大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch8相關(guān)與回歸分析

1、第八章 相關(guān)與回歸分析,變量間的相關(guān)關(guān)系 一元線性回歸模型 多元線性回歸模型 非線性回歸模型,第一節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系,一、相關(guān)關(guān)系的概念 相關(guān)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象間確實(shí)存在的數(shù)量上不是嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的依存關(guān)系。,⒈按涉及變量的多少分為,⒉按照表現(xiàn)形式不同分為,⒊按照變化方向不同分為,一元相關(guān)（單相關(guān)）,多元相關(guān)（復(fù)相關(guān)）,,直線相關(guān)（線性相關(guān)）,曲線相關(guān)（非線性相關(guān)）,,二、相關(guān)關(guān)系的類(lèi)型,三　相關(guān)分析的基

2、本內(nèi)容,1、判斷現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系、關(guān)系的類(lèi)型及密切程度；　　?。病橄嚓P(guān)關(guān)系建立回歸方程或經(jīng)驗(yàn)公式；　　?。?、測(cè)定估計(jì)誤差。,第二節(jié) 相關(guān)圖（散點(diǎn)圖）和相關(guān)系數(shù),一、相關(guān)圖,相關(guān)關(guān)系的判斷方法,二、相關(guān)表　　1、簡(jiǎn)單相關(guān)表,小麥畝產(chǎn)量與施肥量相關(guān)表,2、分組相關(guān)表,產(chǎn)量和單位成本相關(guān)表,三、 簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù),１概念　　用以反映兩變量間線性相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。 　　總體相關(guān)系數(shù)記為?，樣

3、本相關(guān)系數(shù)記為 r?！。灿?jì)算公式　　未分組資料,（8-5）,樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式實(shí)質(zhì),(8-8),(8-6),相關(guān)系數(shù)r的取值范圍：-1≤r≤1,３相關(guān)系數(shù)的取值及其意義,r,,0.3,,0.3,0.8,,微弱相關(guān),,低度相關(guān),,顯著相關(guān),,高度相關(guān),,【例1】在研究我國(guó)人均消費(fèi)水平的問(wèn)題中，把全國(guó)人均消費(fèi)額記為y，把人均國(guó)民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi ，yi)，i =1,2,…，13，數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，

4、計(jì)算相關(guān)系數(shù)。,P62,Ｐ33,Ｐ１９,解：根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式有 人均國(guó)民收入與人均消費(fèi)金額之間的相關(guān)系數(shù)為 0.9987。,例2,Ｐ３２,Ｐ４４,Ｐ４６,解：,計(jì)算結(jié)果說(shuō)明VC含量與儲(chǔ)存時(shí)間存在高度的負(fù)相關(guān)關(guān)系。 上例用推導(dǎo)后的公式 可以得出同樣的結(jié)論,相關(guān)系數(shù)計(jì)算表,計(jì)算結(jié)果與前面一致。,某公司下屬6個(gè)同類(lèi)企業(yè)的有關(guān)資料如下,練習(xí),要求:a.計(jì)算相關(guān)系數(shù),解: (1)

5、 (兩者為高度正相關(guān)),4 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，等價(jià)于對(duì)回歸系數(shù)b的檢驗(yàn)。 步驟：提出假設(shè)：H0：? ? ? ；H1： ? ? 0計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：確定顯著性水平?，并作出決策 若?t?>t?/2，拒絕

6、H0，相關(guān)關(guān)系顯著； 若?t?<t?/2，接受H0，相關(guān)關(guān)系不顯著。,,【例3】對(duì)前例計(jì)算的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢(??0.05)解：（1）提出假設(shè)：H0：? ? ? ；H1： ? ? 0 （2）計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,由于?t?=64.9809>t?/2(13-2)=2.201，拒絕H0，人均消費(fèi)金額與人均國(guó)民收入之間的相關(guān)關(guān)系顯著,不能否認(rèn)總體兩變量存在線性相關(guān)。,第二節(jié) 一元線性回歸模型,一 回歸分

7、析的概念1 概念 運(yùn)用數(shù)學(xué)方法測(cè)定相關(guān)變量間的一般關(guān)系的分析過(guò)程。,回歸分析方法就是通過(guò)對(duì)占有相關(guān)資料的分析，找出其變化規(guī)律性，建立適宜的數(shù)學(xué)模型或經(jīng)驗(yàn)公式，使現(xiàn)象間數(shù)量上的不確定、不嚴(yán)格的相互依存關(guān)系變?yōu)榇_定性的、嚴(yán)格依存的函數(shù)關(guān)系，即將這種數(shù)量關(guān)系一般化、平均化。,2 回歸分析與相關(guān)分析的聯(lián)系與區(qū)別,二 一元線性回歸模型,1 總體一元線性回歸模型的一般形式,,,x對(duì)y的線性影響而形成的系統(tǒng)部分，反映兩變量的平均變動(dòng)

8、關(guān)系，即本質(zhì)特征。,隨機(jī)誤差：各種偶然因素，觀察誤差和其他被忽視因素的影響。,,未知參數(shù),,3 總體一元線性回歸方程,樣本（或估計(jì)的）一元線性回歸方程,截距,斜率（回歸系數(shù)）,,,,b表明自變量x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，變量y的平均變動(dòng)值。,b與r的關(guān)系：,r＞0 r＜0 r=0b＞0 b＜0 b=0,(8-24),4 ·一元線性回歸模型的確定（用未分組資料）y倚x的回歸方程,根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，用最

9、小平方法，即使 分別對(duì)a、b求偏導(dǎo)并令其為零，求得兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程。,,,令,,則,,,解聯(lián)立方程，得到,解聯(lián)立方程，得到,,8-14,8-15,5 回歸直線的特點(diǎn)（1）回歸直線的走向，是由回歸系數(shù)ｂ決定的。（2）回歸直線滿足 ， ，,即,，是一條最適線。,（4） 回歸直線是一條平均數(shù)線。,（3） 回歸直線一定通過(guò)點(diǎn)（ ）,【例4】根據(jù)例1中的數(shù)

10、據(jù)，配合人均消費(fèi)金額對(duì)人均國(guó)民收入的回歸方程,解：根據(jù)a和b的求解公式得,Ｐ13,例5 接例2求回歸方程,解：將以上數(shù)據(jù)代入公式,所以水果中Vc 含量與儲(chǔ)存時(shí)間關(guān)系的回歸方程為：,方程表明，水果中維生素C的含量的理論起點(diǎn)值為19.70%，當(dāng)儲(chǔ)存時(shí)間每延長(zhǎng)1小時(shí)，維生素C的含量平均降低1.51%。,例6：某公司下屬6個(gè)同類(lèi)企業(yè)的有關(guān)資料如下,要求: a.計(jì)算相關(guān)系數(shù)； b.用最小平方法建立直線回歸方程并估計(jì)當(dāng)工業(yè)生產(chǎn)

11、用固定資產(chǎn)為800萬(wàn)元時(shí),工業(yè)總產(chǎn)值將為多少?,解: (1) (兩者為高度正相關(guān)),,(2),經(jīng)濟(jì)含義: 表明工業(yè)生產(chǎn)用固定資產(chǎn)每增加一百萬(wàn)元,工業(yè)總產(chǎn)值平均上升2.2317百萬(wàn)元,當(dāng),(百萬(wàn)元),yc=0.0733+2.2317x,練習(xí)1,（1）配合直線方程

12、①計(jì)算 b, a,回歸方程為： ｙc ＝ａ＋ｂｘ ＝ ７７.３７－１.８２ｘ,答案：,（２）產(chǎn)量每增加1000件時(shí)，單位成本平均變動(dòng),因?yàn)閎=-1.82<0，且產(chǎn)量x的計(jì)量單位是千件，根據(jù)回歸系數(shù)b的意義有： 產(chǎn)量每增加一個(gè)單位即1000件時(shí)，單位成本平均減少1.82元。,（３）產(chǎn)量為6000件時(shí)的單位成本當(dāng)產(chǎn)量為6000件時(shí)，即ｘ＝６，代入回歸方程： ｙc＝77.37－1.82×

13、６ ＝66.45（元）當(dāng)產(chǎn)量為6000件時(shí)，單位成本為66.45元。,三、判定系數(shù)（r2）和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤（Sxy） （一）判定系數(shù) 1 離差平方和的分解,,,,,x,y,,,,,,總偏差= 回歸偏差+ 剩余偏差,總偏差 反映因變量的n個(gè)觀察值與其均值的總離差?；貧w偏差(被回歸解釋的偏差) 反映由于x與y之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化剩余偏差(未被解釋的偏差) 反映除x以外的

14、其他因素對(duì)y取值的影響。,?,2 判定系數(shù) (1) 概念 回歸平方和占總離差平方和的比例,用r2表示 取值范圍： 是對(duì)回歸模型擬合優(yōu)度的評(píng)價(jià)。 等于相關(guān)系數(shù)的平方，即r2＝(r)2 注意：判定系數(shù)無(wú)方向性，相關(guān)系數(shù)則有方向，其方向與樣本回歸系數(shù) b 相同。,(2) 常用公式,計(jì)算得r2=0.994 說(shuō)明我們擬合回歸模型產(chǎn)生的偏差中，99.4%的偏差是由儲(chǔ)存時(shí)間和Vc

15、的依存關(guān)系來(lái)解釋的，其余0.6%是隨機(jī)誤差。,例7：根據(jù)例2計(jì)算判定系數(shù)。,（二）估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤（Sy）,1 概念 Sy是二元正態(tài)分布中因變量實(shí)際值（yj）對(duì)估計(jì)值（ ）離散程度的量度。 反映實(shí)際觀察值在回歸直線周?chē)姆稚顩r； 從另一個(gè)角度說(shuō)明了回歸直線的擬合程度。 Sy 越小， 擬合越好； Sy 越大， 擬合越差。,2 公式,(8-26),在95%的概率保證程度下，可以估計(jì)儲(chǔ)存時(shí)

16、間為8小時(shí)時(shí)，水果中Vc含量的區(qū)間為：,在（7.2672，7.9728）之間,在一定的把握程度下進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。,預(yù)測(cè)及應(yīng)用1 點(diǎn)估計(jì),（1）y 的平均值的點(diǎn)估計(jì) 利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的一個(gè)估計(jì)值E(y0) ，就是平均值的點(diǎn)估計(jì)。 在例1中，假如我們要估計(jì)人均國(guó)民收入為2000元時(shí)，所有年份人均消費(fèi)金額的平均值，就是平均值的點(diǎn)估計(jì)。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得

17、,（2）y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì),利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量y的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)值E(y0) ，就是個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)。,如果只是想知道1990年人均國(guó)民收入為1250.7元時(shí)的人均消費(fèi)金額是多少，則屬于個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得,（1） 大樣本條件下（n?30),2 區(qū)間估計(jì),（2） 小樣本條件下（n?30) 1）y的平均值的置信區(qū)間,,【例】根據(jù)例1，求出人均國(guó)民收入為125

18、0.7元時(shí)，人均消費(fèi)金額95%的置信區(qū)間。 解：根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果 ＝712.57，Sy=14.95，t???(13-2)＝2.20，n=13，置信區(qū)間為,=712.57?10.265,人均消費(fèi)金額95%的置信區(qū)間為702.305元~722.835元之間。,包括：回歸系數(shù)b的檢驗(yàn)方程整體的F檢驗(yàn),四 一元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn),第四節(jié) 非線性回歸模型,,曲線模型的確定方法：,通常用變量

19、代換法將曲線轉(zhuǎn)換為直線。按線性模型求解參數(shù)，而后再變換為曲線模型。,非線性回歸分析必須著重解決以下兩個(gè)問(wèn)題： 一是如何確定非線性函數(shù)的具體形式； 二是如何估計(jì)非線性函數(shù)中的參數(shù),雙曲線,基本形式：線性化方法令：，x'= 1/x, 則有y = a + b x'圖像,【例】一種商品的需求量與其價(jià)格有一定的關(guān)系?，F(xiàn)對(duì)一定時(shí)期內(nèi)的商品價(jià)格x與需求量y進(jìn)行觀察，取得的樣本數(shù)據(jù)如下表。試判

20、斷商品價(jià)格與需求量之間回歸函數(shù)的類(lèi)型，并求需求量對(duì)價(jià)格的回歸方程。,用雙曲線模型：按線性回歸的方法求解a和b ，得,【例】為研究生產(chǎn)率與廢品率之間的關(guān)系，記錄數(shù)據(jù)如下表。試擬合適當(dāng)?shù)哪Ｐ汀?用線性模型：y =?0??1x+? ，有 y = 2.671+0.0018x用指數(shù)模型：y = ?? x ，有 y =4.05?(1.0002)x比較 直線的殘差

21、平方和＝5.3371<指數(shù)模型的殘差平方和＝6.11。直線模型略好于指數(shù)模型。,一 多元線性回歸模型及其確定,二元線性回歸模型：,1 總體多元線性回歸模型的一般形式,,,Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）,隨機(jī)誤差,表明自變量 共同變動(dòng)引起的Y 的平均變動(dòng)。也稱(chēng)總體的二元線性回歸方程。,第五節(jié) 多元線性回歸模型,,常數(shù)項(xiàng)，,和Y構(gòu)成的平面與Y軸的截距,,偏回歸系數(shù)，表示在 固定時(shí) 每變化一個(gè)單位引起的Y的平均變

22、動(dòng)；,,偏回歸系數(shù)，表示在 固定時(shí) 每變化一個(gè)單位引起的Y的平均變動(dòng)；,,隨機(jī)誤差，其理論假定與一元線性回歸模型中的 一樣。,在多元回歸模型中，還要求各自變量之間不存在顯著相關(guān)，或高度相關(guān)。,2 樣本多元線性回歸模型的一般形式,二元線性回歸模型為：,其數(shù)學(xué)期望,也稱(chēng)樣本（或估計(jì)的）二元線性回歸方程。,3 二元線性回歸方程的確定,根據(jù)實(shí)際資料，用最小平方法，即使 ，分別對(duì)a、b1、b2求編導(dǎo)并令其為零，