希爾伯特23個數(shù)學問題

1、希爾伯特23個數(shù)學問題在1900年巴黎國際數(shù)學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學家力圖攻克的難關，對現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展產生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù)學問題都可以解決的信念，對于數(shù)學工作者是一種巨大的

2、鼓舞。希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學基礎問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學分析。（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公理彼此

3、獨立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。（2）算術公理系統(tǒng)的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，19091945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統(tǒng)的無矛盾性。（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是：存在兩個登高等底

4、的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決。（4）兩點間以直線為距離最短線問題。此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利

5、（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。七次方程的根依賴于3個參數(shù)a、b、c；x=x(abc)。這01237?????cxbxaxx一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在［0，1］上連續(xù)的實函數(shù)可寫成形式∑()(321xxxfih(i=19)，這里和為連續(xù)實函數(shù)?？聽柲缏宸蜃C明可))(321xxxi?i

6、hi?)(321xxxf寫成形式∑(i=17)這里和為連續(xù)實函數(shù)，的選取ih))()()((321321xxxiii?????ihi?ij?可與f完全無關。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形，對解析函數(shù)情形則未解決。（14）某些完備函數(shù)系的有限的證明。即域K上的以為自變量的多項式（i=1…，m），R為Knxxx21?if上的有理函數(shù)構成的環(huán)，][21mXXX?)(21mXXXF??）mfffF?21(試問R是否可

7、由有限個元素的多項式生成？這個與代數(shù)不變量問題][1mxxK?nFF1?有關的問題，日本數(shù)學家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。（15）建立代數(shù)幾何學的基礎。荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注一舒伯特（Schubert）計數(shù)演算的嚴格基礎。一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎。現(xiàn)在

8、已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學有密切的關系。但嚴格的基礎至今仍未建立。（16）代數(shù)曲線和曲面的拓撲研究。此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dxdy=YX的極限環(huán)的最多個數(shù)N（n）和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻爾得到N(2)≥1；1952年鮑廷得到N(2)≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，這個曾震動一時的結果，由于其中的