應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第4章-數(shù)據(jù)分布特征的度量

1、第四章　數(shù)據(jù)分布特征的度量,,1,本章學(xué)習(xí)目標(biāo),1.領(lǐng)會(huì)數(shù)據(jù)分布的各種特征：集中趨勢、離散趨勢、偏斜程度和峰度。2.掌握數(shù)據(jù)分布特征各測定值的計(jì)算方法、特點(diǎn)及其應(yīng)用場合。,2,海之濱每日營業(yè)收入的次數(shù)分配直方圖,3,海之濱營業(yè)收入的次數(shù)分配圖,4,夏季,春季,本章要點(diǎn),5,集中趨勢,眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù),6,眾數(shù)(mode),一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，

2、也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù),7,眾數(shù)(不惟一性),8,無眾數(shù)原始數(shù)據(jù):10 5 9 12 6 8,一個(gè)眾數(shù)原始數(shù)據(jù):6 5 9 8 5 5,多于一個(gè)眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42,分類數(shù)據(jù)的眾數(shù),,9,解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類變量，不同類型的飲料就是變量值 所調(diào)查的100人中，購買可口可樂的人數(shù)最多

3、，為35人，占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的35%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即 Mo＝可口可樂,順序數(shù)據(jù)的眾數(shù),,10,解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別” 甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即 Mo＝不滿意,數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù),由眾數(shù)的定義可知，在單項(xiàng)數(shù)列的情形求眾數(shù)，只需通過觀察，找出頻數(shù)最多的變量值，則該變量值即為眾數(shù)。在組距數(shù)列的條件下

4、，則要先確定眾數(shù)所在組，然后按下面的近似公式計(jì)算。,11,數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù),,12,,解：①確定眾數(shù)組。由于1200~1400組頻數(shù)最多，故該組即為眾數(shù)組。②根據(jù)近似公式計(jì)算眾數(shù)值。,集中趨勢,眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù),13,中位數(shù)(median),按大小排序后處于中間位置上的值不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù),14,中位數(shù)(位置和數(shù)值的確定),15,位置確定,數(shù)值確定,順序數(shù)據(jù)的

5、中位數(shù),,16,解：中位數(shù)的位置為 (300+1)/2＝150.5 從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中 中位數(shù)為 Me=一般,數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù),17,【例】 9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 8

6、50 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位數(shù) ? 1080,數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù),18,【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位

7、置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù) (分組數(shù)據(jù)),,19,身高（ cm）,人數(shù)（人）,,解：①確定中位數(shù)位次：②確定中位數(shù)組：按人數(shù)向上累積（或向下累積）知，中位數(shù)在第三組。③確定中位數(shù)：中位數(shù)組只有唯一的變量值170cm，故它就是所求的中位數(shù)。,數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(組距數(shù)列),在組距數(shù)列的情況下，確

8、定中位數(shù)組后，由于這時(shí)中位數(shù)組是一區(qū)間，可用下面的近似公式計(jì)算中位數(shù)：,20,數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(分組數(shù)據(jù)),,21,,①確定中位數(shù)位次。②確定中位數(shù)組。從向上累積欄中，找出首個(gè)大于等于中位數(shù)位次60的組，該組即為中位數(shù)組，因此中位數(shù)組為1200~1400元。③按近似公式計(jì)算中位數(shù)值。,集中趨勢,眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù),22,四分位數(shù)(quartile),排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響主要用于

9、順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù),23,四分位數(shù)(位置的確定及計(jì)算),24,的位次=,的位次=,順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù),,25,解：Q1位置= (300)/4 =75 Q3位置 =(3×300)/4 =225 從累計(jì)頻數(shù)看， Q1在“不滿意”這一組別中； Q3在“一般”這一組別中 四分位數(shù)為 Q1 = 不滿意

10、 Q3 = 一般,數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù),26,?,【例】 9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6

11、 7 8 9,的位次=,的位次=,四分位數(shù)(位置的確定及計(jì)算),27,的位次=,先計(jì)算 Ｋ= n/4。若Ｋ為整數(shù)，則取第Ｋ個(gè)與第Ｋ+1個(gè)數(shù)的平均值。若Ｋ不是整數(shù)，則取小數(shù)進(jìn)位為整數(shù)的那一個(gè)數(shù)值。,數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù),28,?,【例】 9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序:

12、 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,的位次=,的位次=,盒須圖分析法,假設(shè)某公司經(jīng)理想比較業(yè)務(wù)員小朱與小鐘最近8個(gè)星期股票交易的手續(xù)費(fèi)收入，看看哪一個(gè)表現(xiàn)較佳。已知兩者的手續(xù)費(fèi)如下:,29,兩人的最小值、中位數(shù)、最大值、下四分位數(shù)、上四分位數(shù)，

13、分別為多少?,小朱與小鐘的業(yè)績,小鐘: 最小值=30 、中位數(shù)=80、最大值=270、下四分位數(shù)=64.5、上四分位數(shù)=101小朱:最小值=64、中位數(shù)=93、最大值=166、下四分位數(shù)=85、上四分位數(shù)=118,30,盒須圖分析法(5數(shù)綜合）,,四分位數(shù)(位置的確定及計(jì)算),32,的位次=,的位次=,第i個(gè)四分位數(shù)可按如下近似公式計(jì)算：,數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(分組數(shù)據(jù)),33,,①確定 位次。②確定 組。從向上累

14、積欄中，找出首個(gè)大于等于90的組，該組即為中位數(shù)組，因此為1400~1600元。③按近似公式計(jì)算 值。,集中趨勢,眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù),34,數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)（簡單平均數(shù)）,35,設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x1 ，x2 ，… ，xn (總體數(shù)據(jù)xN),樣本平均數(shù),總體平均數(shù),數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)（加權(quán)平均數(shù)）,36,設(shè)各組的組中值為：x1 ，x2 ，… ，xk 相應(yīng)的頻數(shù)為： f1 ， f2 ，… ，fk,樣本加權(quán)

15、平均,總體加權(quán)平均,加權(quán)平均數(shù),,37,加權(quán)平均數(shù)(權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響),38,甲乙兩組各有10名學(xué)生，考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下: 甲組： 考試成績（x ）: 0 20 100 人數(shù)分布（f ）： 1 1 8 乙組： 考試成績（x）: 0 20 100 人數(shù)分布（

16、f ）： 8 1 1,股票的報(bào)酬率,陳先生接到投資顧問公司業(yè)務(wù)員王先生的電話:”陳先生，去年我們虧損了50%，今年已經(jīng)又賺回50%了”?！碧昧?”陳先生這下可放下心中的大石頭?？墒钱?dāng)陳先生接到對(duì)賬單一看，原來的100萬元，現(xiàn)值只有75萬元?！斑?不是說賺回50%了嗎，怎么還是虧25萬元?” 這是怎么回事呢?,39,股票的報(bào)酬率,去年虧損50%，所以去年年底現(xiàn)值為

17、 今年賺回50%，因此今年年底現(xiàn)值為算術(shù)平均數(shù),40,(萬元),(萬元),收益率=,收益率=,幾何平均數(shù)(geometric mean),n 個(gè)變量值乘積的 n 次方根適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計(jì)算平均增長率計(jì)算公式為可看作是平均數(shù)的一種變形,41,幾何平均數(shù),42,【例】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長率為9

18、%，2001年與2000年相比增長率為16%，2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率,年平均增長率＝114.91%-1=14.91%,股票的報(bào)酬率,去年虧損50%，所以去年年底現(xiàn)值為 今年賺回50%，因此今年年底現(xiàn)值為幾何平均數(shù):,43,(萬元),(萬元),收益率=,收益率=,眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系,44

19、,,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用,眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時(shí)應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)應(yīng)用,45,數(shù)據(jù)類型與集中趨勢測度值,46,本章要點(diǎn),集中趨勢離散趨勢分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程度：離散系數(shù),47,異眾比率,對(duì)分類數(shù)據(jù)離散程度的測

20、度非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例計(jì)算公式為用于衡量眾數(shù)的代表性,48,異眾比率,,49,解： 在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購買其他品牌飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“可口可樂”代表消費(fèi)者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好,本章要點(diǎn),集中趨勢離散趨勢分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程度：離散系數(shù),50,極差(range),一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差

21、離散程度的最簡單測度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布計(jì)算公式為,51,R = max(xi) - min(xi),極差(全距),52,全距相同但分散程度不同,四分位差(quartile deviation),對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測度也稱為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差 Qd = Q3 – Q1反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性,53,盒

22、須圖分析法(5數(shù)綜合）,,四分位差,,55,解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2, 一般為3, 滿意為 4, 非常滿意為5 。 已知 Q1 = 不滿意 = 2 Q3 = 一般 = 3四分位差為 Qd = Q3 - Q1 = 3 – 2 = 1,本章要點(diǎn),集中趨勢離散趨勢分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程

23、度：離散系數(shù),56,平均差(mean deviation),各變量值與其平均數(shù)離差絕對(duì)值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少計(jì)算公式為,57,未分組數(shù)據(jù),組距分組數(shù)據(jù),平均差,,58,方差和標(biāo)準(zhǔn)差(variance and standard deviation),數(shù)據(jù)離散程度的最常用測度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記為?2(?)；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱

24、為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記為s2(s),59,總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差,60,未分組數(shù)據(jù),組距分組數(shù)據(jù),未分組數(shù)據(jù),組距分組數(shù)據(jù),方差的計(jì)算公式,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式,,樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差,,61,未分組數(shù)據(jù),組距分組數(shù)據(jù),未分組數(shù)據(jù),組距分組據(jù)數(shù),方差的計(jì)算公式,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式,,,注意：樣本方差用自由度n-1去除!,自由度(degree of freedom),自由度是指附加給獨(dú)立的觀測值的約束或限制的個(gè)數(shù)從字面涵義來看，自由度是指一組數(shù)據(jù)中可

25、以自由取值的個(gè)數(shù),62,自由度(degree of freedom),樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則 ?x = 5。當(dāng) ?x = 5 確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值為什么樣本方差的自由度是n-1呢？因?yàn)樵谟?jì)算離差平方和時(shí)，必須先求出樣本均值?x ，而?x則是附加給離差平方和的一個(gè)約束，因此，計(jì)算離差平方和時(shí)只有n-1個(gè)

26、獨(dú)立的觀測值，而不是n個(gè) 樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差s2去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無偏估計(jì)量,63,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,,64,數(shù)據(jù)分布數(shù)量的估計(jì)（經(jīng)驗(yàn)法則）,65,Z值,若數(shù)據(jù)型態(tài)為鐘形時(shí)，為了解觀察值在數(shù)據(jù)中的位置，可計(jì)算Z值。樣本值 的Z值： 母體 值的Z值：,66,Z值,設(shè)A班學(xué)生的成績平均為75分，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10分，而A班同學(xué)甲的成績?yōu)?/p>

27、70分，則70分的Z值為:表示同學(xué)甲的成績低于平均數(shù)0.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。,67,Z值,又如B班學(xué)生的平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10，而B班學(xué)生乙的成績?yōu)?0分，則70分的Z值為:表示學(xué)生乙的成績高于平均數(shù)0.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。,68,切比雪夫不等式(Chebyshev’s inequality ),適用任何分布形狀的數(shù)據(jù)對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的數(shù)據(jù)落在k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中k是大

28、于1的任意值，但不一定是整數(shù),69,切比雪夫不等式(Chebyshev’s inequality ),對(duì)于k=2，3，4，該不等式的含義是至少有75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi),70,切比雪夫不等式(Chebyshev’s inequality ),100個(gè)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分:成績?cè)?7

29、5 ? 2 ? 5 = 65 ~ 85 分的同學(xué)至少有75位成績?cè)?75 ? 3 ? 5 = 60 ~ 90 分的同學(xué)至少有89位,71,本章要點(diǎn),集中趨勢離散趨勢分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程度：離散系數(shù),72,離散系數(shù)(coefficient of variation),標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測度消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)

30、離散程度的比較計(jì)算公式為,73,離散系數(shù),74,【 例 】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤的離散程度,離散系數(shù),75,,結(jié)論： 計(jì)算結(jié)果表明，v1<v2，說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤的離散程度,數(shù)據(jù)類型與離散程度測度值,,76,本章要點(diǎn),集中趨勢離散趨勢偏態(tài)與峰態(tài),77,偏態(tài)與峰態(tài)分布的形狀,,78,偏態(tài),峰態(tài),,偏態(tài)系數(shù),偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式：其中偏態(tài)方向和程

31、度的判別：按上面公式計(jì)算出來的偏度指標(biāo)，其符號(hào)可以表明分布的偏斜方向，其絕對(duì)值大小則可以表明分布的偏斜程度。,79,偏態(tài),統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearson于1895年首次提出 數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度偏態(tài)系數(shù)=0為對(duì)稱分布偏態(tài)系數(shù)> 0為右偏分布偏態(tài)系數(shù)< 0為左偏分布偏態(tài)系數(shù)大于1或小于-1，被稱為高度偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)在0.5～1或-0.5～-1之間，被認(rèn)為是中等偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)越接近0，偏斜程度就越低,80,峰度,81

32、,峰度系數(shù),峰度系數(shù)的計(jì)算公式：峰度的判別：按上面公式計(jì)算出來的峰度指標(biāo)，可以用來判定分布的形態(tài)特征。,82,偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù) (例題分析),,83,,,偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù) (例題分析),84,,,,因 ， 數(shù)值不是很大，說明分布略為右偏； ，數(shù)值很小，說明比具有同方差的正態(tài)分布略為平坦。,用Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量,MODE—計(jì)算眾數(shù)

33、MEDIAN—計(jì)算中位數(shù)QUARTILE—計(jì)算四分位數(shù)AVERAGE—計(jì)算平均數(shù)HARMEAN—計(jì)算簡單調(diào)和平均數(shù)GEOMEAN—計(jì)算幾何平均數(shù)AVEDEV—計(jì)算平均差STDEV—計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差STDEVP—計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差SKEW—計(jì)算偏態(tài)系數(shù)KURT—計(jì)算峰態(tài)系數(shù)TRIMMEAN—計(jì)算切尾均值,85,總結(jié),86,練習(xí): 課本p. 106四,因?yàn)橛善骄鶖?shù)，在相同時(shí)間內(nèi)利用方法C進(jìn)行組裝的工人，組裝成的產(chǎn)品數(shù)量水平明

34、顯高于其它方法的,畢竟我們關(guān)注的是產(chǎn)量多；從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)看，三個(gè)方法的中位數(shù)與眾數(shù)都與其平均數(shù)相接近，說明這三組數(shù)據(jù)有比較好的對(duì)稱分布；從標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)看, 工人們組裝產(chǎn)品的產(chǎn)量比較穩(wěn)定，這可能有利于組裝產(chǎn)品的質(zhì)量的穩(wěn)定。綜上考慮，我們有理由認(rèn)為采用方法C是較好的選擇。,87,統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法 -描述統(tǒng)計(jì),主要研究如何取得反映客觀現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，并通過分組和圖表形式對(duì)所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理和顯示，進(jìn)而通過綜合、概括與分析得出反映客觀