簡易拓撲學

1、有一種只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮他們尺寸大小的新幾何學，叫做拓撲學。有時人們也稱它是橡皮膜上的幾何學。因為橡皮膜上的圖形，隨著橡皮膜的拉動，其長度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化，但也有一些圖形的性質(zhì)保持不變。例如點變化后還是點，線變化后依舊是線；相交的圖形決不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交！拓撲學正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變的性質(zhì)。在這種幾何中，扭曲和拉長（但不包括撕開和接合）稱為拓撲變換。圖形在拓撲變換下保持

2、不變的性質(zhì)，稱為圖形的拓撲性質(zhì)。三角形和圓使兩種截然不同的圖形，但他們都是簡單的封閉曲線。在拓撲變換下，三角形能變成圓，三角形的內(nèi)部變成了圓的內(nèi)部，三角形的外部變成了圓的外部。這就是說，簡單封閉曲線的內(nèi)部和外部具有拓撲性質(zhì)。圖１顯出了畫在一塊矩形橡皮膜上的三角形，被拉成了圓的情形。從圖２的三個圖形可以想象出他們各自表示什么東西。在拓撲變換下，他們中的每一個圖形都能變成另一個圖形。傳說古波斯穆罕默德的繼承人哈立發(fā)，為了挑女婿曾經(jīng)給絡繹不絕

3、的求婚者出過這樣一個題目：請用線把圖３中寫有相同數(shù)字的小圓圈連接起來，但所連的線不許相交。下面是一道涉及拓撲學知識的數(shù)學競賽題。圖8是從一個810格的矩形紙上剪去兩個11的小方格后得到的。能不能把它全部剪成12格大小的矩形小紙片呢？為什么？這是不可能的，由它上面剪下來的每一個小矩形都由兩個相鄰的小方格組成，這兩個小方格上染有不同的顏色。假設它能全部剪成這樣的小矩形紙片，那么它上面兩種顏色的格子數(shù)目應當相等。但它的灰色小方格比白色小方格少