gs2向量代數(shù)與空間幾何123

1、,§1　向量的概念及向量的表示,一、向量的基本概念,1.向量:既有大小,又有方向的量,稱(chēng)為向量.(或矢量),2.向量的幾何表示法: 用一條有方向的線段來(lái)表示向量.,以線段的長(zhǎng)度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.,(一)　向量的概念,3.自由向量,自由向量：只有大小、方向,而無(wú)特定起點(diǎn)的向量. 具有在空間中可以任意平移的性質(zhì).,大小相等且方向相同,,特別: 模為1的向量稱(chēng)為單位向量.,模為0的向量稱(chēng)為零

2、向量.它的方向可以看作是任意的.,1、向量加法,(1) 平行四邊形法則,設(shè)有　　(若起點(diǎn)不重合, 可平移至重合). 作以　　為鄰邊的平行四邊形, 對(duì)角線向量, 稱(chēng)為　　的和, 記作,,(2) 三角形法則,,將　　之一平行移動(dòng),使　　的起點(diǎn)與　的終點(diǎn)重合, 則由 的起點(diǎn)到　的終點(diǎn)所引的向量為,(二)　向量的加減法,2.向量加法的運(yùn)算規(guī)律.,(1)交換律:,(2)結(jié)合律:,例如:,,3.向量減法.,,(1)負(fù)向量:與　模相同而方向相反的

3、向量, 稱(chēng)為　的負(fù)向量.記作,(2)向量減法.,規(guī)定:,平行四邊形法則.,將　　之一平移, 使起點(diǎn)重合, 作以　　　為鄰邊的平行四邊形, 對(duì)角線向量, 為,三角形法則.,將　　之一平移, 使起點(diǎn)重合, 由　的終點(diǎn)向　的終點(diǎn)作一向量, 即為,1. 定義,實(shí)數(shù)?與向量　的　　　為一個(gè)向量.,其中:,當(dāng)? > 0時(shí),,當(dāng)? < 0時(shí),,當(dāng)? = 0時(shí),,2. 數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算規(guī)律:,(1) 結(jié)合律:,(2) 分配律:,,(三)

4、 數(shù)與向量的乘法,結(jié)論: 設(shè)　表示與非零向量　同向的單位向量.,則,或,(方向相同或相反),例1:在平行四邊形ABCD中, 設(shè)AB=　　,AD =,試用　　　表示向量MA,MB,MC和MD.,其中, M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn).,,,,,,,1. 點(diǎn)在軸上投影,設(shè)有空間一點(diǎn)A及軸u, 過(guò)A作u軸的垂直平面?,平面?與u軸的交點(diǎn)A'叫做點(diǎn)A在軸u上的投影.,,,,,A',A,u,?,(四)　向量在軸上的投影,2. 向量

5、在軸上的投影.,定義,如果向量e為與軸u的正方向的單位向量，,,則稱(chēng) x 為向量 AB 在軸u上的投影，記作,,,,顯然,,||,||,,當(dāng) 與u軸同向時(shí)，,,當(dāng) 與u軸反向時(shí)，,,||,||,,3. 兩向量的夾角,規(guī)定：,正向間位于0到?之間的那個(gè)夾角為　　的夾角,,記為　　　或,,(1) 若　　同向，則,,(3) 若　　不平行，則,,4. 向量的投影性質(zhì).,,定理3: 兩個(gè)向量的和在軸u上的投影等于兩個(gè)向量在　　

6、該軸上的投影的和。,推論:,即,,即,定理4: 實(shí)數(shù)?與向量　的乘積在軸u上的投影，　　等于?乘以向量　在該軸上的投影。,二. 空間直角坐標(biāo)系與空間向量的坐標(biāo)表示,1. 空間直角坐標(biāo)系的建立,o,z,x,y,x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,又稱(chēng)笛卡爾(Descarstes)坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).,,(一) 　空間直角坐標(biāo)系,2. 坐標(biāo)面.,由三條坐標(biāo)軸的任意兩條確定的平面, 稱(chēng)為坐標(biāo)面, 分別叫

7、x y面. y z面、z x面, 它們將空間分成八個(gè)卦限.,1. 點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示.,R,Q,P,<,記: 點(diǎn)M為M (x, y, z),,,,(二) 空間向量的表示,(1) 若點(diǎn)M在yz面上, 則 x = 0; 在zx面上, 則 y = 0; 在xy面上, 則 z = 0.,(2) 若點(diǎn)M在 x 軸上, 則 y = z = 0,在 y 軸

8、上, 則 x = z = 0,在 z 軸上, 則 x = y = 0,特別:,2.空間向量的坐標(biāo)表示,設(shè)點(diǎn) M (x, y,z),以 i, j, k分別表示沿x, y, z軸正向的單位向量, 稱(chēng)為基本單位向量.,由于：,從而：,(2). 起點(diǎn)不在原點(diǎn)O的任一向量 a = M1M2,,設(shè)點(diǎn) M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2),= (x2 i+ y2 j + z2 k) ? (x1 i + y

9、1 j + z1 k),= (x2 ? x1) i + (y2 ? y1) j + (z2 ? z1) k,即 a = (x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1) 為向量a的坐標(biāo)表示式,記 ax = x2 ? x1 , ay = y2 ? y1 , az = z2 ? z1,分別為向量 a 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影, 稱(chēng)為a的坐標(biāo).,,,a = M1M2 = (x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1),

10、,,兩點(diǎn)間距離公式：,由此得,(2),(3),(3). 運(yùn)算性質(zhì),設(shè) a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且?為常數(shù),a ? b = (ax ? bx , ay ? by , az ? bz ),? a = (?ax , ?ay , ?az),證明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k),= (ax i + bxi ) +(ay j+ by

11、 j) + (az k + bz k),= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k,? a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz ),(4) 兩向量平行的充要條件.,設(shè)非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz),,即ax =?bx, ay =?by, az =?bz,,于是,例如：(4, 0, 6) // (2, 0, 3),

12、1. 方向角: 非零向量a 與x, y, z 軸正向夾角?, ?, ? 稱(chēng)為a 的方向角.,2. 方向余弦: 方向角的余弦 cos?, cos?, cos? 稱(chēng)為方向余弦.,3. 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式,設(shè)a =(ax, ay, az,),(三) 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式,又：,(4),(5),,由(5)式可得,cos2? +cos2? +cos2? = 1,(6),設(shè)ao是與a同向的單位向量,ao,= (c

13、os? , cos? , cos? ),(7),例2. 已知兩點(diǎn)M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 計(jì)算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.,,例3: 在z軸上求與兩點(diǎn) A(?4, 1, 7) 和B(3, 5, ?2)等距離的點(diǎn).,解: 設(shè)該點(diǎn)為M(0, 0, z),由題設(shè) |MA| = |MB|.,即:,解得:,所求點(diǎn)為 M (0, 0, ),例4 證明以M1(4, 3, 1),

14、M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.,解:,由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 ?M1 M2 M3 是等腰三角形.,§2　向量的數(shù)量積.向量積及混合積,一、 向量的數(shù)量積,例如: 設(shè)力F 作用于某物體上, 物體有一段位移S , 　　求功的表示式.,解: 由物理知, 與位移平行的分力作功, 與位移垂直的分力不作功. 于是,W=|F |cos? ? |S | =

15、|F | |S | cos?,,設(shè)有兩個(gè)向量 a、b, 它們的夾角為?,,即: a ? b = |a| |b| cos?,1. 定義1:,注1: 當(dāng) a ? 0時(shí), | b | cos? = Prjab,當(dāng) b ? 0時(shí), | a |cos? = Prjba,,于是　　a ? b = |a| ? Prjab = |b| ? Prjba,注2:　　a ? a = | a |2,例如:　　i ? i

16、= j ? j = k ? k = 1,a ? b = |a| |b| cos?,(1) 交換律 a ? b = b ? a,(2) 分配律 (a + b) ? c = a ? c + b ? c,(3) 數(shù)量積滿足如下結(jié)合律: (? a) ? b = a ? (? b) = ? (a ? b), ?為實(shí)數(shù),2. 數(shù)量積的性質(zhì),,(4) a ? a ? 0 ，,,a = 0,且a ?

17、a = 0,,a ? b = |a| |b| cos?,a ? b = |a| ? Prjab = |b| ? Prjba,證:　必要性:　設(shè)a ? b,,充分性: 設(shè)a ? b = | a | ? |b |cos? =0;,由a ?0, b ?0,,得: cos? =0 ,,即　　a ? b,例如: i、j、k 互相垂直, 所以,i ? j = j ? k = i ? k = 0,(5) 兩個(gè)非零向量a , b

18、垂直　a ? b = 0,,如圖, 利用數(shù)量積證明三角形的余弦定理,| c |2 = | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos?,證:,| c |2 = | a ? b |2 = (a ?b) ? (a ?b),= a ? a + b ? b ?2 a ? b,= | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos?,| c |2 = | a |2 + | b |2 ?2 | a | ?

19、 | b |cos?,故:,,,,a,b,c,,?,例1.,由于c = a ? b , 于是,3. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示式,設(shè) a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 則,a ? b = (ax i + ay j + az k ) ? (bx i + by j + bz k ),= ax i ? (bx i + by j + bz k ) + ay j ? (bx i + by j + bz

20、 k ) + az k ? (bx i + by j + bz k ),= ax bx i ? i + ax by i ? j + ax bz i ? k + ay bx j ? i +ay by j ? j + ay bz j ? k + az bx k ? i + az by k ? j + azbz k ? k,= ax bx + ay by + az bz,得公式:,a ? b = ax bx + ay by

21、 + az bz,(1),,推論: 兩個(gè)非零向量,a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直,ax bx + ay by + az bz = 0,,4. 數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用,設(shè) a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz),,(1) 求 a 在 b 上的投影.,Prjba = | a | ?,由 |a | |b | ? = a ? b , 得,

22、(2),已知:,(2) 求兩向量 a, b 的夾角,由 | a | | b |cos? = a ? b, 知,(3),已知三點(diǎn) M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求?AMB.,得:,所以,例2,解:,由力學(xué)規(guī)定: 力F 對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量M .,其中:,設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn), 有一個(gè)力F 作用于這杠桿上P點(diǎn)處, F 與OP的夾角為? , 考慮 F 對(duì)支點(diǎn) O 的力矩.,,例如:,二、兩向量的

23、向量積,(1) | c | = | a | | b | sin?,(2) c 與a、b所在的平面垂直, (即 c ? a且c ? b).,c 的指向按右手規(guī)則從 a 轉(zhuǎn)向 b 來(lái)確定.,則將向量c 稱(chēng)為 a 與 b 的向量積, 記作: a ? b.,即: c = a ? b,注: 向量積的模的幾何意義.,1. 定義1:,向量積的性質(zhì),(b + c) ? a = b ? a + c ? a,(? a) ?

24、b = a ? (? b) = ? (a ? b ), ?為實(shí)數(shù),| c | = | a | | b | sin?,必要性: 設(shè)a 、b 平行, 則 ? = 0或 ? = ?. 于是,| a ? b | = | a | | b |sin? = 0,所以 a ? b = 0,充分性: 設(shè) a ? b = 0,則 | a ? b | = | a | | b |sin? = 0,由 | a | ? 0

25、, | b | ? 0, 得,? = 0或 ? = ?. 所以 a 與 b 平行,證:,例如:,i ? i = j ? j = k ? k = 0,i ? j = k,j ? i = ? k k ? j = ? i i ? k = ? j,k ? i = j,j ? k = i,2、向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè) a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 則,a

26、? b = (ax i + ay j + az k ) ? (bx i + by j + bz k ),= ax i ? (bx i + by j + bz k ) + ay j ?(bx i + by j + bz k ) + az k ? (bx i + by j + bz k ),= ax bx (i ? i) + ax by ( i ? j ) + ax bz( i ? k ) + ay bx (j ? i) +

27、ay by ( j ? j ) + ay bz (j ? k ) + az bx (k ? i) + az by ( k ? j ) + azbz( k ? k ),= ax by k + ax bz(? j ) + ay bx(?k) + ay bz i + az bx j + az by(? i ),= ( ay bz ? az by) i+( az bx ? ax bz) j+ ( ax by ? ay bx) k,得公

28、式:,a ? b = ( aybz ? azby) i+( azbx ? axbz) j+ ( axby ? ay bx) k,求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.,a ? b 同時(shí)垂直于a、b,= 6i + 4j + 10k ? 8k ? 6j ? 5i,= i ? 2j + 2k,取 c = a ? b = (1, ?2 , 2).,顯然, 對(duì)于任意 ? ? 0?R, ?c = (?,?

29、2?, 2?) 也與a、b垂直.,例3:,解:,而,已知?ABC的頂點(diǎn)分別是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求?ABC的面積.,由向量積的定義.,所以,= 4i ? 6j + 2k,于是,例4:,解:,三、兩向量的混和積,,1.定義2,稱(chēng) ? 與? 的向量積? ?? 再與向量 ? 的數(shù)量積為向量?, ?, ?,的混合積，記作 [ ? ? ? ],設(shè)有三個(gè)向量?, ?, ?,,則有,2.混

30、合積的坐標(biāo)表示式,混合積性質(zhì)：,,(1),[ ? ? ? ] = [ ? ? ? ]= [ ? ? ? ],= – [ ? ? ? ]= – [ ? ? ? ] = – [ ? ? ? ],事實(shí)上，若? , ? , ? 在同一個(gè)平面上，則? ? ? 垂直于它們所在的平面，故? ? ? 垂直于 ? , 即,(? ? ? ) ? ? = 0,,(2) ? , ? , ? 共面 [ ? ? ? ]= 0,,混合

31、積(? ? ? ) ? ? 的絕對(duì)值等于以 ? , ? , ? 為棱的平行六面體的體積 V 的數(shù)值。,平行六面體,所以，,= |(? ? ? ) ? ? |,3、混合積 (? ? ? ) ? ? 的幾何意義,h,V = S ? h =,底面積,高 h 為 ? 在 ? ? ?上的投影的絕對(duì)值,a ? b = |a| ? Prjab,例5:,已知空間內(nèi)不在一個(gè)平面上的四點(diǎn) A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x