數(shù)值分析第3章數(shù)值積分

1、§3.1 引言§3.2 牛頓—柯特斯公式§3.3 復(fù)化求積公式§3.4 龍貝格求積公式,第三章 數(shù)值積分,1、積分的概念,設(shè),任取,做,則稱 可積，極限值稱為函數(shù) 在區(qū)間[a,b]上的,定積分，記為:,Riemann積分,§3.1 引言,黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一,著作不多，卻異常深刻，富于對概念的創(chuàng)造與想象，思想極其深邃難以

2、理解。許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，直接影響了19世紀(jì)以后的數(shù)學(xué)發(fā)展，在黎曼思想的影響下數(shù)學(xué)許多分支取得了輝煌成就。,■ 黎曼幾何、流形、微分流形、橢圓幾何的創(chuàng)始人 愛因斯坦用黎曼幾何將廣義相對論幾何化；黎曼幾何是現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。,■ 完善微積分理論的出杰人物之一 微積分理論嚴(yán)謹(jǐn)性論證的杰出貢獻(xiàn)者有：黎曼、波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊、維爾斯特拉斯等等。柯西證明連續(xù)函數(shù)必定可積，黎曼指出可積函數(shù)不一定連續(xù)。黎曼推廣了博里

3、葉展開式成立的狄利克萊條件，即三角級數(shù)收斂的黎曼條件等等。■ 解析數(shù)論、與復(fù)變函數(shù)的里程碑 ■ 組合拓?fù)涞拈_拓者 ■ 代數(shù)幾何的奠基人 ■ 在數(shù)學(xué)物理、微分方程等領(lǐng)域貢獻(xiàn)卓著,2、積分的計算,Riemann積分從定義上基本不可算,求解 的方法：,如果 為初等函數(shù)，能得到 的,遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于得不到 的,理論求解定積分基本看運氣,求定積分的值 , Newto

4、n-Leibnitz公式 無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題，因為積分學(xué)涉及的實際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：,(1) 被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的 有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就無能為力了,(2) 還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，被積函數(shù)表達(dá)式不太復(fù)雜， 但

5、積分后其表達(dá)式卻很復(fù)雜。,積分后其原函數(shù)F(x)為：,例如函數(shù),(3) 被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式，其函數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。對于這些情況，要計算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。由此可見，通過原函數(shù)來計算定積分有它的局限性，因而研究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題，這時需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。 將積分區(qū)間細(xì)分，在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)

6、雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)發(fā)f(x)進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。,一、數(shù)值積分的基本思想 積分值 在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如下圖所示，而這個面積之所以難于計算是因為它有一條曲邊 y=f(x),左矩形公式,右矩形公式,中矩形公式,梯形公式,Simpson公式,回顧我們高等數(shù)學(xué)所學(xué)定積分的求

7、取,求積公式,為截斷誤差,又稱求積余項.,二、代數(shù)精度的概念,依次取?(x)=1,x,x2…驗證求積公式是否成立, 若第一個不成立的等式是?(x)=xm+1,則其代數(shù)精度是m.,即滿足,如梯形公式,所以梯形公式具有1次代數(shù)精度,將 代入公式,,具有三階的代數(shù)精度,代數(shù)精度定義,三、插值型求積公式,四、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性,令,一、Cotes系數(shù),§3.2 牛頓—柯特斯公式,應(yīng)用插值型求積公式有,Newto

8、n-Cotes公式,當(dāng) 時,由,得求積公式,就是將區(qū)間[a,b]一等分,梯形公式,通常記為,當(dāng) 時,此時，求積公式為,Simpson求積公式,當(dāng) 時可得,同理,,此時，求積公式為,Cotes求積公式,Cotes系數(shù)表,系數(shù)特點和穩(wěn)定性,科特斯系數(shù)具有以下特點：,(1),(2),(3) 當(dāng) n ? 8 時，出現(xiàn)負(fù)數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。而且當(dāng) n 較大時，由于Runge現(xiàn)象，收斂性也無法保證。,故一般不采用高

9、階的牛頓-科特斯求積公式。,當(dāng) n ? 7 時，牛頓-科特斯公式是穩(wěn)定的。,1、考慮Simpson公式,二、 Newton-Cotes公式的代數(shù)精度及誤差,Simpson公式具有三次代數(shù)精度,而,定理 n為偶數(shù)時求積公式,至少具有n+1次代數(shù)精度。,2、誤差分析,以梯形公式誤差為例,因為,保號且可積，由積分中值定理得,所以,,同理,誤差取決于區(qū)間[a,b]的長度。,,,例：分別用梯形公式和simpson公式計算積分,由 simpson

10、公式可得,由梯形公式可得,與精確值 0.6321 相比得誤差分別為 0.0518 和 0.0002。,練習(xí)：,,,,,由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項可知，隨著求積節(jié)點數(shù)的增多，對應(yīng)公式的精度也會相應(yīng)提高。但由于n≥8時的牛頓—柯特斯求積公式開始出現(xiàn)負(fù)值的柯特斯系數(shù)。根據(jù)誤差理論的分析研究，當(dāng)積分公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時，可能導(dǎo)致舍入誤差增大，并且往往難以估計。因此不能用增加求積節(jié)點數(shù)的方法來提高計算精度。在實際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干

11、個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計算結(jié)果加起來得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想。常用的復(fù)化求積公式有復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生公式。,§3.3 復(fù)化求積公式,復(fù)化求積公式可以克服高次Newton-Cotes公式計算不穩(wěn)定的問題, 運算簡單且易于在計算機(jī)上實現(xiàn)。,把積分區(qū)間[a, b]平均分成若干小區(qū)間[xk , xk+1],,復(fù)化求積法的基本思想,第一步，在每個小區(qū)間上采用次

12、數(shù)不高的Newton-Cotes求積公式，如梯形公式或Simpson公式；,第二步，對每個區(qū)間的近似積分值求和，用所得的值近似代替原積分值。,如此得到的求積公式稱為復(fù)化求積公式。,一、復(fù)化梯形公式,二、復(fù)化辛普森公式,余項：,，? ?(a, b),誤差分析,例：計算,解：,其中,= 3.141592502,運算量基本相同!!!,一、梯形法的遞推化——逐次分半法,上一節(jié)介紹的復(fù)化求積方法對提高精度是行之有效的，但在使用求積公式之前必須給出

13、合適的步長，步長取得太大精度難以保證，步長太小則會導(dǎo)致計算量的增加，而事先給出一個恰當(dāng)?shù)牟介L又往往是困難的． 實際計算中常常采用變步長的計算方案，即在步長逐次分半（即步長二分）的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計算，直至所求得的積分值滿足精度要求為止．,設(shè)將求積區(qū)間[a，b]分成n等分，則一共有n+1個分點，按梯形公式計算積分值Tn，需要提供n+1個函數(shù)值．如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至2n+1個，我們來考察二分前

14、后兩個積分值之間的聯(lián)系．,§3.4 龍貝格求積公式,逐次分半計算方案的實現(xiàn):,注意到每個子區(qū)間[xk，xk+1]經(jīng)過二分只增加了一個分點 xk+1/2＝( xk+xk+1)/2，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為,這里 代表二分前的步長.將每個子區(qū)間上的積分值相加得,,,當(dāng)把積分區(qū)間分成n等份，用復(fù)化梯形公式計算積分I的近似值 時，截斷誤差為,若把區(qū)間再分半為2n等份，計算出定積分的近似值 ，則

15、截斷誤差為,當(dāng) 在區(qū)間[a,b]上變化不大時,有,所以,可見,當(dāng)步長二分后誤差將減至 ,將上式移項整理，可得驗后誤差估計式,上式說明，只要二等份前后兩個積分值和 相當(dāng)接近，就可以保證計算結(jié)果的誤差很小，使 接近于積分值I。,這樣不斷二分下去，計算結(jié)果如下表所示。積分的準(zhǔn)確值為0.9460831，從表中可看出用變步長二分10次可得此結(jié)果。,二分次數(shù),區(qū)間個數(shù)數(shù),二、龍貝格算法 變步長梯形求積法算法簡單

16、，但精度較差，收斂速度較慢，但可以利用梯形法算法簡單的優(yōu)點，形成一個新算法，這就是龍貝格求積公式。龍貝格公式又稱逐次分半加速法。 根據(jù)積分區(qū)間分成n等份和2n等份時的誤差估計式可得,所以積分值 的誤差大致等于 ,如果用 對 進(jìn)行修正時， 與 之和比 更接近積分真值,所以可以將 看成是對 誤差的一種補(bǔ)償,因此可得到具有更好效果的式子.,(6.

17、9),考察 與n等份辛卜生公式 之間的關(guān)系。將復(fù)化梯形公式,梯形變步長公式,故,,這就是說，用梯形法二分前后兩個積分值 和 作線性組合，結(jié)果卻得到復(fù)化辛卜生公式計算得到的積分值 。,代入 表達(dá)式得,再考察辛卜生法。其截斷誤差與 成正比，因此，如果將步長折半，則誤差減至 ，即有,由此可得,可以驗證,上式右端的值其實等于Cn，就是說，用辛卜生公式二等份前后的兩個積分值Sn和S2n 作線性組合后，可得到柯特斯

18、公式求得的積分值Cn，即有,用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進(jìn)一步導(dǎo)出龍貝格公式,在變步長的過程中運用上述誤差公式，就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛卜生值Sn、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn ，或者說將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法（龍貝格公式）。,三、龍貝格求積法算法實現(xiàn)（1） 龍貝格求積法計算步驟用梯形公式計算積分近似值按變步長梯形公式計算積分近似值

19、將區(qū)間逐次分半,令區(qū)間長度,計算,③ 按加速公式求加速值,梯形加速公式：,辛卜生加速公式：,龍貝格求積公式：,④ 精度控制；直到相鄰兩次積分值,（其中ε為允許的誤差限）則終止計算并取Rn作為積分 的近似值，否則將區(qū)間再對分，重復(fù) ②，③，④ 的計算，直到滿足精度要求為止。,(2) 龍貝格求積法流程圖留給讀者(3) 程序?qū)崿F(xiàn),龍貝格求積算法可用下表來表示：,例2 用龍貝格算法計算定積分 要求相鄰兩次龍貝格值