中國(guó)古代數(shù)學(xué)史 (1)

1、,社會(huì)歷史背景條件 相對(duì)封閉的疆域 大河背景下的農(nóng)耕文化 集中的王權(quán) 中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 形成了以計(jì)算為核心的算法理論 具有濃郁應(yīng)用色彩 中國(guó)數(shù)學(xué)的成就 第一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》（大約公元前二百年左右） 公元3世紀(jì)至13世紀(jì)，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多數(shù)學(xué)成果,形成國(guó)家數(shù)學(xué)教育的體制,2.1《周易》與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué),《周易》是我國(guó)古代專講卜筮的書，約成書于殷商時(shí)期 ,在古代中國(guó)眾多的儒、道典籍

2、中，《周易》是包含數(shù)學(xué)內(nèi)容最豐富的著作。 “卜”是使用一定的工具弄出來(lái)、以決定事情吉兇的兆象。中國(guó)人常用龜甲和獸骨為占卜工具?！绑摺笔前匆欢ㄒ?guī)則得到特定的數(shù)字，并用它來(lái)預(yù)測(cè)事情的吉兇 , “筮”字由“竹”字和“巫”字構(gòu)成。后來(lái)改用蓍草,“天子之蓍九尺，諸侯七尺，大夫五尺，士三尺?！?《周易》由《易經(jīng)》和《易傳》兩部分組成。自漢代開始，許多算學(xué)家都熱衷于將算法與《周易》相聯(lián)系。劉徽在《九章算術(shù)注》的序中就寫道：“

3、昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情。作九九之術(shù)，以合六爻之變?！?《易經(jīng)》中利用爻卦的變化預(yù)測(cè)吉兇，分別用“—”與“－－”表示陽(yáng)爻和陰爻 。構(gòu)成八卦、六十四別卦 研究認(rèn)為，《周易》中爻的符號(hào)“—”、“－－”是由數(shù)字或數(shù)表演進(jìn)而來(lái)的。理由是： 其一，卦辭中，當(dāng)對(duì)卦畫進(jìn)行解釋時(shí)，總是用數(shù)“九”和“六”分別表示陽(yáng)爻和陰爻。 其二，考古發(fā)現(xiàn)商代甲骨文或陶器上有不少由六組數(shù)（每組三個(gè)數(shù)字）組

4、成的數(shù)表 ，所用的數(shù)字逐漸增加一、六的使用頻率，別的數(shù)字似乎有不用的趨勢(shì)。大約在周初（約公元前1066），就只有一和六這兩個(gè)數(shù)字了。 學(xué)者認(rèn)為：用數(shù)字表示占卜的結(jié)果，數(shù)“一”表示奇數(shù)，讀數(shù)九的音；數(shù)“六”仍讀六，表示偶數(shù)。由于古代六字的符號(hào)是“∧”，這樣數(shù)“一”與“∧”就具有爻的形象了。以后“∧”字形逐漸變平，最后一分為二，成為陰爻“－－”的表示形式。,2.1.1 從數(shù)(表)演進(jìn)為爻,,,四盤磨卜骨上的字符,太極八卦圖,2.

5、1.2 《周易》揲法——大衍演算,《周易》中占筮確定取爻的方法稱為“揲法”，所謂“一十八變得一卦”。朱熹（1130~1200）對(duì)揲法的解說(shuō)如下： （1）蓍策總數(shù)是50根，去其一（象征太一，即太極），實(shí)際用于占算的是49根；（2）把它們?nèi)我夥殖蓛刹糠郑ㄏ笳魈斓亍皟蓛x”），從第一部分里取出一根不參與計(jì)算，（叫“掛一”，配上“兩儀”，象征天地人“三才”）；（3）對(duì)于第一部分的蓍策，每4根一組數(shù)出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四時(shí)）；（4

6、）將所余的“奇數(shù)”（為1，2，3，4四數(shù)之一）根蓍策，夾在左手指間，（叫“歸奇于扐”，象征閏年）；（5）將第二部分蓍策也照（3）、（4）辦理。于是兩部分“歸奇”的蓍數(shù)非4即8，加上“掛一”的一根，共5或9根，完成了“第一變”。,將“歸奇”的蓍數(shù)（5或9根）不用，用余下44或40蓍參與第二變的計(jì)算，操作方法仿上述（2）~（5），此時(shí)“歸奇”的蓍數(shù)仍然是非4即8。第三變揲法仿第二變，用蓍32或36，或40根，三變后余下蓍策的根數(shù)或36，或

7、32，或28，或24根，均為4的倍數(shù)。最后，將第三變的余蓍除以4則得九、八、七、六。并稱九為老陽(yáng)，六為老陰，七為少陽(yáng)，八為少陰。揲蓍的目的，就是為了取到這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)。讓陽(yáng)數(shù)對(duì)應(yīng)陰卦，陰數(shù)對(duì)應(yīng)陰卦，于是數(shù)字變成了爻象。,從中國(guó)古代的占筮工具和方法中，不難發(fā)現(xiàn)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史淵源,“數(shù)學(xué)”一詞相當(dāng)于我國(guó)古代的“算術(shù)” 數(shù)學(xué)一詞，在中國(guó)最早出現(xiàn)在12世紀(jì)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之

8、源者，是數(shù)學(xué)”。,算籌 中國(guó)古人稱數(shù)學(xué)為算學(xué),2.1.3 組合數(shù)學(xué)的思想——洛書與河圖,,宋代的九宮格,,明代的洛書,,河圖的解釋，在歷史上有多種說(shuō)法。其中《尚書》中解釋說(shuō)：“河圖，八卦；伏羲王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖。”,圖中每個(gè)陽(yáng)、陰爻分別代表數(shù)9與數(shù)6，其中數(shù)字的配置依照“九六”說(shuō)，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對(duì)稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為45。它與洛書中1至9的數(shù)字之和相同,“易有太極，

9、是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”,,明代邵雍的易圖數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托；墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經(jīng)》的邏輯學(xué)為其論說(shuō)的工具。 孔子（前551~前479）的“六藝”中的“周官九數(shù)”（方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要 ）是《九章算術(shù)》的雛形 墨子（前468~前376）的抽象概念和邏輯知識(shí)： 三個(gè)邏輯方法

10、:“以名舉實(shí)，以辭抒意，以說(shuō)出故。以類取，以類予”，具有比較明確的邏輯思維形式，非常類似演繹數(shù)學(xué)中的定義、定理和證明。對(duì)幾何中的幾何形狀、幾何性質(zhì)、空間關(guān)系提出了明確的定義。論述了推理（說(shuō)）的各種形式。 惠施（約前370~前318）對(duì)無(wú)窮性質(zhì)的認(rèn)識(shí) ：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭” ；“鏇矢之疾有不行不止之時(shí)”。,2.2 先秦顯學(xué)中的數(shù)學(xué)思想,公元1世紀(jì)至8世紀(jì)初，改變了先前只追求算法、不研究算理的學(xué)風(fēng)，開始給出概念的定義，進(jìn)行推

11、理論證，取得了許多世界領(lǐng)先的成果，同時(shí)涌現(xiàn)出一批杰出數(shù)學(xué)家,2.3.1 劉徽與《九章算術(shù)注》　　西漢年間，中國(guó)有了專門的數(shù)學(xué)著作：《許商算術(shù)》、《杜忠算術(shù)》、《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》，其中前兩部著作早已失傳。,《算數(shù)書》，1984年從湖北張家山古墓中發(fā)掘出土的。據(jù)考證，算數(shù)書》是公元前206年－前179年的一部數(shù)學(xué)著作，它以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的形式編纂 。,2.3 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論的研究,《九章算術(shù)》 是中國(guó)古代的一本傳世數(shù)學(xué)名著，一直作為

12、中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表作，現(xiàn)在傳世的是三國(guó)時(shí)代劉徽于263年完成的注釋本。劉徽布衣出身，生平不詳。從他的《九章算術(shù)注》自序中可以知道：他早年系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過(guò)《九章算術(shù)》，并以“注”的形式將其研究成果記載下來(lái)，完成了《九章算術(shù)注》。 　《九章算術(shù)》成書的確切起始年代無(wú)法確定，只知在漢代就曾經(jīng)過(guò)北漢平侯張蒼（約前200年）和大司農(nóng)中丞耿壽昌（約前50年）的整理。,,第一章方田（分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和平面圖形求面積）　　第二章粟米（糧食交易的計(jì)算方法）

13、　　第三章衰分（比例分配）　　第四章少?gòu)V（開平方與開立方）　　第五章商功（體積計(jì)算）　　第六章均輸（運(yùn)輸中的均勻負(fù)擔(dān)）　　第七章盈不足（盈虧類問(wèn)題計(jì)算）　　第八章方程（一次方程組解法與正負(fù)數(shù)）　　第九章勾股（勾股定理的應(yīng)用）　全書的編排方法是：先舉出問(wèn)題，再給出答案，通過(guò)對(duì)一類問(wèn)題解法的考察，最后給出“術(shù)”。全書共有202個(gè)“術(shù)”。術(shù)，是一類問(wèn)題的一般算法描述，它是研究中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成果的主要依據(jù),《九章算術(shù)》是以應(yīng)用問(wèn)題

14、集的形式表述，一共收入246個(gè)問(wèn)題?！毒耪滤阈g(shù)》把246個(gè)問(wèn)題分為九章：,,明代刊印的《九章算術(shù)注》,《九章算術(shù)》標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系已初步形成。　代表了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點(diǎn)：注重實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨(dú)有的計(jì)算工具和程序化計(jì)算方法,《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)的。劉徽稱：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”。,《九章算術(shù)注》對(duì)數(shù)學(xué)方法的貢獻(xiàn)

15、　　開始了其獨(dú)特的推理論證的嘗試。 “析理以辭，解體用圖。” 創(chuàng)立了“出入相補(bǔ)”的方法，提出了“割圓術(shù)”，上首次將極限概念用于近似計(jì)算；引入十進(jìn)制小數(shù)的記法和負(fù)整數(shù)的知識(shí)；他試圖建立球體積公式，雖然沒(méi)有成功，但為后人提供了科學(xué)的方法；他對(duì)勾股測(cè)量問(wèn)題的深入研究，在幾何研究中，從少數(shù)幾個(gè)原理出發(fā)，運(yùn)用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法 。提出“審辨名分”，不但對(duì)自己提出的每一個(gè)新概念都給出界定《九章算術(shù)注》豐富了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)成果，主要表現(xiàn)在算

16、術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。 諸如，割圓術(shù)與徽率“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！?,設(shè)圓面積為S0、半徑為 r、圓內(nèi)接正n邊形邊長(zhǎng)為 ln 、周長(zhǎng)為 Ln、面積為 Sn 。將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形，其邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積分別記為 l2n , L2n , S 2n 。劉徽首先指出，由 ln 及勾股定理可求出 l2n,其次知道了圓內(nèi)接正n 邊形的周長(zhǎng) Ln，又可求得正2n邊形的面積，如果在圓內(nèi)接n邊

17、形的每邊上作一高為CD的矩形，就可以證明劉徽不等式：S2n < S0 < S2n + ( S2n－Sn ).,割圓術(shù)的基本原理,從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，取半徑r為1尺，一直計(jì)算到192邊形，得出圓周率的近似值π≈3.14，化成分?jǐn)?shù)為157/50，這就是有名的“徽率”,2.3.2 祖率與祖暅原理,祖沖之（429~500） 與祖率 據(jù)《隨書·律歷志》記載，祖沖之求得的π值的取值范圍為3.141592

18、< π<3.1415927 .（并稱為朒、盈數(shù)） 如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果，需要從正六邊形起，連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù)，至24576邊形,,,用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為π：4，于是由劉徽原理立即得到V球:V牟=π：4即 V球= （π/4） V牟。,祖暅原理（冪勢(shì)既同，則積不容異）與球體積公式劉徽原理與“牟合方蓋”,“小方蓋差

19、” 與球體積公式,,左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設(shè)為a，UQ是球半徑r，UP是高h(yuǎn)。根據(jù)勾股定理得a2 = r2 – h2;這正是截平面PQRS的面積 中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于r2 －a2 =h2， 右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2,根據(jù)祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。,內(nèi)插法：已知 f ( x ) 在 xi ∈[a,b]（i

20、=1,2,…,n）的值為 ，那么通過(guò) 及適當(dāng)公式，計(jì)算y = f ( x ) 在 [a,b]內(nèi)其他一些點(diǎn)的函數(shù)值。如果xi + 1 －xi為定數(shù)，這時(shí)的內(nèi)插法稱為等間距內(nèi)插法；反之，稱為不等間距內(nèi)插法。,,歷法編制中的內(nèi)插法 最早求影長(zhǎng)的一次內(nèi)插公式（約公元前2世紀(jì) ）： f (n)=f (a) + n△，其中， f (n)是夏至之后的第ｎ個(gè)節(jié)氣的影長(zhǎng)，,f (a)

21、 = 160分，f (b) = 1350分分別是夏至、冬至的中午八尺桿子的影長(zhǎng)，,2.3.3 內(nèi)插法與天文歷法,《乾象歷》（206年），已發(fā)現(xiàn)了月亮不均勻運(yùn)動(dòng)及其規(guī)律。公元570年，北齊朝的天文學(xué)家張子信發(fā)現(xiàn)：自春分到秋分所需的時(shí)間要比秋分到春分的時(shí)間長(zhǎng)，進(jìn)而證明了太陽(yáng)“視運(yùn)動(dòng)”的速度是不均勻的隋朝劉焯（544~610）的《皇極歷》提出了等間距二次內(nèi)插法公式：f (nl + s) = f ( nl ) +

22、 + (△1－△2)－ (△1－△2)張遂(683~727) 的《大衍歷》創(chuàng)造了不等間距二次內(nèi)插法公式： f (t + s) = f ( t ) + s +s － 其中，l1、l2分別為不同節(jié)氣的時(shí)間長(zhǎng)度，張遂假定它們不相等,,,,,,,,,“算經(jīng)十書”記載的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就《周髀算經(jīng)》（約公元前240年至公元前156年）與

23、商高（陳子）定理 “周髀”是測(cè)量日影的工具—八尺長(zhǎng)竿 全書由三部分組成： 第一部分共264個(gè)字，記述了周公與大夫商高的問(wèn)答記錄。提到：“勾廣三，股修四，徑隅五”。說(shuō)明，周代初期人們已經(jīng)知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。 第二部分是榮方與陳子的對(duì)話。對(duì)話中包含了勾股定理的一般陳述形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！?第三部分是講計(jì)算問(wèn)題的，有“術(shù)”13條，書寫形式和

24、內(nèi)容與《九章算術(shù)》基本一致。,2.3.4 明算學(xué)與“算經(jīng)十書” 隋唐時(shí)期的數(shù)學(xué)教育制度 —明算學(xué),“孫子問(wèn)題”：“今物不知其數(shù)，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，問(wèn)物幾何？” 孫子問(wèn)題相當(dāng)于求解一次同余式組 N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）這個(gè)問(wèn)題源于歷法編算中的求上元積年問(wèn)題 其解法寫作“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。.

25、 計(jì)算過(guò)程為：N=70×2+21×3+15×2－2×105.顯然，這里的70、21、15是求解的關(guān)鍵。其求法： 70 =2×5×7≡1(mod 3)≡0(mod 5)≡0(mod 7), 21 = 3×7≡0(mod 3)≡1(mod 5)≡0(mod 7) , 15=3×5≡0(mod 3)≡0

26、(mod 5)≡1(mod 7) . 由題設(shè)，用3、5、7分別除以N所得的余數(shù)為2、3、2，故用2、3、2分別去乘70、21和15，再相加即得 233≡2（mod 3）≡3（mod 5）≡2（mod 7） 求出這個(gè)同余組的最小整數(shù)解N=23，,《孫子算經(jīng)》（約公元4世紀(jì)）與“孫子問(wèn)題”,《張邱建算經(jīng)》（約公元五世紀(jì)）與“百雞問(wèn)題” “今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞百只。問(wèn)

27、雞翁、母、雛各幾何?！?給出三組答案： （4，18，78），（8，11，81），（12，4，84） 《張邱建算經(jīng)》的應(yīng)用領(lǐng)域較《九章算術(shù)》有了新的發(fā)展，其主要數(shù)學(xué)成果包括求最小公倍數(shù)，等差數(shù)列及不定方程等內(nèi)容,《緝古算經(jīng)》（公元600多年）與“帶從開方法” 對(duì)當(dāng)時(shí)的土木工程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究和總結(jié)，在一些體積計(jì)算中隱含了求解三次方程的“帶從開方法” 。雖然由于解法過(guò)程空缺，因而沒(méi)能

28、清楚地呈現(xiàn)這一方法的具體操作過(guò)程和原理。該書在理論上的貢獻(xiàn)是陳述了籌算的運(yùn)算方法，這在中國(guó)數(shù)學(xué)史上尚屬首次。,2.4.1 楊輝三角與增乘開方法 楊輝（約13世紀(jì)后期）在《詳解九章算法》中記載了北宋人賈憲的一張“開方作法本源圖”（1050）現(xiàn)今稱為楊輝三角的 “賈憲三角”。在西方它被又稱為帕斯卡三角（1655年）,,2.4 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰（900年到1368年 ） 創(chuàng)造出許多具有世界 歷史意義的成就

29、 數(shù)學(xué)家輩出 數(shù)學(xué)著作涌現(xiàn),若A開平方的首商、次商分別為a,b,則有A=a2+B=a2+2ab+b2 則B=A－a2=2ab+b2=(2a+b)b 繼而用2a+b試除B,且若B－(2ab+b2)=0,則開方完成；否 則再繼續(xù)試第三位商，……。 這個(gè)方法用于籌算，就形成了增乘開方法，其過(guò)程簡(jiǎn)述如下:,借助賈憲三角，給出一種開高次方的方法：增乘開方法,,a *

30、 a a a b* b b,① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦,,將上圖轉(zhuǎn)換適當(dāng)角度，就變?yōu)橘Z憲三角：左邊斜行由1組成，稱為“積數(shù)”，它們是借算；右斜行也都是1，稱為偶算，它們是a的各次冪的系數(shù)。賈憲利用賈憲三角得到了開高次方的一般方法,增乘開方法，是一個(gè)和高度機(jī)械化的和非

31、常有效的算法，與現(xiàn)代通用的“霍納算法”（1819）已基本一致。增乘開方法，可適用于開任意高次方。但賈憲本人沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。另外直到賈憲時(shí)，中國(guó)數(shù)學(xué)家們所處理的方程系數(shù)都是正數(shù)。12世紀(jì)北宋學(xué)者劉益首先突破了系數(shù)必須為正的限制，并且也不再像以往那樣要求首項(xiàng)系數(shù)為1。,“大衍求一術(shù)” 為求得滿足條件的乘率ki，秦九韶把奇數(shù)gi與定數(shù)ai輾轉(zhuǎn)相除，相繼得商數(shù)qi和余數(shù)ri，即 a i = q1 gi + r1,

32、 并可得到：c1 = q1 g i = q2r1 + r2, c2 = q2c1+1 r1 = q3r2 + r3, c3 = q3c2+c1 …… ……

33、 rn-2 = qnrn-1 + rn 秦九韶指出：當(dāng)rn=1且n為偶數(shù)時(shí)，則最后所得cn 就是乘率ki；當(dāng)rn=1，且n為奇數(shù)時(shí)，可將rn-1與rn相除后，形式上取qn+1=rn-1－1，那么余數(shù)rn+1仍為1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，這時(shí)n+1為偶數(shù)，則cn+1就是所求ki，總之，當(dāng)輾轉(zhuǎn)相除得到余數(shù)1時(shí)，整個(gè)計(jì)算結(jié)束,2.4.2 秦九韶與中國(guó)剩余定理秦九韶（1202~1261）與《數(shù)書九章

34、》 高次方程數(shù)值解法—“正負(fù)開方術(shù)”（開10次方的問(wèn)題） 一次同余組解法—“大衍總數(shù)術(shù)”（“衍”同“演” ）,元代初期，開始用文字表示方程中的未知量，并形成了相應(yīng)的算法——天元術(shù)（李冶 ）與四元術(shù)（朱世杰 ）高階等差級(jí)數(shù)和公式沈括（約1031~1095）“隙積術(shù)”與二階等差數(shù)列求和公式 數(shù)列：22，32，42，52，62，（1）該數(shù)列相鄰項(xiàng)之差依次為 5，7，9，11 ，…… （2）顯然（2）是一

35、個(gè)公差為2的等差數(shù)列。今天（1）式被稱為一個(gè)二階等差數(shù)列,,楊輝的“垛積術(shù)”與“三角垛公式”：1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…（1＋2＋3＋…＋n） = n（n＋1）（n＋2）/6,2.4.3 方程與級(jí)數(shù)的研究,,廉?dāng)?shù)是斜行上數(shù)的和上一斜行各數(shù)之和，等于下行短線所指的一個(gè)數(shù),左邊第二斜行為1，2，3，4，5，6，7，8 ，是公差為1一階等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和（“茭草垛”公式）左邊第三斜行為1，3，6，10，15，21，

36、28，是二階等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為（“三角垛”公式） 左邊第四斜行為1，4，10，20，34，56，是三階等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為（“撤星形垛”公式）,朱世杰得到了p階等差數(shù)列求和的一般公式， =,,,朱世杰的一般高階等差級(jí)數(shù)公式及其應(yīng)用 賈憲三角與等差級(jí)數(shù)公式,“設(shè)日數(shù)為n，每日招兵數(shù)為(n + 2)3,問(wèn)第15日招兵多少？” 解答中

37、用到了四次內(nèi)插公式：f (n) = n△1+ n (n－1)△2+ n (n－1)(n－2)△3 + n (n－1)(n－2)(n－3)△4 其中f (n)表示第n日總共的招兵數(shù)，且其“四次差”分別為△1=27， △2=37， △3=24， △4=6。恰好是“古法七乘方圖”中的各級(jí)數(shù)之和。 朱世杰的發(fā)現(xiàn)表明，借助于高階等差級(jí)數(shù)的研究結(jié)果，完全可以寫出任意高次的招差公式。在歐洲，

38、1670年英國(guó)天文學(xué)家格烈高里最先對(duì)招差法作了說(shuō)明，牛頓在1676—1678年的著作中才出現(xiàn)了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。,,,,招差術(shù)與等差級(jí)數(shù)和的關(guān)系,2.5.1 算法化特征 “算術(shù)” 與算法化成果 算籌為中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展提供了了技術(shù)工具，使中國(guó)在世界上最早采用了十進(jìn)位值制記數(shù)法；使計(jì)算程序化和自動(dòng)化 長(zhǎng)期堅(jiān)持走算法化的發(fā)展道路，限制了數(shù)學(xué)方法的流傳和改進(jìn)。影響了邏輯體系的發(fā)展，很難達(dá)到現(xiàn)代

39、數(shù)學(xué)的發(fā)展水平,2.5.2 實(shí)用性思想 數(shù)學(xué)著作都以社會(huì)生產(chǎn)和生活實(shí)踐中的問(wèn)題為綱，這些問(wèn)題基本按社會(huì)、生活領(lǐng)域進(jìn)行分類， 過(guò)分重實(shí)用，不利于抽象概念和命題的形成,2.5.3 政府控制的特征 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)始終置于政府控制之下，直接受制于統(tǒng)治階級(jí)的意識(shí)形態(tài)和社會(huì)的需求,2.5 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點(diǎn),較早的形成國(guó)家數(shù)學(xué)教育體制 明代封建統(tǒng)治者的政策不利于數(shù)學(xué)發(fā)展,2.5.4 連續(xù)性特征 主要表現(xiàn)在

40、以下幾個(gè)方面：歷代數(shù)學(xué)典籍體例的一致性數(shù)學(xué)的各分支發(fā)展的繼承性計(jì)算工具使用的一貫性 不受外來(lái)數(shù)學(xué)文化的影響 英國(guó)現(xiàn)代著名學(xué)者李約瑟這樣評(píng)述外域文化對(duì)中國(guó)的影響：“中國(guó)和它的西方鄰國(guó)以及南方鄰國(guó)之間的交往和反映，要比一向所認(rèn)為的多得多，盡管如此，中國(guó)思想和文化模式的基本格調(diào)，卻保持著明顯的、從未間斷的自發(fā)性。這是中國(guó)‘與世隔絕’的真正涵義。過(guò)去，中國(guó)和外界是有接觸的，但是，這種接觸從來(lái)沒(méi)有多到足以影響它所特有文化以及科