gs2向量代數(shù)與空間幾何34

1、三、兩向量的混和積,,1.定義2,稱 ? 與? 的向量積? ?? 再與向量 ? 的數(shù)量積為向量?, ?, ?,的混合積，記作 [ ? ? ? ],設有三個向量?, ?, ?,,則有,設向量? = (ax , ay , az),,? = (cx , cy , cz),,? = (bx , by , bz),,2.混合積的坐標表示式,混合積性質：,事實上，若? , ? , ? 在同一個平面上，則? ? ? 垂直于它們所在的平面

2、，故? ? ? 垂直于 ? , 即,(? ? ? ) ? ? = 0,,(2) ? , ? , ? 共面　　　[ ? ? ? ]= 0,,混合積(? ? ? ) ? ? 的絕對值等于以 ? , ? , ? 為棱的平行六面體的體積 V 的數(shù)值。,平行六面體,所以，,= |(? ? ? ) ? ? |,3、混合積 (? ? ? ) ? ? 的幾何意義,h,V = S ? h =,底面積,高 h 為 ? 在 ? ? ?上的投影的絕對值

3、,a ? b = |a| ? Prjab,例5:,已知空間內不在一個平面上的四點 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面體 ABCD 的體積。,解：,即,所以，,V =,其中行列式前的符號必須與行列式的符號一致。,§3　平面及其方程,(一) 平面的點法式方程,1.

4、法向量:,若一非零向量n垂直于一平面?. 則稱向量n為平面? 的法向量.,注: 1? 對平面?, 法向量n不唯一;,2? 平面? 的法向量n與? 上任一向量垂直.,一、平面方程,2. 平面的點法式方程,設平面? 過定點 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=(A,B, C).,得:,A(x ? x0) +B( y ? y0) +C( z ? z0) = 0,稱方程(1) 為平面的點法式方程.,(1),例1: 求過點(

5、2, ?3, 0)且以 n = (1, ?2, 3)為法向量的　　平面的方程.,解:　根據(jù)平面的點法式方程(1), 可得平面方程為:,1 ? (x ? 2) ? 2 ? (y + 3) + 3 ? (z ? 0) = 0,即: x ? 2y + 3z ? 8 = 0,解: 先找出該平面的法向量n.,= 14i + 9j ? k,例2: 求過三點M1(2, ?1, 4), M2(? 1, 3, ?2)和M3(0

6、, 2, 3) 的　　平面的方程.,所以, 所求平面的方程為:,14(x ? 2) + 9(y + 1) ? (z ? 4) = 0,即: 14x + 9y ? z ? 15 = 0,,即,(二) 平面的三點式方程,,,設平面與x, y, z 軸的交點依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三點,(三) 平面的截距式方程,則,有,得,(3),(四)平面的一般方程,1、定理1: 任何x, y

7、, z的一次方程. Ax +By +Cz 　　+D = 0都表示平面,且此平面的一個法向量是:,n = (A, B, C ),證: A, B, C不能全為0, 不妨設A ? 0, 則方程可以化為,它表示過定點 , 且 法向量為 n = (A, B, C ) 的平面.,注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (4),

8、稱為平面的一般方程.,例3:　已知平面過點M0(?1, 2, 3), 且平行于平面2x ?3y + 4z ?1= 0, 求其方程.,解: 所求平面與已知平面有相同的法向量n =(2 ?3, 4),2(x +1) ? 3(y ?2) + 4(z ? 3) = 0,即: 2x ? 3y + 4z ?4 = 0,2. 平面方程的幾種特殊情形,(1) 過原點的平面方程,由于O (0, 0, 0)滿足方程, 所以D = 0.

9、 于是, 過原點的平面方程為:,A x + B y + C z = 0,Ax +By +Cz +D = 0,(2) 平行于坐標軸的平面方程,考慮平行于x軸的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n =(A, B, C)與x 軸上的單位向量 i =(1, 0, 0)垂直, 所以,n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0,于是:,平行于x 軸的平面方程是

10、By + Cz + D = 0;,平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;,平行于z 軸的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特別: D = 0時, 平面過坐標軸.,(3) 平行于坐標面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;,平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0;,平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.,(即z = k),(即y = k),(即x =

11、k),例4: 求通過x 軸和點(4, ?3, ?1)的平面方程.,解: 由于平面過x 軸, 所以 A = D = 0.,設所求平面的方程是 By + Cz = 0,又點(4, ?3, ?1)在平面上, 所以,?3B ? C = 0,C = ? 3B,所求平面方程為 By ? 3Bz = 0,即: y ? 3z = 0,若已知兩平面方程是:,?1: A1x + B1y + C1z + D1

12、= 0,法向量 n1 = (A1, B1, C1),?2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,法向量 n2 = (A2, B2, C2),,1.定義1,兩平面的法向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.,二、兩平面的夾角,所以,平面?1與?2 相互平行,規(guī)定: 若比例式中某個分母為0, 則相應的分子也為0.,,平面?1與?2 相互垂直　　　A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0,,,特別:,例5: 一平面通過兩

13、點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, ?1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.,解: 設所求平面的一個法向量 n = ( A, B, C ),已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1, 1, 1),于是:,,A ? ( ?1) + B ? 0 + C ? (?2) = 0 A ? 1 + B ? 1 + C ? 1 = 0,解得:,,B=CA= ?2C,取C = 1, 得平面的一個法向量,n

14、 = (?2, 1, 1),所以, 所求平面方程是,?2 ? (x ?1) + 1 ? (y ?1) + 1 ? (z ?1) = 0,即: 2x ? y ? z = 0,M1(1, 1, 1) , M2(0, 1, ?1),設 P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一點, 求 P0到這平面的距離d.,在平面上任取一點P1(x1, y1, z1),過P0點作一法向量 n

15、=(A, B, C),于是:,,,三、點到平面的距離,又　A(x0?x1)+B(y0?y1)+C(z0?z1),= Ax0+By0+Cz0+D?(Ax1+By1+Cz1+D),= Ax0+By0+Cz0+D,所以, 得點P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距離:,(5),例6:求點A (1, 2, 1)到平面?:x + 2y +2z 　　?10=0的距離,,(一)空間直線的一般方程,已知平面?1: A1x + B1y + C1

16、z + D1 = 0,?2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,那末, 交線L上的任何點的坐標滿足:,A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0,,不在交線L上的點不滿足方程組(1),(1),稱方程組(1)空間直線的一般方程.,§4　空間直線及其方程,一. 空間直線的方程,空間直線可看成是兩個不平行平面　與　的交線,?1,?2,(二) 空間直線的對稱

17、式方程,而s 的坐標 m, n, p 稱為直線L的一組方向數(shù).,,,s,L,1.定義1,與空間直線L平行的向量 s = (m, n, p), 稱為該直線的方向向量.,2. 直線的對稱式方程,已知直線L過M0(x0, y0, z0)點,方向向量 s =(m, n, p),所以得比例式,(2),稱為空間直線的對稱式方程或點向式方程.,得:,,x = x0 + m ty = y0 + n tz = z0 + p t,稱為空間直線的參數(shù)方程

18、.,(3),(三) 空間直線的參數(shù)式方程,例1: 寫出直線,,x + y + z +1 = 02x ? y + 3z + 4 = 0,的對稱式方程.,解: (1) 先找出直線上的一點 M0(x0, y0, z0),令 z0 = 0, 代入方程組, 得,,x + y +1 = 02x ? y + 4 = 0,解得:,所以, 點　　　　　　在直線上.,(2) 再找直線的方向向量 s .,由于平面?1: x + y + z +1 =

19、0的法線向量 n1=(1, 1, 1),平面?2: 2x? y+3z+4 = 0的法線向量 n2=(2,?1, 3),,所以, 可取,= 4i ? j ? 3k,于是, 得直線的對稱式方程:,例2: 求通過點 A(2, ?3, 4)與 B(4, ?1, 3)的直線方程.,所以, 直線的對稱式方程為,解: 直線的方向向量可取 AB = (2, 2, ?1),,已知直線L1, L2的方程,s1 =(m1, n1, p1),s2 =(

20、m2, n2, p2),,定義2,兩直線的方向向量間的夾角稱為兩直線的夾角, 常指銳角.,二. 兩直線的夾角,1. L1與 L2的夾角? 的余弦為:,,3. L1平行于L2,,解: 直線L1, L2的方向向量 s1=(1, ? 4, 1 )　　　　　　　　　　　s2=(2, ? 2, ? 1),有:,所以:,例3:,當直線與平面垂直時, 規(guī)定夾角,已知: 直線的方向向量 s =( m, n, p ),平面的法向量 n =

21、( A, B, C ),那末,,,稱為L與平面? 的夾角.,定義3,直線L與它在平面?,上投影直線L?的夾角?,,三. 直線與平面的夾角,(1) L與? 的夾角? 的正弦為:,sin?,即: Am + Bn + Cp = 0,(2) L與? 垂直　　　s // n,,(3) L與? 平行　　　s與n垂直,,例4. 判定下列各組直線與平面的關系.,解: L的方向向量 s =(?2, ?7, 3),? 的法向量 n =

22、(4, ?2, ?2),s ? n = (?2) ? 4 + (?7) ? (?2) + 3 ? (?2) = 0,又M0(?3, ? 4, 0)在直線 L上, 但不滿足平面方程,,所以L與? 平行, 但不重合.,解: L的方向向量 s =( 3, ?2, 7 ),? 的法向量 n =( 6, ?4, 14 ),? L 與 ? 垂直.,解: L的方向向量 s =( 3, 1, ?4 ),? 的法向量 n

23、=( 1, 1, 1 ),s ? n = 3 ? 1 + 1 ? 1 + (?4) ?1 = 0,又L上的點 M0(2, ?2, 3)滿足平面方程,,所以 , L 與 ? 重合.,1. 點到直線的距離,例5. 求點p0(1, 2, 1)到直線,的距離d .,關鍵：求出 p1 的坐標,方法：過點p0作平面?與l垂直，設l與平面?的交點為p1，則線段 p0 p1 與 l 垂直。 p1即為垂足。,四. 點到直線的距離及平面束方程,解:

24、 (1) 直線 l 的方向向量 s = (2, 1, 1),過 p0(1, 2, 1), 以s為法向量作平面?,?: 2(x–1) + (y–2) + (z–1) = 0,即: 2x + y + z – 5 = 0,(2) 求 l 與 ? 的交點,將直線 l 方程寫出參數(shù)方程形式：,即 6t + 6 =0, t = –1, 交點 p1(0, 2, 3),2. 平面束方程,建立三元一次方程:,? : (A1x+B1y+C1z+D1

25、)+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3),,考查直線 l 與平面 ? 的關系：,(1) 直線 l 上的任何點p(x, y, z)滿足方程(1)、(2)，也滿足方程(3)。,故：方程(3)表示通過直線 l 的平面，且對于不同的? 值，方程(3)表示通過直線 l 的不同平面。,(2) 通過直線 l 的任何平面(除?2以外)都包含在方程(3)的一族平面內。,這是因為：對于直線 l 外任意一點p0(x0, y0,

26、z0),令：,,p0(x0, y0, z0),過直線 l 與點 p0 的平面為:,故：對于直線l, 方程(3)包含了(除?2外的)過直線l的全體平面。,: (A1x+B1y+C1z+D1 ) +?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3),定義：對于直線 l , 通過 l 的平面的全體稱為平面束。,解：過直線 l 的平面束方程為,(x + y – z ) + ?(x – y + z – 1) = 0,點p0(1, 1

27、, –1 )在平面上，代入方程，得,3 – 2? = 0,,所求平面為：,(x + y – z ) + (x – y + z – 1) = 0,即：5x – y + z – 3 = 0,例7 .求直線 l :,,x + y ? 1=0,,y + z + 1=0.,在平面 ? : 2x + y + 2z = 0,上的投影直線方程.,解：設投影直線為l'，則由l與l'決定的平面?'與平面?垂直。,過l 的平面