用不動(dòng)點(diǎn)法求遞推數(shù)列

1、1用不動(dòng)點(diǎn)法求遞推數(shù)列用不動(dòng)點(diǎn)法求遞推數(shù)列(a(a2cc2≠0)≠0)的通項(xiàng)的通項(xiàng)dtcbtatnnn??????11通項(xiàng)的求法通項(xiàng)的求法為了求出遞推數(shù)列的通項(xiàng)，我們先給出如下兩個(gè)定義：dtcbtatnnn??????1定義定義1：若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列的特征函數(shù).nt)(1nntft??)(xfnt定義定義2:方程=x稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)方程，其根稱為函數(shù)的不)(xf)(xf)(xf動(dòng)點(diǎn).下面分兩種情況給出遞推數(shù)列通項(xiàng)的求解通法.dtcb

2、tatnnn??????1(1)當(dāng)c=0時(shí)由dtcbtatnnn??????1dbtdatnn?????1記，則有（k≠0）kda?cdb?ctktnn????1∴數(shù)列的特征函數(shù)為=kxcnt)(xf由kxc=xx=則?kc?1ctktnn????1?)1(11kctkkctnn??????∴數(shù)列是公比為k的等比數(shù)列1kctn??∴.11)1(1???????nnkkctkct?11)1(1???????nnkkctkct(2)當(dāng)c≠0

3、時(shí)數(shù)列的特征函數(shù)為：=nt)(xfdxcbxa????由xdxcbxa?????0)(2?????bxadcx設(shè)方程的兩根為x1x2則有:0)(2????bxadcx3例1：已知數(shù)列an中，a1=2，，求an的通項(xiàng)。3121???nnaa解：因?yàn)閍n的特征函數(shù)為：312)(??xxf由1312)(?????xxxxf∴3121???nnaa?)1(3211????nnaa∴數(shù)列an1是公比為的等比數(shù)列32∴an1=an=1.11)32)

4、(1(??na?1)32(?n例2已知數(shù)列an中，a1=3，，求an的通項(xiàng)。1241????nnnaaa解：因?yàn)閍n的特征函數(shù)為：124)(???xxxf由21023124)(212???????????xxxxxxxxf設(shè)212111????????nnnnaakaa?2121241124??????????nnnnnnaakaaaa?214233??????nnnnaakaa?21)2()1(23???????nnnnaakaa即2