復(fù)雜流體力學(xué)第三章

1、,,第三章 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ),§3－1 連續(xù)介質(zhì),一、質(zhì)點(diǎn),,宏觀上無窮小，微觀上無窮大。,既是物理點(diǎn)也是幾何點(diǎn)。,連續(xù)介質(zhì)充滿著一個(gè)空間時(shí)是不留任何空隙的。,二、連續(xù)介質(zhì)假設(shè),最大簡化是：我們不必研究大量分子的瞬間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而只要研究描述連續(xù)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的物理量。,連續(xù)介質(zhì)力學(xué)主要研究質(zhì)量連續(xù)分布的可變形物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，討論一切連續(xù)介質(zhì)普遍遵從的力學(xué)規(guī)律。例如，質(zhì)量守恒、動(dòng)量和角動(dòng)量定理、能量守恒等。流體力學(xué)和彈性體力學(xué)均屬于連

2、續(xù)介質(zhì)力學(xué)。,三、連續(xù)介質(zhì)力學(xué),,,,主要內(nèi)容：,①變形幾何學(xué)，研究連續(xù)介質(zhì)變形的幾何性質(zhì)，確定變形所引起物體各部分空間位置和方向的變化以及各鄰近點(diǎn)相互距離的變化，這里包括諸如運(yùn)動(dòng)、應(yīng)變張量、變形的基本定理等重要概念；,②運(yùn)動(dòng)學(xué)，主要研究連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中各種量的時(shí)間率，這里包括諸如速度梯度，變形速率和旋轉(zhuǎn)速率；,③本構(gòu)關(guān)系，在某些假定條件下連續(xù)介質(zhì)力學(xué)行為的數(shù)學(xué)描述；,④基本方程，根據(jù)適用于所有物質(zhì)的守恒定律建立的方程，例如，連續(xù)性方程、

3、運(yùn)動(dòng)方程、能量方程等；,⑤復(fù)雜條件下基本方程的求解。,§3－2 應(yīng)力張量,,,,一、力的分類,,,作用在流體上的力可以分為兩類，即質(zhì)量力和表面力兩大類。,作用在連續(xù)介質(zhì)表面上的表面力通常用作用在單位面積上的表面力——應(yīng)力來表示。,二、應(yīng)力張量推導(dǎo),以M為頂點(diǎn)取一個(gè)微四面體,設(shè)ΔABC的法向單位矢量為n，面積為ΔS,,,,,,,,,,,,ΔMBC、ΔMCA、ΔMAB的面積可分別以ΔSx、ΔSy、ΔSz表示為：,,,,四面體的體積

4、可表示為：,,根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可給出四面體受力的平衡方程為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,當(dāng)四面體趨近于M點(diǎn)時(shí)，h為一階小量，ΔS為二階小量，ΔV為三階小量，略去高階小量后可得,,,失量形式,分量可表示為：,,,,,,,,,,,,,,,,,可以用矩陣形式表示為：,,,,第一個(gè)下標(biāo)表示的是該應(yīng)力作用面的法線方向；第二個(gè)下標(biāo)表示的是該應(yīng)力的投影方向。,應(yīng)力張量,,,,,,無粘流體或靜止流場中，由于不存在切向應(yīng)力，即pij

5、=0（i≠j），此時(shí)有,式中：I為單位張量。,,式中： T稱為偏應(yīng)力張量；p為靜壓力或平均壓力，由于其作用方向與應(yīng)力定義的方向相反。,§3－3 應(yīng)變張量,,,,一、剛體的運(yùn)動(dòng),,,剛體的運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。,,式中:u0為剛體質(zhì)心的平動(dòng)速度； u為剛體內(nèi)部任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速度； ω為剛體繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)角速度； δr為質(zhì)心至某點(diǎn)的微元矢量。,,,,二、連續(xù)

6、介質(zhì)的運(yùn)動(dòng),,,,平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形。,假設(shè)點(diǎn)M0的速度為u（x,y,z）， δr=（δx,δy,δz）,,,分量形式：,,,,,,,,,,δu或(δux,δuy,δuz)是M點(diǎn)相對于M0點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)速度,,三、反對稱張量R,,,旋轉(zhuǎn)角速度矢量的三個(gè)分量,ω=ω1i+ω2j+ω3k,四、對稱張量D,,,,,,線應(yīng)變速率：,角變形速度：,,,,五、里夫林－埃里克森張量Ａ,,,,,,,,,A=2D,三個(gè)特征量：,,,,判斷是否可壓,流場剪切速

7、率,變形參量,,,,,,,,,,,,,，,，,,解：由速度分布，得旋轉(zhuǎn)張量和里夫林－埃里克森張量Ａ,,,,流動(dòng)為不可壓縮流動(dòng),有旋流動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,II=k表明了流場的剪切速率為常數(shù)。,,§3－3 連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程,,,,一、連續(xù)性方程,,,,,,將于質(zhì)量守恒定律改寫為適用于控制體的形式后所得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,1、定義,2、推導(dǎo),某一 時(shí)刻u＝(ux, uy, uz)從控制體側(cè)面ABCD流入的質(zhì)量是,,

8、,在dt時(shí)間內(nèi)從控制體側(cè)面EFGH流出的流體質(zhì)量可以表示為,,,,,,,,,,,,,dt時(shí)間內(nèi)沿x方向從六面體側(cè)面流出與流入的質(zhì)量差，稱為x方向的凈流量。,,,,,,,,,,,,,,沿y，z兩方向dt時(shí)間內(nèi)的凈流量可分別表示為:,,,dt時(shí)間內(nèi)整個(gè)六面體總的凈流量應(yīng)為:,,dt時(shí)間內(nèi)密度變化：,,dt時(shí)間內(nèi)六面體內(nèi)流體密度變化而引起的質(zhì)量變化值為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,按質(zhì)量守恒定律，凈流量應(yīng)與控制體內(nèi)流體質(zhì)量的變化值的代

9、數(shù)和為0。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，既對時(shí)間求導(dǎo)，又對空間坐標(biāo)求導(dǎo)。,,,流體空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程，適用于所有的流動(dòng)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、幾種特殊情況的連續(xù)性方程：,（1）穩(wěn)定流動(dòng),,（2）對不可壓縮流體，流體的密度為常數(shù)。,,,流動(dòng)為不可壓縮流動(dòng)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、運(yùn)動(dòng)方程：,運(yùn)動(dòng)方程是將于動(dòng)量定理改寫為適用于控制體的形式后所得到的數(shù)學(xué)表

10、達(dá)式。,,,,已知微元體中心處的應(yīng)力張量：,(1) 推導(dǎo),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,作用在微元體上的所有表面力在x方向上的合力為：,在垂直于x 軸的面上的合力：,,在垂直于y 軸的面上的合力：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在垂直于y 軸的面上的合力：,,,在垂直于z 軸的面上的合力：,,控制體內(nèi)的流體所受的表面力的合力在x方向的分量為：,,,質(zhì)量力的合力在x方向的分量為：,,,

11、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,作用在微元體上的動(dòng)量變化率在x方向上的分量為,,,,,,,動(dòng)量定理后兩端同除以微元體內(nèi)的流體的質(zhì)量ρdxdydz后，可得：,,,,應(yīng)力表示的粘性流體運(yùn)動(dòng)方程，也稱為柯西應(yīng)力方程。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,不可壓縮牛頓流體層流流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式，該方程又稱納維-斯托克斯方程式，簡稱 N-S 方程。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

12、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（2）適用范圍,任何粘性流體，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,（3）方程求解,9個(gè)未知量（包括6個(gè)應(yīng)力分量，3個(gè)速度分量）,方程組成：,柯西方程3個(gè),連續(xù)方程1個(gè),本構(gòu)方程,6個(gè),流體性質(zhì)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,柱坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,柱坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程,,,,,,,,,,,

13、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,§3-4 純粘流體的本構(gòu)方程,本構(gòu)方程給出的是偏應(yīng)力張量和應(yīng)變張量之間的函數(shù)關(guān)系，即間接地給出了偏應(yīng)力張量與速度之間的關(guān)系。,一、壓力的引入,,偏應(yīng)力張量,,偏應(yīng)力張量的分量與應(yīng)力張量各分量的關(guān)系為：,法向應(yīng)力- p+τij = pij (i=j)切應(yīng)力τij =pij(i≠j),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,,運(yùn)動(dòng)方程：,,,二、流體對外力的響應(yīng)函數(shù),最簡單的流動(dòng),,簡單剪切流動(dòng),簡單拉伸流動(dòng),石油行業(yè)中更重要,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,簡單剪切流動(dòng),Rivlin-Ericksen張量為：,,剪切速率,簡單剪切流動(dòng)可用三個(gè)材料函數(shù),廣義粘度系數(shù)：,,第一法向應(yīng)力系數(shù)：,,第二法向應(yīng)力系數(shù)：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

15、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,非牛頓粘度系數(shù)或視粘度。,，稱之為純粘流體或廣義流體。,三、純粘流體的本構(gòu)方程,假設(shè):,或,η是一標(biāo)量函數(shù),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,四、石油工程中常見的純粘流體的視粘度,1．賓漢流體,,,,,－塑性粘度,－表觀粘度,牙膏、油漆、潤滑脂、鉆井用的泥漿和下水污泥,對簡單切變

16、流動(dòng)，上式變?yōu)?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2．冪律流體,,,,,,,對簡單切變流動(dòng)，上式變?yōu)?擬塑性流體－剪切稀化流體,紙漿、血液、發(fā)酵液、橡膠,膨脹性流體－剪切稠化流體,淀粉糊、芝麻醬、高濃度含沙黃河水,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3．

17、卡森（Cosson）流體,,,,,,,,對簡單切變流動(dòng)，上式變?yōu)?,血液、油漆、塑料,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4．帶屈服應(yīng)力的冪律流體,,,,,,,,對簡單切變流動(dòng)，上式變?yōu)?,鉆井液、乳制品,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5．羅伯遜

18、-斯蒂夫（Robertson-Stiff）流體,,,,,,,,對簡單切變流動(dòng)，上式變?yōu)?,,,,,鉆井液等。,A－稠度系數(shù) B－流性指數(shù) C－變形速度校正值。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,§3-5 初始條件和邊界條件,,,一、解決非牛頓流體力學(xué)問題方法,1、實(shí)驗(yàn)方法,④運(yùn)用量綱分析等方法整理和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，與其它方法或著作所得的結(jié)果進(jìn)行比較，從中總結(jié)出流動(dòng)規(guī)律。,①

19、運(yùn)用相似理論，針對具體的研究對象確定相似準(zhǔn)數(shù)和相似準(zhǔn)則；,②依據(jù)模型律來設(shè)計(jì)和制造模型，確定測量參數(shù)，選擇相應(yīng)的儀器儀表，建立實(shí)驗(yàn)裝置；,③制定實(shí)驗(yàn)方案并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；,優(yōu)點(diǎn)：解決復(fù)雜的流動(dòng)問題，能夠根據(jù)觀察到的流動(dòng)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)新問題和新的原理，所得的結(jié)果可以作為檢驗(yàn)其他方法的正確性和準(zhǔn)確性。,缺點(diǎn)：對于不同的流動(dòng)需要進(jìn)行不同的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的普遍性稍差。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

20、2、解析方法,④列舉計(jì)算實(shí)例，然后再與其他方法所得的結(jié)果進(jìn)行比較，以檢驗(yàn)物理模型和數(shù)學(xué)模型的合理性。,①詳細(xì)分析問題的物理學(xué)本質(zhì)，通過適當(dāng)?shù)暮喕⑽锢砟Ｐ停?②運(yùn)用物理定律建立數(shù)學(xué)模型，通常是建立起微分方程或微分方程組，確定流動(dòng)方程邊界條件和初始條件；,③運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解出流動(dòng)方程的解析解；,缺點(diǎn)：數(shù)學(xué)上的困難比較大，只能對少數(shù)比較簡單的流動(dòng)給出解析解，所能得到的解析解的數(shù)目是非常有限的。,優(yōu)點(diǎn)：所得到的流動(dòng)方程的解是精確解，可以明確

21、地給出各個(gè)流動(dòng)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3、數(shù)值方法：,③將流場按照一定的規(guī)則離散成若干個(gè)計(jì)算點(diǎn)和計(jì)算單元；,① ②步驟同解析法① 、②。,④求解出各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的流動(dòng)參數(shù)。,缺點(diǎn)：對于復(fù)雜而又缺乏完整數(shù)學(xué)模型的流動(dòng)仍然無能為力，其結(jié)果仍然需要與實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果進(jìn)行對比和驗(yàn)證。,優(yōu)點(diǎn)：可以求解解析方法及實(shí)驗(yàn)無能為力的復(fù)雜流動(dòng)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

22、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、初始條件,初始條件是指流動(dòng)在t=t0的初始時(shí)刻，流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的初始狀態(tài)，或是給出流場中各物理量及其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)值。,,其中u0(x, y, z)、p0(x, y, z)和ρ0(x, y, z)為已知函數(shù)。,三、邊界條件,邊界條件是指流體運(yùn)動(dòng)的邊界上方程組的解應(yīng)滿足的條件。邊界條件有很多種形式，如固壁邊界條件、無窮遠(yuǎn)條件及對稱邊界條件等。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

23、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1、固壁邊界,固壁條件是最常用的邊界條件，存在于固體和流體之間?？紤]到流體不能流入固體也不能沿固體壁面滑移。,,式中：uf和us分別表示流體和固體在邊界處的速度。這一條件也稱為粘附條件或無滑移條件。,固壁靜止時(shí)可表示為,,2、無窮遠(yuǎn)條件,無窮遠(yuǎn)條件指在無限大的流場中（如飛機(jī)所處的流場），無窮遠(yuǎn)處的邊界條件為無窮遠(yuǎn)處的相應(yīng)的流動(dòng)參數(shù)值。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,