初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(13)角的認(rèn)識

1、初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(13)角的認(rèn)識一、知識要點(diǎn)具有公共端點(diǎn)的兩條射線所成的圖形稱為角。與角有關(guān)的基本概念有：周角，平角，直角，銳角，鈍角，對頂角等。二、例題精講例1如圖，已知O是直線AC上一點(diǎn)，OB是一條射線，OD平分?AOD，OE在?BOC內(nèi)，?BOE＝?EOC，?DOE＝70，求?EOC的度數(shù)。21分析：易得?EOC＝?BOC，而?BOC?AOB＝180，結(jié)合OD平分?AOB，可作32?BOC平分線，結(jié)合?DOE可求出?BOC，從

2、而求?EOC的度數(shù)解：作?BOC平分線OF，則?BOF＝?COF＝?BOC21∵OD平分?AOB∴?AOD＝?DOB＝?AOB21又∵?BOC?AOB＝180∴?DOB?BOF＝90即?DOF＝90∴?EOF＝?DOF?DOE＝20又∵?EOF＝?BOF?BOE而?BOF＝?BOC，?BOE＝?BOC2131∴?EOF＝?BOC?BOC＝?BOC213161∴?BOC＝6?EOF＝120∴?EOC＝?BOC＝120＝803232即?EO

3、C＝80例2一個(gè)銳角的余角的補(bǔ)角與這個(gè)銳角的差是（）A銳角B直角C鈍角D不能確定分析：設(shè)該銳角為?，它的余角（90?）的補(bǔ)角?應(yīng)為180（90?）＝90?，?與?的差（90?）?＝90故選B例3已知??的余角是??的補(bǔ)角的，??＞110，求??的范圍。51分析：顯然??是銳角，由互余和互補(bǔ)的定義及條件可求出??與??的關(guān)系，再由??的范圍，可求出??的范圍。解：??的余角為90?，??的補(bǔ)角為180?ACOBDEF于某一個(gè)角，如∠A4O

4、A6，它對應(yīng)線段A4A6，而線段A4A6恰好對應(yīng)線段于∠A4OA6，因此，要數(shù)圖中角的個(gè)數(shù)，只要數(shù)A1A10上的線段數(shù)即可，而A1A10上的線段數(shù)有987654321＝45條因此，圖中共有45個(gè)角例7求證：成對頂角的兩個(gè)角的平分線，在一直線上。證明：如圖，AB、CD相交于O，則?AOC與?BOD成對頂角。設(shè)OE、OF分別為?AOC、?BOD的平分線，∵?AOE=?AOC?BOF=?BOD2121且?AOC=?BOD∴?AOE=?BOF又

5、∵?BOF?FOD?DOA=180∴?AOE?FOD?DOA=180即?EOF=180∴OE、OF在同一直線上。評注：與對頂角有關(guān)的問題比較多，解這類題時(shí)，主要運(yùn)用對頂角的定義來解題例8已知：直角?AOB，以點(diǎn)O為端點(diǎn)在?AOB的內(nèi)部畫出1995條射線，以O(shè)A、OB及這些射線為邊的銳角的個(gè)數(shù)是多少？解：設(shè)以O(shè)為端點(diǎn)在?AOB的內(nèi)部畫出的1995條射線逆時(shí)針方向分別為射線OP1，OP2，OP3…，OP1995則以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

6、，形成1995個(gè)銳角（終邊分別為射線OP1，OP2，OP3…，OP1995）以O(shè)P1為始邊，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，形成1995個(gè)銳角（終邊分別為射線OP2，OP3，…，OP1995，OB）以O(shè)P2為始邊，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，形成1994個(gè)銳角（終邊分別為射線OP3，OP4，…，OP1995，OB）……以O(shè)P1995為始邊，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，形成1個(gè)銳角（終邊為射線OB）∴共有1995199519941993…21＝1993005（個(gè)）三、鞏固練習(xí)選