離散數(shù)學第十六章課件

1、1,第十六章 樹,主要內(nèi)容無向樹及其性質(zhì)生成樹根樹及其應用,2,16.1 無向樹及其性質(zhì),定義16.1 (1) 無向樹——連通無回路的無向圖(2) 平凡樹——平凡圖(3) 森林——至少由兩個連通分支（每個都是樹）組成的無向圖(4) 樹葉——1度頂點(5) 分支點——度數(shù)?2的頂點,3,無向樹的等價定義,定理16.1 設G=是n階m條邊的無向圖，則下面各命題是等價的：(1) G 是樹(2) G 中任意兩個頂點之間存在

2、惟一的路徑.(3) G 中無回路且 m=n?1. (4) G 是連通的且 m=n?1.(5) G 是連通的且 G 中任何邊均為橋.(6) G 中沒有回路，但在任何兩個不同的頂點之間加一條新邊，在所得圖中得到惟一的一個含新邊的圈.,4,由上式解出x ? 2.,定理16.2 設T是n階非平凡的無向樹，則T 中至少有兩片樹葉.,無向樹的性質(zhì),證 設 T 有 x 片樹葉，由握手定理及定理16.1可知，,5,例題,例1 已知無向樹

3、T中有1個3度頂點，2個2度頂點，其余頂點全是樹葉，試求樹葉數(shù).,解 解本題用樹的性質(zhì)m=n?1，握手定理. 設有x片樹葉，于是 n = 1+2+x = 3+x, 2m = 2(n?1) = 2?(2+x) = 1?3+2?2+x解出x = 3，故T有3片樹葉.,6,例2 已知無向樹T有5片樹葉，2度與3度頂點各1個，其余頂點的度數(shù)均為4，求T的階數(shù)n,例題,解 設T的階數(shù)為n, 則邊數(shù)為n?1，4

4、度頂點的個數(shù)為n?7. 由握手定理得 2m = 2(n?1) = 5?1+2?1+3?1+4(n?7)解出n = 8，4度頂點為1個.,7,子圖,定義14.8 G=, G?=(1) G??G —— G?為G的子圖，G為G?的母圖(2) 若G??G且V?=V，則稱G?為G的生成子圖(3) 若V??V或E??E，稱G?為G的真子圖(4) V?（V??V且V???）的導出子圖，記作G[V?](5)

5、 E?（E??E且E???）的導出子圖，記作G[E?]　在圖中，設G為(1)中圖所表示，取V1={a，b，c}，則V1的導出子圖G[V1]為(2)中圖所示。取E1={e1，e3}，則E1的導出子圖G[E1]為(3)中圖所示。,8,不一定連通，也不一定不含回路，如圖所示,定義16.2 設G為無向圖(1) G的樹——T 是G 的子圖并且T是樹(2) G的生成樹——T 是G 的生成子圖并且T是樹(3) 生成樹T的樹枝——G 的在T

6、中的邊(4) 生成樹T的弦——G 的不在T 中的邊(5) 生成樹T的余樹 ——T的所有弦的導出子圖,16.2 生成樹,9,推論2 的邊數(shù)為m?n+1.,推論3 為G的生成樹T的余樹，C為G中任意一個圈，則C與 一定有公共邊.證 否則，C中的邊全在T中，這與T為樹矛盾.,定理16.3 無向圖G具有生成樹當且僅當G連通.,生成樹存在條件,推論1 G為n階m條邊的無向連通圖，則m?n?1.,證 必要

7、性顯然.充分性用破圈法（注意：在圈上刪除任何一條邊，不破壞連通性）,由定理16.3和樹的邊數(shù)等于頂點數(shù)減1可立即得到下述推論。,10,基本回路系統(tǒng),定理16.4 設T為G的生成樹，e為T的任意一條弦，則T?e中含一個只有一條弦其余邊均為T的樹枝的圈. 不同的弦對應的圈也不同. 證 設e=(u,v)，在T中u到v有惟一路徑?，則??e為所求的圈.,定義16.3 設T是n階m條邊的無向連通圖G的一棵生成樹，設e?1, e?2

8、, …, e?m?n+1為T 的弦. 設Cr為T 添加弦e?r 產(chǎn)生的只含弦e?r、其余邊均為樹枝的圈. 稱Cr為G的對應樹T 的弦e?r的基本回路或基本圈，r=1, 2, …, m?n+1. 并稱{C1, C2, …,Cm?n+1}為G對應T 的基本回路系統(tǒng)，稱m?n+1為G的圈秩，記作 ?(G).,求基本回路的算法：設弦e=(u,v)，先求T中u到v的路徑?uv，再并上弦e，即得對應e的基本回路.,11,Ca=aef,Cb=b

9、de,Cc=cdf,此圖的圈秩為3，基本回路系統(tǒng)為：{Ca, Cb, Cc},基本回路系統(tǒng),在下圖中，對應生成樹的弦a，b，c的基本回路為：,12,基本割集的存在,定理16.5 設T是連通圖G的一棵生成樹，e為T的樹枝，則G中存在只含樹枝e，其余邊都是弦的割集，且不同的樹枝對應的割集也不同.證 由定理16.1可知，e是T的橋，因而T?e有兩個連通分支T1和T2，令 Se={e | e?E(G)且 e 的兩個端點

10、分別屬于V(T1)和V(T2)}，由構造顯然可知Se為G的割集，e?Se且Se中除e外都是弦，所以Se為所求. 顯然不同的樹枝對應的割集不同.,13,定義16.4 設T是n階連通圖G的一棵生成樹，e?1, e?2, …, e?n?1為T 的樹枝，Si是G的只含樹枝e?i的割集，則稱Si為G的對應于生成樹T由樹枝e?i生成的基本割集，i=1, 2, …, n?1. 并稱{S1,S2, …, Sn?1}為G 對應T 的基本割集系

11、統(tǒng)，稱n?1為G的割集秩，記作?(G).,基本割集與基本割集系統(tǒng),求基本割集的算法設e?為生成樹T 的樹枝，T?e?為兩棵小樹T1與T2，令 Se? ={e | e?E(G)且e的兩個端點分別屬于T1與T2} 則Se?為e? 對應的基本割集.,14,Sa={a,f,g},Sb={b,g,h},Sd={d,h,i},Sc={c,f,h},Se={e,f,i},基本割集系統(tǒng)為：{Sa , Sb , Sc , Sd

12、 , Se}割集秩為5.,基本割集與基本割集系統(tǒng),在下圖中，對應樹枝a，b，c，d，e的基本割集分別為：,15,解 弦e, f, g對應的基本回路分別為 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基={Ce, Cf, Cg}. 樹枝a, b, c, d對應的基本割集分別為 Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f

13、g}, Sd={d, g}, S基={Sa, Sb, Sc, Sd}.,例 下圖實線邊所示為生成樹，求基本回路系統(tǒng)與基本割集系統(tǒng),實例,16,最小生成樹,定義16.5 T是無向連通帶權圖G=的生成樹(1) T的權W(T)——T的各邊權之和(2) G的最小生成樹——G的所有生成樹中權最小的生成樹,求最小生成樹的一個算法避圈法（Kruskal）設G=，將G中非環(huán)邊按權從小到大排序：e1, e2, …, em.(1) 取e1在

14、T中(2) 查e2，若e2與e1不構成回路，取e2也在T 中，否則棄去e2.(3) 再查e3,…, 直到得到生成樹為止.,17,例4 求圖的一棵最小生成樹.,所求最小生成樹如圖所示，W(T)=38.,實例,18,16.3 根樹及其應用,定義16.6 有向樹T ——基圖為無向樹的有向圖。(1) T 為根樹——T 中一個頂點入度為0，其余頂點入度均為1的有向樹.(2) 樹根——入度為0的頂點(3) 樹葉——入度為1，出

15、度為0的頂點(4) 內(nèi)點——入度為1，出度不為0的頂點(5) 分支點——樹根與內(nèi)點的總稱(6) 頂點v的層數(shù)——從樹根到任意頂點v的路徑的長度（即路徑中的邊數(shù)）(7) 樹高——T 中所有頂點的最大層數(shù)(8) 平凡根樹——平凡圖,19,根樹的畫法:樹根放上方,省去所有有向邊上的箭頭如右圖所示 a是樹根 b,e,f,h,i是樹葉 c,d,g是內(nèi)點 a,c,d,g是分支點 a為0層;1層有b

16、,c; 2層有d,e,f; 3層有g,h; 4層有i. 樹高為4,,根樹實例,20,家族樹與根子樹,定義16.7 設T 為一顆非平凡的根樹(1) 祖先與后代——?vi ，vj ∈V(T)， vi ≠vj ，若vi 可達vj ，則稱vi 為vj的祖先 ， vj為vi的后代 。(2) 父親與兒子——?vi ，vj ∈V(T)， vi ≠vj ，若vi 鄰接到vj（即 ∈E(T) ） ，則稱vi 為vj的

17、父親 ， vj為vi的兒子 。(3) 兄弟——?vj ，vk∈V(T)， vj ≠vk ，若vj ，vk的父親相同 ，則稱vj與vk是兄弟 。定義16.8 設v為根樹T中的任意一個頂點，稱v及其后代的導出子圖Tv為T的以v為根的根子樹.,常將根樹看成家族樹，家族中成員之間的關系由下面的定義給出：,21,根樹的分類,(1) T 為有序根樹——同層上的頂點都標定次序的根樹(2) 根據(jù)根樹T中的每個分支點兒子數(shù)以及是否有序，

18、可以將根樹分為下列各類： ① r 叉樹——每個分支點至多有r 個兒子 ② r 叉有序樹——r叉樹是有序的 ③ r 叉正則樹——每個分支點恰有r 個兒子 ④ r 叉正則有序樹——又若r 叉正則樹是有序的 ⑤ r 叉完全正則樹——樹葉層數(shù)相同的r叉正則樹 ⑥ r 叉完全正則有序樹——又若r 叉完全正則樹是有序的,2叉正則有序樹的每個分支點的兩個兒子導出的根子樹分別稱為該分支點的左子

19、樹和右子樹。 在所有的r叉樹中，最常用的是2叉樹。下面介紹2叉樹的應用。,22,定義16.9 設2叉樹T 有t片樹葉v1, v2, …, vt，權分別為w1, w2, …, wt，稱 為T 的權，其中l(wèi)(vi)是vi 的層數(shù). 在所有有t片樹葉，帶權w1, w2, …, wt 的2叉樹中，權最小的2叉樹稱為最優(yōu)2叉樹.,最優(yōu)二叉樹,求最優(yōu)2叉樹的算法—— Huffman算法

20、給定實數(shù)w1, w2, …, wt ，且w1?w2?…?wt . （1）作t片樹葉, 分別以w1, w2, …, wt為權.（2）在所有入度為0的頂點(不一定是樹葉)中選出兩個權最小的頂點, 添加一個新分支點, 以這2個頂點為兒子, 其權等于這2個兒子的權之和.（3）重復（2）, 直到只有1個入度為0 的頂點為止. W(T)等于所有分支點的權之和,23,例 5 求帶權為1, 1, 2, 3, 4, 5的最優(yōu)樹. 解題過程

21、由下圖給出，W(T)=38,最優(yōu)二叉樹的算法——Huffman算法,24,最佳前綴碼,定義16.10 設?1?2…?n-1?n是長度為 n 的符號串(1) 前綴——該符號串的子串 ?1, ?1?2, …, ?1?2…?n?1 (2) 前綴碼——符號串集合A={?1, ?2, …, ?m}中的任意兩個符號串都互不為前綴(3) 二元前綴碼——?i (i=1, 2, …, m) 中只出現(xiàn)兩個符號，如0與1.,如何產(chǎn)生二元前綴碼？定

22、理16.6 一棵2叉樹產(chǎn)生一個二元前綴碼.推論 一棵正則2叉樹產(chǎn)生惟一的一個二元前綴碼（按左子樹標0，右子樹標1）,25,一棵2元樹產(chǎn)生一個二元前綴碼:對每個分支點, 若關聯(lián)2條邊, 則給左邊標0, 右邊標1; 若只關聯(lián)1條邊, 則可以給它標0(看作左邊), 也可以標1(看作右邊). 將從樹根到每一片樹葉的通路上標的數(shù)字組成的字符串記在樹葉處, 所得的字符串構成一個前綴碼，如右圖所示：,,樹的編碼：,最優(yōu)2進制編碼：使

23、信息傳遞的2進制數(shù)最短由最優(yōu)2叉樹產(chǎn)生的前綴碼為最佳前綴碼。用最佳前綴碼傳輸?shù)亩M制位數(shù)最省。,最佳前綴碼,26,圖所示二叉樹產(chǎn)生的前綴碼為 { 00, 10, 11, 011, 0100, 0101 },二叉樹產(chǎn)生的前綴碼,27,用Huffman算法產(chǎn)生最佳前綴碼,例16.7 在通信中，八進制數(shù)字出現(xiàn)的頻率如下： 0：25% 1：20% 2：15%

24、 3：10% 4：10% 5：10% 6：5% 7：5%求傳輸它們的最佳前綴碼，并求傳輸10n（n?2）個按上述比例出現(xiàn)的八進制數(shù)字需要多少個二進制數(shù)字？若用等長的（長為3）的碼字傳輸需要多少個二進制數(shù)字？,28,解 用100個八進制數(shù)字中各數(shù)字出現(xiàn)的個數(shù)，即以100乘各頻率為權，并將各權由小到大排列，得w1=5, w2=5, w3=10, w4=10,

25、w5=10, w6=15, w7=20, w8=25。用Huffman算法求以頻率(乘以100)為權的最優(yōu)2叉樹。用此權產(chǎn)生的最優(yōu)2叉樹如下圖所示：,求最佳前綴碼,傳100個按比例出現(xiàn)的八進制數(shù)字所需二進制數(shù)字的個數(shù)為 W(T)=285，傳10n(n?2)個按比例出現(xiàn)的八進制數(shù)字需要2.85?10n個二進制數(shù)字，用等長碼(長為3)傳輸需3?10n個二進制數(shù)字.,01-----0 11-----1 001--

26、---2 100-----3 101-----4 0001-----500000-----6 00001-----7,,它產(chǎn)生的最優(yōu)前綴碼,29,波蘭符號法與逆波蘭符號法,行遍或周游根樹T——對根樹T的每個頂點訪問且僅訪問一次. 對于2叉有序正則樹有以下三種周游方式：① 中序行遍法——訪問的次序為：左子樹、根、右子樹② 前序行遍法——訪問的次序為：根、左子樹、右子樹③ 后序行遍法——

27、訪問的次序為：左子樹、右子樹、根,對如右圖所示的根樹T（2叉有序正則樹）按中序、前序、后序行遍的周游結果分別為： b a (f d g) c e， a b (c (d f g) e)， b ((f g d) e c) a,30,用2叉有序正則樹存放算式,存放規(guī)則最高層次運算放在樹根然后依次將運算符放在根子樹的根上數(shù)放在樹葉上規(guī)定：被除數(shù)、被減數(shù)放在左子樹樹葉上,算式((b+(c+d))?a)

28、?((e?f)?(g+h)?(i?j))存放在如上圖所示的2叉有序正則樹上.,31,波蘭符號法,波蘭符號法按前序行遍法訪問存放算式的2叉有序正則樹，其結果不加括號，規(guī)定從右到左每個運算符對它后面緊鄰的兩個數(shù)進行運算。在這種算法中，由于運算符在它的兩個運算對象之前，所以稱此種算法為前綴符號法或波蘭符號法. 對下圖的訪問結果為 ? ? ? b + c d a ? ? e f ? + g h

29、? i j 逆波蘭符號法按后序行遍法訪問存放算式的2叉有序正則樹，其結果不加括號，規(guī)定從左到右每個運算符對它前面緊鄰的兩個數(shù)進行運算。在這種算法中，由于運算符在它的兩個運算對象之后，所以稱此種算法為后綴符號法或逆波蘭符號法. 對上圖的訪問結果為 b c d + + a ? e f ? g h + i j ? ? ? ?,32,重點,主要內(nèi)容無向樹及其性質(zhì)生成樹、最小生成樹、基本回

30、路系統(tǒng)、基本割集系統(tǒng)根樹及其分類、最優(yōu)樹、二叉樹產(chǎn)生的前綴碼、最佳前綴碼、波蘭符號法、逆波蘭符號法基本要求深刻理解無向樹的定義及性質(zhì)熟練地求解無向樹準確地求出給定帶權連通圖的最小生成樹深刻理解基本回路、基本割集的概念，并會計算理解根樹及其分類等概念熟練掌握求最優(yōu)樹及最佳前綴碼的方法掌握波蘭符號法與逆波蘭符號法,33,第十六章 習題課,主要內(nèi)容無向樹及其性質(zhì)生成樹、最小生成樹、基本回路系統(tǒng)、基本割集系統(tǒng)根樹及其分類

31、、最優(yōu)樹、最佳前綴碼、波蘭符號法、逆波蘭符號法基本要求深刻理解無向樹的定義及性質(zhì)熟練地求解無向樹準確地求出給定帶權連通圖的最小生成樹深刻理解基本回路、基本割集的概念，并會計算理解根樹及其分類等概念會畫n階（n較?。┓峭瑯嫷臒o向樹及根樹（1?n?6）熟練掌握求最優(yōu)樹及最佳前綴碼的方法掌握波蘭符號法與逆波蘭符號法,34,（2）,（3）,從而解出,練習1,1. 無向樹 T 有ni個i 度頂點，i=2, 3, …,k，其余頂點

32、全是樹葉，求T 的樹葉數(shù).,解 用樹的性質(zhì)：邊數(shù) m=n?1（n為階數(shù)），及握手定理. (1),35,2．設n階非平凡的無向樹T中，?(T) ? k，k ? 1. 證明T至少 有k片樹葉.,證 反證法. 否則，T至多有s片樹葉，s < k，下面利用握手定理及樹的性質(zhì)m = n?1推出矛盾. 由于?(T) ? k，故存在v0，d(v0) ? k. 于是，,,由此解出s ? k，這與s < k矛盾. 證本

33、題的方法有多種，請用分支點都是割點來證明.,練習2,36,3．設G為n 階無向簡單圖，n?5，證明G 或 中必含圈.,本題的方法很多，證明中用：G與 邊數(shù)之和為Kn的邊數(shù) ，以及樹的性質(zhì)：m = n?1.,方法一. 反證法. 否則G與 的各連通分支都是樹. 設G與 的連通分支分別為G1, G2, …, Gs和G?1, G?2, …, G?s?. 令ni, mi與 n?j, m?j

34、分別為Gi, G?j的頂點數(shù)和邊數(shù). 于是,得 n2?5n+4 ? 0， 解出 1 ? n ? 4, 矛盾于n ? 5.,練習3,37,方法二. 在G與 中存在一個，比如說G，它的邊數(shù)用反證法證明G中必含圈. 比方法一簡單.,方法三. 不妨設G的邊數(shù)由于n?5，得m?n. 再用反證法證明之，更簡單.,練習3,38,4．畫出基圖為圖所示無向樹的所有非同構的根樹,練習4,以a, b, c 或d為根的根樹同構

35、，選a為根，則根樹如圖(1); 以 e 與 g 為根的根樹同構，取 g為根，則根樹如圖(2)； 以 f 為根，如圖(3) 所示.,(1) (2) (3),39,5．設T 是正則2叉樹，T 有t 片樹葉，證明T的階數(shù) n=2t?1.,方法一. 利用正則2叉樹的定義及樹的性質(zhì)直接證明.(1) n = t+i (i為分支點數(shù))