2011年上學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)考試試卷答案(a)

1、中南大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（A）20092010學(xué)年二學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)課程48學(xué)時(shí)，3.0學(xué)分，閉卷，總分100分，占總評(píng)成績(jī)70%時(shí)間:100分鐘專業(yè)年級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2008級(jí)注：此頁(yè)不作答題紙，請(qǐng)將答案寫在答題紙上一、選擇題一、選擇題(將正確答案填入題后的括號(hào)內(nèi)將正確答案填入題后的括號(hào)內(nèi)每題每題3分，共分，共15分)1、C2、B3、A4、A5、D二、簡(jiǎn)答題（每題二、簡(jiǎn)答題（每題3分，共分，共1515分）分）1、空間2A答案：一個(gè)拓

2、撲空間如果有一個(gè)可數(shù)基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，簡(jiǎn)稱為空間.2A2、空間：1T答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中每一個(gè)點(diǎn)都XX有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g是空間.X1T3、不連通空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有兩個(gè)非空的隔離子集使得XXAB則稱是一個(gè)不連通空間.ABX??X4、序列緊致空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列，XX則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)序列緊致

3、空間.X5、正規(guī)空間：答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任何兩個(gè)無(wú)交的閉集都各自有一個(gè)XX開鄰域，它們互不相交，則稱是正規(guī)空間.X三、判斷，并給出理由（三、判斷，并給出理由（2020分，每題分，每題5分，判斷分，判斷2分，理由分，理由3分）分）1、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（）XY答案:√理由：理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開集只有:fXY?Y易知它們?cè)谙碌脑蠓謩e是均為中的開集，從而連續(xù).Y?fX?

4、X:fXY?是的一個(gè)連通子集.()fXY3、證明：證明：對(duì)于，則，從而有互不相交的開鄰域和，cxA??()fxx?()fxxUV設(shè)，則是的開鄰域，且故是開集，從而1()WfUV???WxcxWA??cA是閉集.A4、證明：證明：(1)??????????????001212121211221212121201.2123XXAAAAAAAAAXCAXCCCdeMganAAXCXCXCCAAXCC??????????????????????

5、????????????????????????余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)由的定義，.此外，設(shè)，，或，則，，則其中，為至多可數(shù)集.根據(jù)公式，有設(shè)不失一般性，令其中為至多可數(shù)集，則TTTTTTT????????000123AXCXCX??????????????????余可數(shù)余可數(shù)由可知，為上的一個(gè)拓?fù)?。TT(2)注意；??????1212XCXCXCC????????(3)對(duì)任意，則與分別為與的開鄰域，pqXpq????

6、XpUq＝－??qUXp??pq且，，因此，為空間。pqU?qpU???X余可數(shù)T1T設(shè)為的任何開鄰域，為的任何開鄰域，則，其pUpqUq12XpqUCUXC??＝－中，均為的至多可數(shù)子集，并且1C2CX????1212pqUUXCXCXCC??????????所以，非空間。??X余可數(shù)T2T(4)設(shè)是的任一個(gè)開覆蓋，任取，，則(C為X的至多可數(shù)AX0A?A0A??0AXC??集)記，因是的開覆蓋，故于是，1......nCcc?AXi