運(yùn)籌學(xué)排隊(duì)論1

1、,第十章 排隊(duì)論,,引 言 排隊(duì)論是研究排隊(duì)系統(tǒng)（又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）的數(shù)學(xué)理論和方法，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。 有形排隊(duì)現(xiàn)象：進(jìn)餐館就餐，到圖書館借書，車站等車，去醫(yī)院看病，售票處售票，到工具房領(lǐng)物品等現(xiàn)象。 無形排隊(duì)現(xiàn)象：如幾個(gè)旅客同時(shí)打電話訂車票；如果有一人正在通話，其他人只得在各自的電話機(jī)前等待，他們分散在不同的地方，形成一個(gè)無形的隊(duì)列在等待通電話。 排隊(duì)的不一定是

2、人，也可以是物。如生產(chǎn)線上的原材料，半成品等待加工；因故障而停止運(yùn)行的機(jī)器設(shè)備在等待修理；碼頭上的船只等待裝貨或卸貨；要下降的飛機(jī)因跑道不空而在空中盤旋等。,,,當(dāng)然，進(jìn)行服務(wù)的也不一定是人，可以是跑道，自動(dòng)售貨機(jī)，公共汽車等。顧客可以走向服務(wù)機(jī)構(gòu)，也可以相反（如送貨上門）。 顧客——要求服務(wù)的對(duì)象。 服務(wù)員——提供服務(wù)的服務(wù)者（也稱服務(wù)機(jī)構(gòu)）。 顧客、服務(wù)員的含義是廣義的。

3、 如果增添服務(wù)設(shè)備，就要增加投資或發(fā)生空閑浪費(fèi) ；如果 服務(wù)設(shè)備太少，排隊(duì)現(xiàn)象就會(huì)嚴(yán)重，對(duì)顧客個(gè)人和對(duì)社會(huì)都會(huì)帶來不利影響。因此，管理人員必須考慮如何在這兩者之間取得平衡，經(jīng)常檢查目前處理是否得當(dāng)，研究今后改進(jìn)對(duì)策，以期提高 服務(wù)質(zhì)量，降低成本。,,2、排隊(duì)系統(tǒng)類型：,單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng),S個(gè)服務(wù)臺(tái)，一個(gè)隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng),,S個(gè)服務(wù)臺(tái)， S個(gè)隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng),多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng),,,隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng),隨機(jī)性——顧客到達(dá)情況與顧客接受服務(wù)的

4、時(shí)間是隨機(jī)的。 一般來說，排隊(duì)論所研究的排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間這兩個(gè)量中至少有一個(gè)是隨機(jī)的，因此，排隊(duì)論又稱隨機(jī)服務(wù)理論。,,3、排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征 實(shí)際中的排隊(duì)系統(tǒng)各不相同，但概括起來都由三個(gè)基本部分組成：輸入過程，排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)。輸入過程—即顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)。 顧客總體（顧客源）數(shù)：可能是有限，也可能是無限。河流上游流入水庫的水量可認(rèn)為是無限的；車間內(nèi)停機(jī)待修的機(jī)器顯然

5、是有限的。到達(dá)方式：是單個(gè)到達(dá)還是成批到達(dá)。庫存問題中，若把進(jìn)來的貨看成顧客，則為成批到達(dá)的例子。,,顧客（單個(gè)或成批）相繼到達(dá)的時(shí)間間隔，可以是確定型的，也可以是隨機(jī)型的。這是刻劃輸入過程的最重要內(nèi)容。令T0=0，Tn表示第n顧客到達(dá)的時(shí)刻，則有T0?T1 ? T2….. ? Tn ? …… 記Xn= Tn –Tn-1 n=1,2,…,則Xn是第n顧客與第n-1顧客到達(dá)的時(shí)間間隔。對(duì)于隨機(jī)型的，要知道其分布：一般假定{Xn

6、}是獨(dú)立（非關(guān)聯(lián)）同分布，并記分布函數(shù)為A(t)。{Xn}的分布A(t)常見的有：定常分布（D）：顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔為確定的。如產(chǎn)品通過傳送帶進(jìn)入包裝箱就是定常分布。最簡(jiǎn)流（或稱Poisson)（M）：顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔{Xn}為獨(dú)立的，同為負(fù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：,,a(t)=,?e- ?t t?0,0 t < 0,,排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)有限排隊(duì)——排隊(duì)系統(tǒng)中顧客數(shù)是有限的。有限排

7、隊(duì)還可以分成：損失制排隊(duì)系統(tǒng)：排隊(duì)空間為零的系統(tǒng)，即不允許排隊(duì)。（顧客到達(dá)時(shí)，服務(wù)臺(tái)占滿，顧客自動(dòng)離開，不再回來）（電話系統(tǒng)）混合制排隊(duì)系統(tǒng)：是等待制與損失制結(jié)合，即允許排隊(duì)，但不允許隊(duì)列無限長(zhǎng)。,,混合制排隊(duì)系統(tǒng)：隊(duì)長(zhǎng)有限。即系統(tǒng)等待空間是有限的。例：最多只能容納K個(gè)顧客在系統(tǒng)中，當(dāng)新顧客到達(dá)時(shí)，若系統(tǒng)中的顧客數(shù)（又稱為隊(duì)長(zhǎng)）小于K，則可進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)或接受服務(wù)；否則，便離開系統(tǒng)，并不再回來。如水庫的庫容是有限的，旅館的床位是有限

8、的。等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中等待時(shí)間不超過某一給定的長(zhǎng)度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超過T時(shí)，顧客將自動(dòng)離開，不再回來。如易損失的電子元件的庫存問題，超過一定存儲(chǔ)時(shí)間的元器件被自動(dòng)認(rèn)為失效。逗留時(shí)間（等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和）有限。例：用高射炮射擊飛機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越射擊有效區(qū)域的時(shí)間為t時(shí)，若這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。,,損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記s為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，則當(dāng)k=s時(shí)，混合制即為損失制；當(dāng)k=?時(shí)，即

9、成為等待制。 無限排隊(duì)——顧客數(shù)是無限，隊(duì)列可以排到無限長(zhǎng)（等待制排隊(duì)系統(tǒng)）。 當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺(tái)都被占有且又允許排隊(duì)，則該顧客將進(jìn)入隊(duì)列等待。服務(wù)臺(tái)對(duì)顧客進(jìn)行服務(wù)所遵循的規(guī)則通常有：先來先服務(wù)（FCFS）后來先服務(wù)（LCFS）。在許多庫存系統(tǒng)中就會(huì)出現(xiàn)這種情況，如鋼板存入倉庫后，需要時(shí)總是從最上面取出；又如在情報(bào)系統(tǒng)中，后來到達(dá)的信息往往更重要，首先要加以分析和利用。,,具有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（PS）。服務(wù)

10、臺(tái)根據(jù)顧客的優(yōu)先權(quán)的不同進(jìn)行服務(wù)。如病危的病人應(yīng)優(yōu)先治療；重要的信息應(yīng)優(yōu)先處理；出價(jià)高的顧客應(yīng)優(yōu)先考慮。隨機(jī)服務(wù)，指服務(wù)員從等待的顧客中隨機(jī)地選取其一進(jìn)行服務(wù)，而不管到達(dá)的先后。如電話交換臺(tái)接通呼喚的電話就是如此。 從占有空間來看，隊(duì)列可以排在具體的處所，也可以是抽象的；有的系統(tǒng)要規(guī)定容量的，有的容量沒有限制。 從隊(duì)列的數(shù)目來看，可以是單列的，也可以是多列的；在多列的情形中，各列的顧客有的是可以互相轉(zhuǎn)移的，

11、有的不能互相轉(zhuǎn)移；有的可以中途退出，有的必須堅(jiān)持到被服務(wù)為止。,,服務(wù)機(jī)制：包括：服務(wù)員的數(shù)量及其連接方式（串聯(lián)還是并聯(lián)）；顧客是單個(gè)還是成批接受服務(wù)；服務(wù)時(shí)間的分布。記某服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間為V，其分布函數(shù)為B(t),密度函數(shù)為b(t),則常見的分布有： 定長(zhǎng)分布（D）：每個(gè)顧客接受的服務(wù)時(shí)間是一個(gè)確定的常數(shù)。 負(fù)指數(shù)分布（M）：每個(gè)顧客接受的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相同的負(fù)指數(shù)分布：其中?>0為一常數(shù)

12、。,b(t)=,?e- ?t t?0,0 t<0,,,K階愛爾朗分布（Ek）：,b(t)=,k?(k?t)k-1(K-1)!,= e- k?t,當(dāng)k=1時(shí)即為負(fù)指數(shù)分布；k ? 30,近似于正態(tài)分布。當(dāng) k?? 時(shí)，方差 ? 0 即為完全非隨機(jī)的。排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示：“Kendall”記號(hào)：X / Y/ Z / A/B/C其中：X表示顧客相繼到達(dá)的分布； Y表示服

13、務(wù)時(shí)間的分布； Z表示服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)； A表示系統(tǒng)的容量，即可容納的最多顧客數(shù)。 B表示顧客客源數(shù)目。 C表示服務(wù)規(guī)則。,,例 13-1 M /M/ 1 / ?/? M表示顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布； M表示服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布；單個(gè)服務(wù)臺(tái)；系統(tǒng)容量為無限（等待制）的排隊(duì)模型 。例 13-2 M /M/ S / K/? 表示顧客到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分

14、布； 服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布；S個(gè)服務(wù)臺(tái)；系統(tǒng)容量為K的排隊(duì)模型 。當(dāng) K= S 時(shí)為損失制排隊(duì)模型；當(dāng) K= ? 時(shí)為等待制排隊(duì)模型。,,3、排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)：系統(tǒng)狀態(tài)：也稱為隊(duì)長(zhǎng)，指排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)（排隊(duì)等待的顧客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和）。它的期望值記作LS。排隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中正在排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)。它的期望值記作Lq 系統(tǒng)中顧客數(shù)=在隊(duì)列中等待服務(wù)的顧客數(shù)+正被服務(wù)的顧客數(shù)逗留時(shí)間：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中

15、停留的時(shí)間，它的期望值記作Ws。等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，它的期望值記作Wq。逗留時(shí)間=等待時(shí)間 +服務(wù)時(shí)間,,4、排隊(duì)論研究的基本問題：通過研究主要數(shù)量指標(biāo)在瞬時(shí)或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運(yùn)行的基本特征。統(tǒng)計(jì)推斷問題：建立適當(dāng)?shù)呐抨?duì)模型是排隊(duì)論研究的第一步，建立模型過程中，系統(tǒng)是否達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)的檢驗(yàn)；顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔相互獨(dú)立性的檢驗(yàn)，服務(wù)時(shí)間的分布及有關(guān)參數(shù)的確定等。系統(tǒng)優(yōu)化問題：又稱為

16、系統(tǒng)控制問題或系統(tǒng)運(yùn)營問題，其基本目的是使系統(tǒng)處于最優(yōu)的或最合理的狀態(tài)。包括：最優(yōu)設(shè)計(jì)問題和最優(yōu)運(yùn)營問題。,,5、M/M/1/?/?排隊(duì)模型 標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1?/?模型是指適合下列條件的排隊(duì)系統(tǒng)：輸入過程——顧客源是無限的，顧客單個(gè)到來，相互獨(dú)立，一定時(shí)間的到達(dá)數(shù)服從泊松分布，到達(dá)過程已是平衡的。排隊(duì)規(guī)則——單隊(duì)，且對(duì) 隊(duì)長(zhǎng)沒有限制，先到先服務(wù)。服務(wù)機(jī)構(gòu)——單服務(wù)臺(tái)，各顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的，服從相同的負(fù)指數(shù)分布。此

17、外，還假定到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。,,,例13-3：考慮一個(gè)鐵路列車編組站。設(shè)待編列車到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)到達(dá)2列；服務(wù)臺(tái)是編組站，編組時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每20分鐘可編一組。已知編組站上共有2股道，當(dāng)均被占用時(shí)，不能接車，再來的列車只能停在站外或前方站。求在平衡狀態(tài)下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)；每一列車的平均逗留時(shí)間；等待編組的列車平均數(shù)。如果列車因站中2股道均被占用而停在站外或前方站時(shí)，每列車每小時(shí)費(fèi)用為a

18、元，求每天由于列車在站外等待而造成的損失。,,解：本例可看成一個(gè)M/M/1/?/?排隊(duì)問題。 其中? =2， ? =3，?=?/?=2/3<1系統(tǒng)中列車的平均數(shù) Ls= ?/ (1-?)=(2/3)/(1-2/3)=2（列）列車在系統(tǒng)中的平均停留時(shí)間 Ws=Ls/?= 2/2=1（小時(shí)）系統(tǒng)中等待編組的列車平均數(shù) Lq=Ls-?= 2-2/3=4/3（列）,,列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時(shí)間 Wq = L

19、q/ ?=(4/3)/(1/2)=2/3（小時(shí)） 每列車平均延誤（由于站內(nèi)2股道均被占用而不能進(jìn)站）時(shí)間為W0則W0 = WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2} =W{1-(l-?)- (l-?) ?1 -(l-?) ?2} =1* ?3= ?3=(2/3)3=0.296（小時(shí)）故每天列車由于等待而支出的平均費(fèi)用E=24?W0a=24*2*0.296*a=14.2a元,,例13-4：某修理店只

20、有一位修理工，來修理的顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均每小時(shí)4人；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求：修理店空閑的概率；店內(nèi)恰有3位顧客的概率；店內(nèi)至少有一位顧客的概率；在店內(nèi)平均顧客數(shù)；每位在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間。,,解：本例可看成一個(gè)M/M/1/? /?排隊(duì)問題. 其中? =4， ? =1/0.1=10(人/小時(shí)）， ?= ?/?=2/5<1修理店內(nèi)

21、空閑的概率 P0= 1-?= (1-2/5)=0.6店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率 P3= ?3(1-?)=(2/5)3(1-2/5)=0.038店內(nèi)至少有1位顧客的概率 P {N?1}=1-P0=1- (1-?)= ? =2/5=0.4,,在店內(nèi)平均顧客數(shù) L= ?/ (1-?)=(2/5)/(1-2/5)= 0.67(人）每位顧客在店內(nèi)平均逗留時(shí)間W=L/?=0.67/4=10分鐘等待服務(wù)的平均顧

22、客數(shù) Lq=L-?=0.67-2/5=0.27(人)每個(gè)顧客平均等待服務(wù)時(shí)間 Wq = Lq/ ?=0.27/4=0.0675小時(shí) =4分鐘,6、M/M/1/N/ ?/?排隊(duì)模型如果系統(tǒng)的最大容量為N，對(duì)于單服務(wù)臺(tái)的情形，排隊(duì)等待的顧客最多為N-1，在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被的拒絕進(jìn)入系統(tǒng)。,7、 M/M/1/?/M 等待制排隊(duì)模型,8、 M/M/C/?/ ? 排隊(duì)模型,,7

23、、 M/M/1/?/M 等待制排隊(duì)模型多服務(wù)臺(tái)問題，又表示為M/M/S/ ? ：顧客相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為?的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)臺(tái)數(shù)為S；每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為?的負(fù)指數(shù)分布。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若有空閑服務(wù)臺(tái)馬上被進(jìn)行服務(wù)，否則便排成一隊(duì)列等待，等待空間為無限。,,隊(duì)長(zhǎng)的分布 記Pn=p{N=n},n=0,1,2….為系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，對(duì)多服務(wù)臺(tái)有 ?n=?； n=0,1,2….

24、 ?n= n? n=0,1,2….s ?n= s? n=s,s+1,s+2….,,?s= ?/s= ?/s?, 當(dāng)?s<1時(shí)，有,Cn=,(?/?)n n!,(?/?)s s!,(?/s?)n-s=,(?/?)n s!sn-s,n=1,2,…..s,n?s,,pn=,(p)n n!,n=1,2,…..s,?n s!sn

25、-s,n ? s,,p0,p0,,其中：p0=[?0s-1pn/n!+ ?s/s!(1- ?s)]-1當(dāng)n ? s時(shí)，顧客必須等待，記C(s, ?)= ?s?pn= ?s/s!(1- ?s) p0稱為Erlang等待公式，它給出了顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，需要等待的概率。,,平均排隊(duì)長(zhǎng)：Lq=?s?(n-s)pn = p0 ?s ?s /s!(1- ?s)2或Lq = C(s, ?) ?s / (1- ?s) 記系統(tǒng)中正在接受服務(wù)

26、的顧客平均數(shù)s,顯然s也是正在忙的服務(wù)臺(tái)平均數(shù)。S= ?0s-1npn+ s*?s?pn = ?,,平均隊(duì)長(zhǎng)：L=平均排隊(duì)長(zhǎng)+正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)= Lq + ?對(duì)多服務(wù)臺(tái)，Little公式依然成立： W=L/? Wq=Lq/ ? =W-(1/?),,例13-5：考慮一個(gè)醫(yī)院急診室的管理問題，根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，急診病人相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均每半小時(shí)來一個(gè)；醫(yī)生