反三角函數(shù)求導(dǎo)公式證明

1、2.32.3反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè))(yx??是直接函數(shù)，)(xfy?是它的反函數(shù)，假定)(yx??在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，而且0)(??y?，則反函數(shù))(xfy?在間)(|yxIyyxxI????內(nèi)也是單調(diào)、可導(dǎo)的，而且)(1)(yxf????(1)證明：證明：??xIx，給x以增量x?)0(xIxxx?????由)(xfy?在Ix上的單調(diào)性可知0)()(????

2、??xfxxfy于是yxxy?????1因直接函數(shù))(yx??在Iy上單調(diào)、可導(dǎo)，故它是連續(xù)的，且反函數(shù))(xfy?在Ix上也是連續(xù)的，當(dāng)0??x時(shí)，必有0??y)(11limlim00yyxxyyx????????????即：)(1)(yxf????【例1】試證明下列基本導(dǎo)數(shù)公式().(arcsin)().()().(log)ln1112113122xxarctgxxaxax????????證1、設(shè)yxsin?為直接函數(shù)，xyarcs

3、in?是它的反函數(shù)函數(shù)yxsin?在)22(????yI上單調(diào)、可導(dǎo)，且???xycos0因此，在)11(??xI上，有yxcos1)arcsin(??注意到，當(dāng))22(????y時(shí)，0cos?y，221sin1cosxyy????因此，211)arcsin(xx???證2設(shè)xtgy?，)22(????yI則yarctgx?，Ix?????()tgyx?在Iy上單調(diào)、可導(dǎo)且0cos12???yx故2221111cos)(1)(xytgy

4、tgyarctgx????????證3axaaaayyxln1ln1)(1)log(?????dydxdydududvdvdx???(2)、用鎖鏈規(guī)則求導(dǎo)的用鎖鏈規(guī)則求導(dǎo)的關(guān)鍵關(guān)鍵引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)。還應(yīng)注意還應(yīng)注意：求導(dǎo)完成后，應(yīng)將引入的中間變量代換成原自變量。【例3】求yx?sin2的導(dǎo)數(shù)dydx。解：設(shè)ux?2，則yu?sin，ux?2，由鎖鏈規(guī)則有：dydxdydududxuxux?????????(si

5、n)()(cos)cos2222【例4】設(shè)ytgx?ln2，求dydx。由鎖鏈規(guī)則有dxdvdvdududydxdy???21cos112???vu(基本初等函數(shù)求導(dǎo))212cos1212???xxtg(消中間變量)xsin1?由上例，不難發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)竅門竅門中間變量在求導(dǎo)過程中，只是起過渡作用，熟練之后，可不必引入，僅需“心中有鏈心中有鏈”。然后，對函數(shù)所有中間變量求導(dǎo)，直至求到自變量為止，最后諸導(dǎo)數(shù)相乘。請看下面的演示過程：)2