初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(6)整式的恒等變形

1、初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(6)整式的恒等變形一、知識要點1、整式的恒等變形把一個整式通過運算變換成另一個與它恒等的整式叫做整式的恒等變形2、整式的四則運算整式的四則運算是指整式的加、減、乘、除，熟練掌握整式的四則運算，善于將一個整式變換成另一個與它恒等的整式，可以解決許多復(fù)雜的代數(shù)問題，是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。3、乘法公式乘法公式是進行整式恒等變形的重要工具，最常用的乘法公式有以下幾條：①(ab)(ab)=a2b2②(ab)2=a22abb

2、2③(ab)(a2abb2)=a3b3④(ab)(a2abb2)=a3b3⑤(abc)2=a2b2c22ab2bc2ca⑥(abc)(a2b2c2abbcca)=a3b3c33abc⑦(ab)3=a33a2b3ab2b34、整式的整除如果一個整式除以另一個整式的余式為零，就說這個整式能被另一個整式整除，也可說除式能整除被除式。5、余數(shù)定理多項式除以(xa)所得的余數(shù)等于。??xf??af特別地=0時，多項式能被(xa)整除??af??x

3、f二、例題精講例1在數(shù)1，2，3，…，1998前添符號“”和“”并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析要得最小非負數(shù)，必須通過合理的添符號來產(chǎn)生盡可能多的“0”解因123…1998=是一個奇數(shù)，??19999992199811998????又在1，2，3，…，1998前添符號“”和“”，并不改變其代數(shù)和的奇偶數(shù)，故所得最小非負數(shù)不會小于1。先考慮四個連續(xù)的自然數(shù)n、n1、n2、n3之間如何添符號，使其代數(shù)和最小。很明顯n(n1)(

4、n2)(n3)=0所以我們將1，2，3，…，1998中每相鄰四個分成一組，再按上述方法添符號，即(12)(3456)(78910)…(1995199619971998)=12=1故所求最小的非負數(shù)是1。例2計算(2x3x6)?(3x25x2)分析計算整式的乘法時，先逐項相乘(注意不重不漏)，再合并同類項，然后將所得的(2)把除式xa的常數(shù)項的相反數(shù)a寫在各項系數(shù)的左邊，彼此用豎線隔開；(3)下移第一個系數(shù)作為第三行的第一個數(shù)，用它乘以a

5、，加上第二個系數(shù)，得到第三行的第二個數(shù)，再把這個數(shù)乘以a，加上第三個系數(shù)，就得到第三行的第三個數(shù)，…，依次進行運算，最后一個數(shù)即為余數(shù)，把它用豎線隔開，線外就是商式的多項式系數(shù)。(4)如果除式是一次式，但一次項系數(shù)不是1，則應(yīng)把它化到1才能用綜合除法。例6已知xy=3，x3y3=18，求x7y7的值分析：先通過xy=3，x3y3=18，求出xy，再逐步求出x2y2、x4y4，最后求出x7y7的值解由x3y3=(xy)33xy(xy)得1

6、8=(3)33xy?(3)∴xy=1又由x2y2=(xy)22xy得x2y2=(3)22?1=7而x4y4=(x2y2)22x2y2=722=47∴(18)?47=(x3y3)(x4y4)=x7y7x3y3(xy)=x7y73從而x7y7=843評注：本題充分利用xy和xy，與x2y2、x4y4、x7y7的關(guān)系來解題。例7求證：(x2xyy2)3(x2xyy2)3能被2x22y2整除分析如果將(x2xyy2)3與(x2xyy2)3直接展

7、開，太繁，可將兩個式子整體處理，分別看作a和b，然后利用乘法公式展開，可將計算簡化。解(x2xyy2)3(x2xyy2)3=[(x2xyy2)(x2xyy2)]33?(x2xyy2)(x2xyy2)[(x2xyy2)(x2xyy2)]=(2x22y2)33?(x2xyy2)(x2xyy2)(2x22y2)所以原式能被2x22y2整除。評注：本題采用的是整體處理思想。例8試求x285x83x71x9x3x被x1除所得的余數(shù)。解法1x285

8、x83x71x9x3x=(x2851)–(x831)(x711)(x91)–(x31)(x1)2因為x2851、x831、x711、x91、x31、x1均可被x1整除，所以，原式被x1除所得的余數(shù)是2。解法2由余數(shù)定理，余數(shù)等于x285x83x71x9x3x在x=1時值，即余數(shù)=128518317119131=2評注：本題兩種解法中，解法1是通過恒等變形，將原式中能被x1整除的部分分解出，剩下的就是余數(shù)。解法2是通過余數(shù)定理來求余數(shù)，這