希爾伯特23個數學問題

1、希爾伯特希爾伯特2323個數學問題個數學問題希爾伯特23個數學問題——在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發(fā)展產生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數學

2、問題都可以解決的信念，對于數學工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬于代數和幾何問題；第19到第23問題屬于數學分析。（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數問題。1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數學家科

3、思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。（2）算術公理系統(tǒng)的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，19091945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統(tǒng)的無矛盾性。（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性

4、。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統(tǒng)一的方法。（8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決，其最佳結果均屬中國數學家陳景潤。（9）一般互反律在任意數域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷

5、（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？求出一個整數系數方程的整數根，稱為丟番圖（約210290，古希臘數學家）方程可解。1950年前后，美國數學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維