2011年上學期拓撲學考試試卷答案(b)

1、中南大學拓撲學考試試卷參考答案（B）20092010學年二學期拓撲學課程48學時，3.0學分，閉卷，總分100分，占總評成績70%時間:100分鐘專業(yè)年級：數(shù)學與應用數(shù)學2008級一、選擇題一、選擇題(將正確答案填入題后的括號內將正確答案填入題后的括號內每題每題3分，共分，共15分)1、B2、C3、A4、D5、C二、簡答題（每題二、簡答題（每題4分，共分，共2020分）分）1、空間1A答案：一個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基

2、，則稱這個拓撲空間是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.1A2、空間0T答案：設是一個拓撲空間，如果中的任意兩個不相同的點中必有一個點XX有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓撲空間是空間.X0T3、列緊空間答案：設是一個拓撲空間.如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓XX撲空間是一個列緊空間.X4、同胚映射答案：設和是兩個拓撲空間.如果是一個一一映射，并且和XY:fXY?f都是連續(xù)映射，則稱是一個同胚映射或同胚.1:fYX??f5、正

3、則空間答案：設是一個拓撲空間，如果中的任何一個點和任何一個不包含這個XX點的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.X三、判斷，并給出理由（三、判斷，并給出理由（2020分，每題分，每題5分，判斷分，判斷2分，理由分，理由3分）分）1、設是集合的兩個拓撲，則不一定是集合的拓撲()12TTX12?TTX答案:理由：理由：因為(1)是的拓撲，故，，從而12TTX1X??T2X??T；(2)對任意的，則有且，由于12X???TT

4、12AB??TT1AB?T2AB?T2、設為拓撲空間，證明是空間的充分必要條件是的每一獨點集都為()XTX1TX閉集.(10分)證明：證明：（必要性）設，，由為空間，故有y的開領域V，xX?cyx??()XT1T，所以，所以為開集，從而為閉集。..stxV?cVx?cxx（充分性）設，由條件知為閉集，故，xyXxy???xycxUy??U，，所以為空間。cyVx??U..stxVyU??()XT1T3、設是兩個拓撲空間，是一個連續(xù)映射.

5、如果是一個緊致空間，XY:fXY?X證明是的一個緊致子集.(10分)()fXY證明：證明：設是的一個由中的開集構成的覆蓋.對于任意，是A()fXYC?A1()fC?中的一個開集，由于從而有：XcCX???A111()()(())CCfCfCffXX??????????AA所以是的開覆蓋.由于是緊致空間，所以有一個有限1=()|fCC??1AAXX1A子覆蓋，設為.111()()nfCfC???因為，從而，即11111()()()nnfC