數(shù)學文化與數(shù)學教學(汪曉勤)

1、,汪 曉 勤石家莊 2011-10-12,數(shù)學文化與數(shù)學教學,數(shù)學文化與數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角,希臘幾何學的鼻祖泰勒斯發(fā)現(xiàn)了角邊角定理。普羅克拉斯（Proclus, 5世紀）告訴我們：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯。因為他說，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理?！?Thales （前6世紀）,案例 1 跨越時空,案例 1 跨越時空,泰勒斯在海邊的塔或高丘上

2、利用一種簡單的工具進行測量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞 A 轉(zhuǎn)動，但可以固定在任一位置上。將該細竿調(diào)準到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動EF（保持與底面垂直），將細竿對準岸上的某一點C。則根據(jù)角邊角定理，DC = DB。,案例 1 跨越時空,上述測量方法廣泛使用于文藝復興時期。右圖是16世紀意大利數(shù)學家貝里（S. Belli, ?～1575）出版于1565年的測量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相

3、同。,案例 1 跨越時空,有一個故事說，拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮演者重要角色。,案例 1 跨越時空,在抗美援朝戰(zhàn)爭中，一名志愿軍戰(zhàn)士利用泰勒斯的方法測量敵營的距離。,案例 1 跨越時空,學生在課上演示泰勒斯的方法,案例 1 跨越時空,學生在課上給出的測量全等三角形方案,案例 1 跨越時空,S1: 所有

4、的話題都讓學生感興趣，提高了上課的效率，多年之后故事會永遠留在頭腦中。S2: 不會影響學習成績，更不會影響學習時間。這樣的課在我們理論的基礎上多一種知識的了解，而且這個了解不是可有可無的而是有多有少的。在正課當中，無論從哪個角度講解都會讓我們對知識印象更深，增加對知識的理解，當然一定要以正課為主。,案例 1 跨越時空,T1: 這樣的課教師和學生都很感興趣，很生動，學生的積極性完全調(diào)動起來，是數(shù)學與實際結(jié)合最好的范例。T2: 最好能

5、資源共享，多展示幾節(jié)這樣的課，讓學生更好地體會數(shù)學與生活緊密相關，讓學生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學問題，并用學過的知識解決它。如果所有的課都能以這種形式來上，那么學生一定都會喜歡數(shù)學課!,案例 2 昔非今比,七兄弟分財產(chǎn)，最小的兄弟得2，后一個比前一個多得1/6，問所分財產(chǎn)共有多少？,數(shù)學泥版MS 1844（約公元前2050年）,,案例 2 昔非今比,649539 大麥 72171 麥穗 8019

6、 螞蟻 891 鳥 99 人,數(shù)學泥版 M 7857（古巴比倫時期）,案例 2 昔非今比,佛陀年輕時代的故事 7原子=1極微塵 7極微塵=1微塵 7微塵=1塵， …………………… 1里長度中共有717個原子,案例 2 昔非今比,《佛本行集經(jīng)》卷12： 悉達多太子講授“微塵數(shù)”的算法：“凡七微塵，成一窗塵；合七窗

7、塵，成一兔塵；合七兔塵，成一羊塵；合七羊塵，成一牛塵；合七牛塵，成于一蟣；合于七蟣，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麥；合七大麥，成一指節(jié)；累七指節(jié)，成于半尺。合兩半尺，成于一尺，二尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名為一息；其八十息，名拘盧奢；八拘盧奢，名一由旬。于此眾中，有誰能知，幾許微塵成一由旬？,案例 2 昔非今比,七極微為一微量， 積微至七為一金塵， 積七金塵為水塵量， 水塵積至七為

8、一兔毛塵， 積七兔毛塵為羊毛塵量， 積羊毛塵七為一牛毛塵， 積七牛毛塵為隙游塵量， 隙塵七為蟣， 七蟣為一虱， 七虱為穬麥， 七麥為指節(jié)……,《俱舍論》卷12（玄奘譯）,案例 2 昔非今比,斐波納契《計算之書》（1202） “7翁去羅馬，每個人牽著7匹騾子，每匹騾子負7只麻袋，每只袋子裝7塊面包，每塊面包配有7把小刀，每把刀配有7個刀鞘，問老翁、騾子、面包、刀、鞘的總數(shù)是多

9、少。”,案例 2 昔非今比,Josse Verniers（1584） 士兵問題：一座房子里有14個房間，每個房間有里14張床，每張床上躺著14個士兵，每個士兵有14支槍，每支槍里有14顆子彈。問：共有床、士兵、槍、子彈各多少。,案例 2 昔非今比,Kamp（1877） 婦女問題：有12個婦女，每人帶有12根棍子，每根棍子上綁有12根繩子，每根繩子上系有12個袋子，每個袋子里裝有12個盒子，每個盒子里含有12先令。

10、問：共有多少先令？,案例 2 昔非今比,? Adams 《學者算術》 （1801） 妻子問題： 我赴圣地伊夫斯， 路遇一男攜七妻； 一妻各把七袋負， 一袋各裝七貓咪。 貓咪生仔數(shù)又七， 幾多同去伊夫斯？,案例 2 昔非今比,萊因得紙草書（約公元前1650年）,萊因得紙草上的等比數(shù)列問題,,,案例 2 昔非今比,埃及乘法12?7,,案例 2 昔非今比,《幾何原本》第 9 卷命

11、題 35,,案例 3 牛刀小試,托勒密 托勒密分別就空氣和水、水和玻璃、玻璃和空氣，對光的入射角和折射角進行測量，得出入射角與折射角成正比的錯誤結(jié)論。,C. Ptolemy (85-165),案例 3 牛刀小試,阿爾·海森 制作儀器，測量入射角和折射角，發(fā)現(xiàn)托勒密的結(jié)論是錯誤的，但他自己未能發(fā)現(xiàn)折射定律。,Al-Haitham (965-1038),案例 3 牛刀小試,維特羅（ca. 1270） 波蘭物

12、理學家、自然哲學家和數(shù)學家維特羅在阿爾·海森的基礎上進一步研究折射現(xiàn)象，但他仍然同樣未能發(fā)現(xiàn)折射定律。,Witelo (ca.1230- ca.1300),案例 3 牛刀小試,開普勒（1611） 開普勒在《折光》（1611）中給出：對于兩種固定的媒質(zhì)，當入射角（i）較小時，入射角和折射角（r）之間的關系是i = nr， （n為常數(shù)）。當光線從空氣進入玻璃時，n = 3/2。,J. Kepler(1571-1630),案例

13、 3 牛刀小試,哈里奧特（1601） 英國數(shù)學家哈里奧特發(fā)現(xiàn)了折射定律，但沒有發(fā)表。,T. Harriot（1560-1621）,案例 3 牛刀小試,斯內(nèi)爾（1621）荷蘭數(shù)學家斯內(nèi)爾約于1621年獨立發(fā)現(xiàn)折射定律，但沒有發(fā)表。哈里奧特和斯內(nèi)爾都是通過實驗得出該定律的，而沒有給出理論的推導。,W. Snell(1591-1626),案例 3 牛刀小試,笛卡兒（1637） 笛卡兒在《折光》（《方法論》之附錄）中發(fā)表了折射定

14、律，但遺憾的是，他的證明卻是錯誤的！笛卡兒是否抄襲了斯內(nèi)爾，學術界尚有爭議。,R. Descartes (1596-1650),案例 3 牛刀小試,費馬 費馬對笛卡兒的折射定律進行了攻擊。錯誤的推導怎么會得出正確的結(jié)論呢？直到24年后的1661年，費馬才利用他的最小時間原理才導出了折射定律。,P. Fermat (1601-1665),案例 3 牛刀小試,萊布尼茨（1684） 萊布尼茨在他的第一篇微積分論文中，小試

15、牛刀，給出了微分的一個應用：在兩種媒質(zhì)中分別有點P和Q，光從P出發(fā)到達Q，界面上入射點O 位于何處，光用時最短？,G. W. Leibniz(1646-1716),,案例 3 牛刀小試,萊布尼茨：“熟悉微積分的人能夠如此魔術般地處理的一些問題，曾使其他高明的學者百思而不得其解！”,案例4 史海拾貝,,洛必達：《無窮小分析》中的問題,數(shù)學文化與數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角,2 一條進路,在數(shù)學教學中，我們總

16、是在不斷地回答“為什么”。為什么等腰三角形兩底角相等？（驢橋定理）為什么 是無理數(shù)？（不可公度量的發(fā)現(xiàn)）為什么 ？（均值不等式）為什么正整數(shù)和（正）偶數(shù)是一樣多的？（實無窮）為什么函數(shù) 是奇函數(shù)？,2 一條進路,為什么要將圓周分成360度？（即，為什么在角度制里，要將圓周的1/360作為度量角的單位？）為什么 ？為什么平面直角坐標

17、系將平面所分成的四個部分叫“象限”？為什么將冪指數(shù)稱為“對數(shù)”？為什么某些函數(shù)被稱為“奇函數(shù)”和“偶函數(shù)”？為什么稱未知數(shù)為“元”？,2 一條進路,? 1年＝360天；? 60 進制；? 迦勒底人將黃道圓分成12宮，每一宮分成30等分；? Hypsicles (c. 180 B.C.) 將黃道圓分成360等分；? 托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大成》中使用60進小數(shù)，將圓周分成360度，每1度分成6

18、0小部分（分），每一小部分再分為60個小部分（秒），等等。,為什么要將圓周分成360度？,以色列馬賽克：黃道十二宮圖（6世紀）,,2 一條進路,,,2 一條進路,為什么將冪指數(shù)稱為“對數(shù)”？許凱（N. Chuquet, 1445-1488）《算學三部》 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576 0 1 2 3 4

19、 5 6 7 8 9 … 204對應的數(shù)16自乘，等于8對應的256；7對應的128乘以9對應的512，等于16對應的65536。,2 一條進路,施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《藝術新作》（1521） 0 1 2 3 4 5 … 16 1 2

20、 4 8 16 32 … 65536第二個數(shù)列中兩數(shù)的乘積對應于第一個數(shù)列中兩數(shù)的和。第二個數(shù)列中三數(shù)的乘積對應于第一個數(shù)列中三數(shù)的和。第二個數(shù)列中平方數(shù)的開方對應于第一個數(shù)列中偶數(shù)除以2。第二個數(shù)列中某數(shù)開立方對應于第一個數(shù)列中某數(shù)除以3。,2 一條進路,斯蒂菲爾（M. Stifel, 1487～1567）《整數(shù)算術》（1544） 0 1 2

21、3 4 5 6 7 8 … 1 2 4 8 16 32 64 128 256 …等差數(shù)列中的加法對應于等比數(shù)列中的乘法；等差數(shù)列中的減法對應于等比數(shù)列中的除法；等差數(shù)列中的簡單乘法對應于等比數(shù)列中的乘方；等差數(shù)列中的除法對應于等比數(shù)列中的開方。,2 一條進路,克拉維斯(C. Cla

22、vius, 1538-1612)《實用算術概論》(1583) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的兩倍；

23、8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。,,2 一條進路,納皮爾（J. Napier, 1550～1617）,Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614): Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti aequales servant diferentias. (Logarithms are

24、 numbers which correspond to proportional numbers and have equal differences.),2 一條進路,薛鳳祚（?～1680）《比例對數(shù)表》(1653),《數(shù)理精蘊》：“對數(shù)比例，乃西士若往·訥白爾所作。以借數(shù)與真數(shù)對列成表，故名對數(shù)表?！浞ㄒ约哟耍詼p代除，以加倍代自乘，故折半即開平方。以三因代再乘，故三歸即開立方。推之至于諸乘方，莫不皆以假數(shù)相乘而

25、得真數(shù)。蓋為乘除之數(shù)甚繁，而以假數(shù)代之甚易也?！?2 一條進路,為什么等差數(shù)列被稱為算術數(shù)列（Arithmetic Progression），等比數(shù)列被稱為幾何數(shù)列（Geometric Progression） ？,2 一條進路,數(shù)學歸納法（Mathematical Induction）之名是如何來的 ？,數(shù)學文化與數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角,3 一縷書香,薩頓 Isis (1913)《科學史引論》

26、(1927-1947)《科學史與新人文主義》（1931）《數(shù)學史研究》 (1936)《科學史研究》（1936）,G. Sarton（1884-1956）,,3 一縷書香,Charles du Cange (1610-1688)法國歷史學家、語言學家,James George Frazer (1854-1941)蘇格蘭考古學家,3 一縷書香,薩頓 在科學和人文之間只有一座橋梁，那就是科學史。建造這座橋梁是我們這個時代的

27、主要文化需要。,3 一縷書香,同樣，在數(shù)學和人文之間也只有一座橋梁，那就是數(shù)學史。,3 一縷書香,“人生之意義在于研究日、月、天?！?放棄財產(chǎn)、追求真理、身陷囹圄、鐵窗下仍在研究化圓為方問題的古希臘數(shù)學家阿那克薩哥拉,Anaxagoras (499B.C.-428B.C.),,3 一縷書香,暅之字景爍，少傳家業(yè)，究極精微，亦有巧思。入深之妙，般、倕無以過也。當其詣微之時，雷霆不能入。嘗行遇仆射徐勉，以頭觸之，勉呼乃悟。父所改何

28、承天歷時尚未行，梁天監(jiān)初，暅之更修之，于是始行焉。位至太舟卿?！鲜?#183;文學傳,,,,,,,,16世紀法國數(shù)學家拉繆斯，少時家貧，祖父是燒炭的，父親是個卑微的農(nóng)夫。12歲時，拉繆斯作為一位富家子弟的仆人進入巴黎的Navarre學院，白天伺候主人，黑夜挑燈苦學，9年后竟獲碩士學位！他的碩士論文是《亞里士多德所說的一切都是錯的》！,3 一縷書香,Peter Ramus （1515-1572）,3 一縷書香,每天只花4小時睡覺

29、、2小時吃飯休息、18小時學習學習、做研究的16世紀英國數(shù)學家約翰·第,John Dee（1527 – 1609）,3 一縷書香,為了研究數(shù)學，常常三天三夜不出房門的韋達,F. Viète (1540- 1603),3 一縷書香,吾先正有言：“一物不知，儒者之恥?！苯翊艘患乙咽?，為其學者，皆暗中摸索耳。既遇此書，又遇子不驕不吝，欲相指授，豈可畏勞玩日，當吾世而失之！嗚呼，吾避難，難自長大；吾迎難，難自消微。必成

30、之。,,Matteo Ricci (1552-1610)Seu Kuang-ke (1562-1633),3 一縷書香,在墨水結(jié)冰的冬夜，依然勤學不怠的索菲· 熱爾曼,Sophie Germain（1776-1831）,3 一縷書香,華里司 人活著既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快樂給人生的酒杯加點糖。,W. Wallace (1768-1843),3 一縷書香,J. H. Fabre (1823-19

31、15),法布爾：牛頓二項式定理,,,,,,3 一縷書香,“自任國會議員以來，他學習并幾乎精通了《幾何原本》前6卷。他開始學習這門嚴密的學科，為的是提高他的能力，特別是邏輯和語言的能力。因此他酷愛《幾何原本》，每次巡行，他總是隨身攜帶它；直到能夠輕而易舉地證明前六卷中的所有命題為止。他常常學到深更半夜，枕邊燭光搖曳，而同事們的鼾聲卻已此起彼伏、不絕于耳?！?(1860年總統(tǒng)候選人簡介),A. Lincohn (1809-1865),

32、3 一縷書香,托馬斯·霍布斯 40歲時開始學習幾何。,Thomas Hobbes (1588-1679),3 一縷書香,如果你要成為一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必須對一切事情至少都懷疑一次。 ——笛卡兒《方法論》,3 一縷書香,樹蔭下放著一卷詩章一瓶葡萄美酒，一點干糧有你在這荒原中傍我歡歌荒原呀，啊，便是天堂 ——《魯拜集》,Omar Khayyam (1

33、048 -1122),3 一縷書香,壬叔云：昔年同艾約瑟至杭，乘輿往游天竺，為將軍所見。時西人無至杭者，閭閻皆為驚詫。將軍特諭仁和縣往詢，縣令希上意，立逐艾君回滬，而將壬叔發(fā)回本州。壬叔因獻詩州守，曰： 游山不合約波臣， 奉遣還鄉(xiāng)判牘新。 刺史風流公案雅， 遞回湖上一詩人。 州守見之大喜，立贈 以金遣之?！锻蹴w日記》,▲李善蘭 (1811-1882),? J. Edki

34、ns (1823-1905),3 一縷書香,●王蒙：生命的“意義原則” 與無限長遠的永恒與無限遼闊的宇宙相比較，人類特別是人類個體就渺小得可以不計了。,●史密斯：數(shù)學上的“無窮之燈”數(shù)學是人類探索宇宙的工具，它揭示了我們在浩瀚宇宙中的位置，它讓我們看到，我們自身不過是宇宙中的一粒微塵。我們的懷疑、信念、希望和恐懼都是微不足道的，都是無窮小量，就如太陽系里失去的一個電子一般。,數(shù)學文化與數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香

35、 一種視角,數(shù)學文化與數(shù)學教學,●假如我們把自然看做我們的向?qū)В菦Q不會把我們領入歧途的。,西塞羅M. T. Cicero (106 BC-43 BC),數(shù)學文化與數(shù)學教學,● 自然從容易的進到較難的。 教材應如此排列，使學生知道最靠近他們心眼的事物，然后去知道不大靠近的，隨后去知道相隔較遠的，最后才去知道隔得最遠的?！褡匀徊恍约?，它只慢慢前進。 假如一切事情都按學生的能量去安排，這種能量自然就會同學習與年齡

36、一同增長?！?自然不強迫任何事物去進行非它自己的成熟了的力量所驅(qū)使的事。 無論什么事情，除非不僅是青年人的年齡與心理的力量所許可，而且真是它們所要求的，都不應該教他們。,夸美紐斯J. A. Comenius (1592-1670),數(shù)學文化與數(shù)學教學,●符合自然發(fā)展規(guī)律的教學；●由近及遠、由簡到繁、由易到難、由已知到未知的教學原則,第斯多惠A. Diesterweg（ 1790-1866）,數(shù)學文化與數(shù)學教學,●兒童所

37、受教育必須在方式和安排上同歷史上人類的教育一致。 ●一般教起來使人覺得枯燥甚至討厭的知識部門，依照自然的方法就成為極其有趣和非常有益的。,斯賓塞H. Spencer (1820-1903),數(shù)學文化與數(shù)學教學,王勇平經(jīng)典語錄“至于你信不信，我反正信了”問：現(xiàn)場指揮部多次證實現(xiàn)場已經(jīng)沒有生命體征，為什么最后還會發(fā)現(xiàn)那個幸存的小女孩。答：這是一個生命的奇跡。問：為何車體被就地掩埋，是不是為了掩蓋證據(jù)？答：當時現(xiàn)場搶險環(huán)境非常復

38、雜……所以他們把車頭埋在下面，蓋上土，主要是便于搶險。他們給出的解釋是這樣，至于你們信不信，我反正是信的。,案例5 追求自然,,? 梅內(nèi)克繆斯 (Menaechmus, 380 B.C. - 320 B.C.) 首次發(fā)現(xiàn)三種圓錐曲線及其基本性質(zhì)。,案例5 追求自然,橢圓的歷史及其重構,,,? 阿波羅尼斯(Apollonius, ca.262 B.C. - ca.190 B.C. )將橢圓定義為圓錐被平面斜截所得的截線，并得出它的基本

39、性質(zhì)。,,案例5 追求自然,,? 阿波羅尼斯利用多個命題推導出橢圓的焦半徑性質(zhì)。,,,案例5 追求自然,,? 帕普斯（Pappus, 4世紀）發(fā)現(xiàn)了橢圓的焦點－準線性質(zhì)（很可能已經(jīng)為歐幾里得所知）。,案例5 追求自然,? 笛卡兒（R. Descartes, 1596-1650）在《幾何學》中建立了古希臘的三線和四線軌跡（圓錐曲線）的方程，激發(fā)了人們對圓錐曲線作圖法的探求。,案例5 追求自然,,荷蘭數(shù)學家舒騰(F. van Sch

40、ooten, 1615-1660)設計了橢圓的三種作圖工具。,案例5 追求自然,案例5 追求自然,中國科技館數(shù)學之魅橢圓作圖工具,,法國數(shù)學家洛必達（M. de L’Hospital, 1661-1704）在《圓錐曲線分析》 (1720) 中將橢圓定義為平面上到兩定點距離之和等于定長的動點軌跡。,案例5 追求自然,? 1822年, 比利時數(shù)學家旦德林（G. P. Dandelin, 1794-1847）利用圓錐的兩個內(nèi)切球?qū)?/p>

41、出了橢圓的焦半徑性質(zhì)，在橢圓的古希臘截線定義和17世紀軌跡定義之間架起一座橋梁！,案例5 追求自然,案例5 追求自然,案例5 追求自然,案例5 追求自然,問題1：球在斜射陽光下影子的邊界是什么曲線？,● 引入,問題2：觀察美國舊金山現(xiàn)代美術館建筑，圓柱被平面斜截所 得的截口是什么曲線？,● 引入,案例5 追求自然,問題3：觀察美國俄亥俄州克里夫蘭自然史博物館建筑，圓錐被

42、平面斜截所得的截口是什么曲線？,● 引入,案例5 追求自然,問題4：觀察圓柱形玻璃棒傾斜時的水面，什么形狀？,案例5 追求自然,● 橢圓的定義,(1)回顧過圓外一點有且只有兩條切線，其切線長相等；(2)擴展到過球外一點有多少條切線？這些切線長有什么關系？,案例5 追求自然,,(3) 把乒乓球放在水平桌面上，問：球和桌子有幾個公共點？他們的位置關系是？(4) 把乒乓球放在透明圓柱里（球的半徑和圓柱底面半徑相同），問：球與圓柱之

43、間的位置關系？,● 橢圓的定義,案例5 追求自然,(5) 利用幾何畫板和教具推導橢圓的焦半徑性質(zhì)；(6) 將上述性質(zhì)作為橢圓的定義；,● 橢圓的定義,案例5 追求自然,,,(7) 推導橢圓的標準方程。,課后思考：若焦點在y軸上，橢 圓的方程是什么？,● 橢圓的方程,案例5 追求自然,案例6 創(chuàng)造動機,,案例6 創(chuàng)造動機,我敢說，這（切線問題）是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問題。,案例6 創(chuàng)造動