大學(xué)物理力學(xué)-chapter-3

1、1,剛體力學(xué)基礎(chǔ),2,剛體運(yùn)動(dòng)概述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,3,剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．(任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組．),剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)．,4,剛體和質(zhì)點(diǎn)一樣是一種理想模型； 剛體以看成是由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)組； 剛體無(wú)論在多大的力作用下或剛體無(wú)論作何運(yùn)動(dòng)，剛體中任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變。,5,平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同．,特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如：

2、 等都相同．,6,說明,剛體作平動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)的軌跡可以是直線，也可以是曲線；,剛體作平動(dòng)時(shí)，剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都具有相同的位移、速度和加速度；,剛體的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)可用一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述；通常用剛體的質(zhì)心。,,7,轉(zhuǎn)動(dòng)：分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng),,剛體的平面運(yùn)動(dòng),8,剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作：,9,自由度：確定一個(gè)物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。,剛體的自由度,火車：自由度為1,飛機(jī)：自由度為3,輪船：自由度為2,,,,剛體的自由度

3、,,,,x,y,z,O,,,3個(gè)平動(dòng)自由度 (x，y，z) 。,確定質(zhì)心C的位置:,3個(gè)方位角 (a，b，g )，其中兩個(gè)是獨(dú)立的。,確定剛體繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)過的角度j 。,i = 3+2+1= 6,當(dāng)剛體受到某些限制——自由度減少。,10,剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各質(zhì)點(diǎn)都繞固定軸作圓周運(yùn)動(dòng)，在任意時(shí)刻其上各質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度(線量)各不相同。,11,沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),一 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度,角位移,角坐標(biāo),,沿

4、順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),<,0,q,,角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,12,,,,,角加速度,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(一維轉(zhuǎn)動(dòng))的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正、負(fù)來(lái)表示.,13,(1) 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng) 平面；,(2) 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但 不同；,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn),(3) 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)角坐標(biāo)．,14,二 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式,當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度　=常量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)．,1

5、5,三 角量與線量的關(guān)系,,,,,,16,例1　在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動(dòng)機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．開始起動(dòng)時(shí)，角速度為零．起動(dòng)后其轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化關(guān)系為： 式中 ．求：(1)t=6 s時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速．(2)起動(dòng)后，電動(dòng)機(jī)在 t=6 s時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．(3)角加速度隨

6、時(shí)間變化的規(guī)律．,17,(2) 電動(dòng)機(jī)在6 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為,解 (1) 將 t=6 s 代入,(3) 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為,18,例2　在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)．開始時(shí)，它的角速度 　，經(jīng)300 s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18 000 r·min-1 ．轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比．問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？,解 令 ，即

7、 ，積分,得,19,當(dāng) t =300 s 時(shí),20,由,得,在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù),21,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,22,: 力臂,對(duì)轉(zhuǎn)軸 z 的力矩,一　力矩,用來(lái)描述力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)作用．,23,,,O,,,,,（1）若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量,其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩,24,（2）合力矩等于各分力矩的矢量和,（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消．,,,,25

8、,例1 有一大型水壩高110 m、長(zhǎng)1 000 m ,水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示. 求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過大壩基點(diǎn) Q 且與 x 軸平行的力矩 .,26,解 設(shè)水深h，壩長(zhǎng)L，在壩面上取面積元 ，作用在此面積元上的力,y,O,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,h,x,,,,,,,,,,,y,,,,,,,,,,,L,27,令大氣壓為 ，則,代入數(shù)據(jù)，得,y

9、,O,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,h,x,,,,,,,,,,,y,,,,,,,,,L,,,28,,,,Q,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,O,,,,,,,,,,y,,,,h,,對(duì)通過點(diǎn)Q的軸的力矩,代入數(shù)據(jù)，得：,29,二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,,（1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接,30,（2）剛體,質(zhì)量元受外力 ，內(nèi)力,外力矩,內(nèi)力矩,31,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成

10、反比.,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,32,,,,討論,（1）,（2）,（3） =常量,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,33,本次課內(nèi)容,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理剛體運(yùn)動(dòng)功能關(guān)系剛體運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量定理,,34,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,35,三　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,J 的意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 .,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：kg·m2,,36,質(zhì)量離散分布,J 的計(jì)算方法,質(zhì)量連續(xù)分布,：質(zhì)量元,：體積元,37,任取一半徑為r，寬度dr的圓環(huán)。,,,,薄圓盤可

11、以看成是許多半徑不同的同心圓環(huán)的集合。,圓環(huán)對(duì)過盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,試求半徑為R ，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓盤，對(duì)過盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,,,解,例1,則整個(gè)圓盤對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,薄圓盤的質(zhì)量面密度,圓環(huán)的質(zhì)量為:,38,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：,（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)．,（1）與剛體的體密度 有關(guān)．,（2）與剛體的幾何形狀(及體密度 的分布)有關(guān)．,說 明,39,四 平行軸定理,質(zhì)

12、量為 的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，則對(duì)任一與該軸平行，相距為 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,40,質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒繞其一端的J,圓盤對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,,41,竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？,飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？,42,(2) 為瞬時(shí)關(guān)系．,(3) 轉(zhuǎn)動(dòng)中 與平動(dòng)中 地位相同．,(1) , 與 方向相同．,說明,轉(zhuǎn)動(dòng)定

13、律應(yīng)用,43,例2 質(zhì)量為mA的物體A 靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB 的物體B上，B 豎直懸掛．滑輪與繩索間無(wú)滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)．(1)兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2) 物體 B 從靜止落下距離 y 時(shí)，其速率是多少？,44,解 (1) 用隔離法分別對(duì)各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系．,,,

14、,,,,,,,A,B,C,45,,46,,解得：,47,如令 ，可得,（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率,,48,穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動(dòng)．試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)的角加速度和角速度．,例3　一長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)．由于此豎直放置的細(xì)桿處于非,,,,,m,l,O,,mg,,θ

15、,49,解 細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得,式中,得,,,,,m,l,O,,mg,,θ,,50,由角加速度的定義,對(duì)上式積分，利用初始條件，,,,,,m,l,O,,mg,,θ,,解得：,有,END,51,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能關(guān)系,52,力的空間累積效應(yīng)： 力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理．,,53,力矩的功：,一　力矩作功,,,,,,,,,,,,,,比較,54,二　力矩的功率,比較,三　轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)

16、能,55,討論,剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能就是組成剛體所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和；,與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能相比較，可看出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的地位對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m，說明J是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。,56,四　剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,——?jiǎng)傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,比較,57,以子彈和沙袋為系統(tǒng),動(dòng)量守恒；,角動(dòng)量守恒；,機(jī)械能不守恒 .,,子彈擊入沙袋,細(xì)繩質(zhì)量不計(jì),,58,以子彈和桿為系統(tǒng),機(jī)械能不守恒．,角動(dòng)量守恒；,動(dòng)量不守恒；,,59,圓錐擺,圓錐擺系統(tǒng)

17、,動(dòng)量不守恒；,角動(dòng)量守恒；,機(jī)械能守恒．,,60,例1 留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：(1)唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩； (2)唱片達(dá)到角速度 時(shí)需要多長(zhǎng)時(shí)間；(3)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動(dòng)力矩做了多少功？,61,,,,,,,R,r,dr,dl,,,o,解 (1) 如圖取面積元ds = dr

18、dl，該面元所受的摩擦力為,此力對(duì)點(diǎn)o的力矩為,62,于是，在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為,,,,,,,R,r,dr,dl,,,o,63,(3) 由 可得在 0 到 t 的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角度為,(2) 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求 ，(唱片J=mR2/2),（作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)）,驅(qū)動(dòng)力矩做的功為,由 可求得,64,例2 一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量

19、為m 的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)．一質(zhì)量為m’、速率為v 的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o . 問子彈的初速率為多少?,解　子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒,65,射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，E =常量．,解得：,66,,剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理只適用于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。,討論,剛體中一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和為,內(nèi)力的功不影響剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。,67,若以hC表示質(zhì)心到零勢(shì)能面的高度，則剛體的重力勢(shì)能為,剛體重力勢(shì)能與

20、其質(zhì)量全部集中在質(zhì)心上的質(zhì)點(diǎn)具有的重力勢(shì)能相同。,以xOy 平面為重力勢(shì)能零參考面,剛體的重力勢(shì)能,對(duì)剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能求和,,結(jié)論：,68,剛體的力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能,（系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律）,對(duì)含有剛體的力學(xué)系統(tǒng)，若在運(yùn)動(dòng)過程中，只有保守內(nèi)力作功，而外力和非保守內(nèi)力都不作功，或作功的總和始終為零，則該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。,當(dāng) A外 + A非保內(nèi) = 0 時(shí)，有,69,力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能應(yīng)包括,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、重力勢(shì)能，彈性勢(shì)能； 平動(dòng)剛體

21、的平動(dòng)動(dòng)能、重力勢(shì)能； 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、重力勢(shì)能，即,70,剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律,71,72,,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 和角動(dòng)量守恒定律,,,,,1　剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量,,,,73,對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體　 ，,2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin ),合外力矩,74,非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理,對(duì)定軸轉(zhuǎn)的剛體，受

22、合外力矩M，從 到 內(nèi)，角速度從 變?yōu)?，積分可得：,當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時(shí)，作用在物體上的沖量矩等于角動(dòng)量的增量．——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理,75,3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律,如果物體所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物體的角動(dòng)量保持不變．——角動(dòng)量守恒定律,76,角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.,內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.,守恒條件,若 不變， 不變；若 變， 也變，但

23、 不變.,77,許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說明.,花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水,78,自然界中存在多種守恒定律,動(dòng)量守恒定律能量守恒定律角動(dòng)量守恒定律,電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律等,79,例3 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿，可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行．設(shè)小蟲與細(xì)桿的

24、質(zhì)量均為m．問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?,80,解　蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒,81,由角動(dòng)量定理,考慮到,得,此即小蟲需具有的爬行速率．,82,例4　一雜技演員M由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來(lái)．問演員N可彈起多高?,83,設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為m．假定演員M落在蹺板上，與蹺板的

25、碰撞是完全非彈性碰撞．,解　碰撞前M落在 A點(diǎn)的速度,碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度,84,M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒,,,,,,,,l,l/2,C,A,B,M,N,h,,,,,85,解得,演員N以u(píng)起跳，達(dá)到的高度：,86,第三章小結(jié),1.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述,(1) 角坐標(biāo)?,(2) 角速度?,(3) 角加速度?,,87,(4) 線量和角量的關(guān)系,(5) 勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng),2. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量------剛