(點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)?第4章及半期復(fù)習(xí)

1、第4章連通性本章討論拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，包括連通性，局部連通性和弧連通性，并且涉及某些簡單的應(yīng)用這些拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別一些互不同胚的空間41連通空間本節(jié)重點(diǎn):掌握連通與不連通的定義.掌握如何證明一個(gè)集合的連通與否掌握連通性的拓?fù)洳蛔冃?、有限可積性、可商性。我們先通過直觀的方式考察一個(gè)例子在實(shí)數(shù)空間R中的兩個(gè)區(qū)間（0，l）和［1，2），盡管它們互不相交，但它們的并（0，1）U［l，2）＝（0，2）卻是一個(gè)“整體”；

2、而另外兩個(gè)區(qū)間（0，1）和（1，2），它們的并（0，1）U（1，2）是明顯的兩個(gè)“部分”產(chǎn)生上述不同情形的原因在于，對(duì)于前一種情形，區(qū)間（0，l）有一個(gè)凝聚點(diǎn)1在［1，2）中；而對(duì)于后一種情形，兩個(gè)區(qū)間中的任何一個(gè)都沒有凝聚點(diǎn)在另一個(gè)中我們通過以下的定義，用術(shù)語來區(qū)別這兩種情形定義411設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個(gè)子集如果?????)()(ABBA則稱子集A和B是隔離的明顯地，定義中的條件等價(jià)于和同時(shí)成立，也就是說，A???BA???A

3、B與B無交并且其中的任何一個(gè)不包含另一個(gè)的任何凝聚點(diǎn)應(yīng)用這一術(shù)語我們就可以說，在實(shí)數(shù)空間R中，子集（0，1）和（1，2）是隔離的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔離的又例如，易見，平庸空間中任何兩個(gè)非空子集都不是隔離的，而在離散空間中任何兩個(gè)無交的子集都是隔離的定義412設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集A和B使得X=A∪B，則稱X是一個(gè)不連通空間；否則，則稱X是一個(gè)連通空間顯然，包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間是不連通空間，而

4、任何平庸空間都是連通空間定理411設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g則下列條件等價(jià)：（l）X是一個(gè)不連通空間；（2）X中存在著兩個(gè)非空的閉子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；?（3）X中存在著兩個(gè)非空的開子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；?（4）X中存在著一個(gè)既開又閉的非空真子集證明（l）蘊(yùn)涵（2）:設(shè)（1）成立令A(yù)和B是X中的兩個(gè)非空的隔離子集使得A∪B＝X，顯然A∩B=，并且這時(shí)我們有?BBBABBABXBB??????????)()()

5、(因此B是X中的一個(gè)閉子集；同理A也是一個(gè)X中的一個(gè)閉子集這證明了集合A和B滿足條件（2）中的要求（2）蘊(yùn)涵（3）如果X的子集A和B滿足條件（2）中的要求，所以A、B為閉集，則由于這時(shí)有A＝B和B=，因此A、B也是開集，所以A和B也滿足條件（3）中的要A?????????????????????)()(()()())(())((ABBAYAYBBYAYAYBYBYA這說明A∩Y和B∩Y也是隔離子集然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩

6、Y＝Y(jié)因此根據(jù)定理413，集合A∩Y和B∩Y中必有一個(gè)是空集如果A∩Y=，據(jù)上式?立即可見YB，如果B∩Y＝，同理可見YA???定理415設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，ZX滿足條件則?YZY??Z也是X的一個(gè)連通子集證明假設(shè)Z是X中的一個(gè)不連通子集根據(jù)定理413，在X中有非空隔離子集A和B使得Z=A∪B因此YAUB由于Y是連通的，根據(jù)定理414，?或者YA，??????????????BZBBABZAYZ?或者YB同理。???A這兩種

7、情形都與假設(shè)矛盾定理416設(shè)是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個(gè)子集族如果????Y，則是X的一個(gè)連通子集???????Y??Y???證明設(shè)A和B是X中的兩個(gè)隔離子集，使得，＝A∪B任意選取x∈??Y???，不失一般性，設(shè)x∈A對(duì)于每一個(gè)γ∈Γ，由于連通，根據(jù)定理4.1??Y????Y4，或者或者；由于x∈∩A，所以AY??BY???Y根據(jù)定理413，這就證明了是連通?????????BAYAY?????Y???的定理417設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX

8、中的一個(gè)子集如果對(duì)于任意x，y∈Y存在X中的一個(gè)連通子集使得x，y∈Y，則Y是X中的一個(gè)連通子集xyYxyY?證明如果Y=，顯然Y是連通的下設(shè)Y≠任意選取a∈Y，??容易驗(yàn)證Y＝并且a∈應(yīng)用定理416，可見Y是連通的xyYyY??ayYyY??我們曾經(jīng)說過，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)（參見22）所謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個(gè)拓?fù)淇臻g具有必為任何一個(gè)與其同胚的拓?fù)淇臻g所具有的性質(zhì)事實(shí)上，如果拓?fù)淇臻g的某一個(gè)性質(zhì)，它是藉助于開集或者