法，而這種方法實(shí)際上便是現(xiàn)在我們常用解決多元一次方程組的加減消元法。,4.1.2 一元二次方程的解法,而我們現(xiàn)在熟知的一元二次方程的求根公式是由花拉子米在600年后建立的:,而公元3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽則對(duì)于一元二次方程,給出了一個(gè)根的公式,4.1.3 一元三次，四次方程的解法,三次和四次

13、方程把數(shù)學(xué)家們難住了一千多年，直到塔塔利亞和卡丹的出現(xiàn)，才真正地發(fā)現(xiàn)了一般的三次和四次方程的求根公式。,卡丹公式(三次方程)：,方程的解為：,含二次項(xiàng)的三次方程可以化為不含二次項(xiàng)的三次方程，只需令其中的x=y+a,其中a待定。,而一般的四次方程的解法是由卡丹的學(xué)生費(fèi)拉里得出的。,4.1.4 韋達(dá)定理和代數(shù)基本定理,韋達(dá)定理是在我們的學(xué)習(xí)中極其重要的定理，但是完整的韋達(dá)定理我們卻并不熟悉：,韋達(dá)定理：對(duì)n次方程，,它的n個(gè)根

14、 滿足公式：,而另一個(gè)在代數(shù)史上占有重要地位的便是代數(shù)基本定理：復(fù)系數(shù)n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根。而這兩個(gè)定理也為代數(shù)方程的理論研究帶來(lái)了極大的便利。而這之后數(shù)學(xué)史上最具浪漫色彩的兩位數(shù)學(xué)家的誕生也揭開(kāi)了抽象代數(shù)神秘的面紗。,4.2 抽象代數(shù)的萌芽,抽象代數(shù)也是人們研究代數(shù)方程的產(chǎn)物。18世紀(jì)后，人們開(kāi)始研究高于四次的方程的代數(shù)求根的方法，但是屢戰(zhàn)屢敗，而法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日發(fā)表論文《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》，他認(rèn)為次

15、數(shù)不低于五次的方程的代數(shù)解法一般而言是找不到的，他試圖證明這個(gè)理論的正確性，但是終以失敗告終，然而這件事實(shí)卻被兩位天才的年輕數(shù)學(xué)家加以補(bǔ)充，并得到證明，而在他們的研究工作中誕生的新概念和新理論都將代數(shù)帶入了一個(gè)新的時(shí)代，即抽象代數(shù)時(shí)代。,4.2.1 阿貝爾,厄米特評(píng)價(jià)阿貝爾：“他工作中豐富的數(shù)學(xué)思想可以讓數(shù)學(xué)家們忙碌500年?！彼恼撐摹陡哂谒拇蔚囊话惴匠痰拇鷶?shù)求解不可能性的證明》是代數(shù)學(xué)發(fā)展史上里程碑式的重大突破。,4.2.2 伽羅

16、瓦,羅素說(shuō)，他的死使數(shù)學(xué)的發(fā)展推遲了幾十年。伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問(wèn)題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，為了紀(jì)念他，人們稱之為伽羅瓦理論。作為這個(gè)理論的推論，可以得出五次以上一般代數(shù)方程根式不可解，以及用圓規(guī)、直尺(無(wú)刻度的尺)三等分任意角和作倍立方體不可能等結(jié)論。(即三大幾何作圖問(wèn)題),4.2.3 抽象代數(shù)簡(jiǎn)述,抽象代數(shù)又稱近世代數(shù)，它產(chǎn)生于十九世紀(jì)。抽象代數(shù)是研究各種抽

17、象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科。由于代數(shù)可處理實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣、變換等，這些物集分別是依它們各有的演算定律而定，而數(shù)學(xué)家將個(gè)別的演算經(jīng)由抽象手法把共有的內(nèi)容升華出來(lái)，并因此而達(dá)到更高層次，這就誕生了抽象代數(shù)。抽象代數(shù)，包含有群、環(huán)、伽羅瓦理論、格論等許多分支，并與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)洹⑼負(fù)淙旱刃碌臄?shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當(dāng)代大部分?jǐn)?shù)學(xué)的通用語(yǔ)言。,提問(wèn)：,你知道證明代數(shù)基本定理的第一人