向量的延伸

1、向量的延伸向量有一些具有較多應用的結論，也聯(lián)系著一些其他的思想方法。下面引入并介紹三角形的重心坐標與質點幾何，必要時將引述相關研究性或介紹性文獻。一、重心坐標（面積坐標）下面的結論在向量中是常見的：（1）如果△ABC內有一點P滿足mPAnPBkPC=0那么便有S△PBC:S△PAC:S△PAB=m:n:k（2）GAGBGC=0（G為重心）（3）aIAbIBcIC=0(I為內心)由于（3）可利用（1）簡單推導出來，想到由（1）可能會引出一

2、個很好的方法，于是就有了下面的定義。定義若M是不在一直線上的三點A、B、C關于定倍數(shù)a＇、b＇、c＇的平均中心，這個定倍數(shù)a＇、b＇、c＇就稱為M關于坐標△ABC的重心坐標，記為M△ABCa＇、b＇、c＇.若坐標△ABC確定時，可簡記為Ma＇、b＇、c＇.重心坐標也可以用面積比來定義：S△MBC:S△MAC:S△MAB=a＇：b＇：c＇，因此又稱作面積坐標.注：M可以是平面上任意點，M在三角形外部時，坐標出現(xiàn)負數(shù)。下面給出巧合點的重心坐

3、標：重心G1，1，1；內心Iabc旁心Iaabc垂心H=tanAtanBtanC外心Oa2Xab2Xbc2Xc=sin2Asin2Bsin2CXcXbXa111重心坐標的求法有分比法、垂距法、平方和法，此處從略。重心坐標是三角形幾何學的內容，因此下面不加證明地給出一些相關的結論：定理1三點Ni△MBCaibici(i=123)共線的充要條件為=033a322a2c1b1a1cbcb過兩點aibici(i=12)的直線方程為=0zycbx

4、22a2c1b1a1定理2若M△ABCa1、b1、c1，由A、B、C及M至任意直線l引垂線，相應的垂足分別為D、E、F及N，則a1ADb1BEc1CF=(a1b1c1)MN定理3若M△ABCa1、b1、c1，P為任意點，如果先講向量把向量說成是兩點相減的結果再從減法說到加法就引出了質點幾何.這樣不但向量加法的首尾銜接法更為顯然而且把數(shù)直線上的有向線段、解析幾何里的定比分點公式、向量坐標的計算以及力學中重心和力矩等知識都聯(lián)系起來了.下面關

5、于質點幾何的介紹中，將會表現(xiàn)出質點法相比于向量法更有代數(shù)的演繹性，能夠真正將幾何要與代數(shù)完美結合起來。下面簡略地介紹一下質點幾何的基本概念.一般來說我們把向量看作是有向線段.而在向量坐標化的時候每個向量又對應著一個點.幾何學最基本的元素是點.若將任意設置的原點O省略掉用一個點來表示一個向量可稱之為單點向量.定義在質點幾何中稱aP(a≠0a為實數(shù))為質點系數(shù)為1或1時“1”可以省略稱xMxN(x為實數(shù))為向量當x=0或M=N時稱xMxN為

6、零向量.性質1(1)設C是直線AB上的一點滿足AC:CB=m:n則(mn)C=nAmB.(2)若點ABC滿足(mn)C=nAmB(mn≠0)AC:CB=m:n注：若將(mn)C=nAmB化為C=AB，若C的位置確定是唯一的值，nmn?nmm?nm令a=則C可以由A、B唯一表示為C=(1a)AaB，這和定比分點公式一致。nmm?性質2(1)設O是直線AB與PQ（PQ與AB不平行）的交點則存在滿足xy=mn(=t)的x，y，m，n使得xAy