高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析

1、■■■■■ ■■■■■ 高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 第 1 頁 ■■■■■高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 類型 類型 1 ，利用累加法 累加法(逐差相加法 逐差相加法)求解。 ) ( 1 n f a a n n ? ? ?例:已知數(shù)列 滿足 ， ，求 。 ? ? n a 211 ? a n n a a n n ? ? ? ? 2

2、11n a解：由條件知：11 1) 1 (1 12 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n n a a n n分別令 ，代入上式得 個等式累加之，即 ) 1 ( , , 3 , 2 , 1 ? ?? ? ? ? ? ? n n ) 1 ( ? n) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 4 2 3 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n a a a a a a a a) 111 (

3、) 4131 ( ) 3121 ( ) 21 1 ( n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 ，n a an1 1 1 ? ? ? 211 ? a ? n n an123 1 1 21 ? ? ? ? ? ?變式 變式:（2004，全國 I，個理 22．本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 ，且 a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,……. 1 } {

4、1 ? a an 中（I）求 a3, a5； （II）求{ an}的通項公式. 解： ，? kk k a a ) 1 ( 1 2 2 ? ? ? ?kk k a a 3 2 1 2 ? ? ?，即? k kkkk k a a a 3 ) 1 ( 3 1 2 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?k kk k a a ) 1 ( 3 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ?，? ) 1 ( 3 1 3 ? ? ? ? a a 2 23

5、5 ) 1 ( 3 ? ? ? ? a a…… …… 將以上 k 個式子相加，得 k kk k a a ) 1 ( 3 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ?] 1 ) 1 [( 21 ) 1 3 ( 23 ] ) 1 ( ) 1 ( ) 1 [( ) 3 3 3 ( 2 21 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k k k kk a a將 代入，得 ， 1 1

6、 ? a 1 ) 1 ( 21 3 21 11 2 ? ? ? ? ? ??k kk a。 1 ) 1 ( 21 3 21 ) 1 ( 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?k k kk k a a■■■■■ ■■■■■ 高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 第 3 頁 ■■■■■例:已知數(shù)列 中， ， ，求 . ? ? n a 1 1 ? a 3 2 1 ?

7、? ? n n a a n a解：設(shè)遞推公式 可以轉(zhuǎn)化為 即 . 3 2 1 ? ? ? n n a a ) ( 2 1 t a t a n n ? ? ? ? 3 2 1 ? ? ? ? ? ? t t a a n n故遞推公式為 ,令 ，則 ,且 ) 3 ( 2 3 1 ? ? ? ? n n a a 3 ? ? n n a b 4 3 1 1 ? ? ? a b.所以 是以 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，則 2 33 1 1 ?

8、?? ? ? ?nnnnaabb ? ? n b 4 1 ? b,所以 . 1 1 2 2 4 ? ? ? ? ? n nn b 3 2 1 ? ? ? nn a變式 變式:（2006. 福建.理 22.本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 滿足? ? n a *1 1 1, 2 1( ). n n a a a n N ? ? ? ? ?（I）求數(shù)列 的通項公式； ? ? n a（II）若數(shù)列{bn}滿足 證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

9、 1 2 1 1 1 * 4 4 4 ( 1) ( ), n n b b b bn a n N ? ? ? ? ? ? ?（Ⅲ）證明：* 1 22 3 11 ... ( ). 2 3 2nna a a n n n N a a a ?? ? ? ? ? ? ?（I）解：*1 2 1( ), n n a a n N ? ? ? ? ? 1 1 2( 1), n n a a ? ? ? ? ?是以 為首項，2 為公比的等比數(shù)列頭 頭頭 頭

10、頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 ? ? 1 n a ? ? 1 1 2 a ? ?即 1 2 . nn a ? ? ? * 2 1( ). nn a n N ? ? ?（II）證法一：1 2 1 1 1 4 4 ...

11、4 ( 1) . n n k k k kn a ? ? ? ? ? ? 1 2 ( ... ) 4 2 . n n k k k n nk ? ? ? ? ? ?① 1 2 2[( ... ) ] , n n b b b n nb ? ? ? ? ? ?② 1 2 1 1 2[( ... ) ( 1)] ( 1) . n n n b b b b n n b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②－①，得1 1 2( 1) ( 1)

12、, n n n b n b nb ? ? ? ? ? ?即1 ( 1) 2 0, n n n b nb ? ? ? ? ? 2 1 ( 1) 2 0. n n nb n b ? ? ? ? ? ?③－④，得 2 1 2 0, n n n nb nb nb ? ? ? ? ?即 2 1 2 0, n n n b b b ? ? ? ? ? *2 1 1 ( ), n n n n b b b b n N ? ? ? ? ? ? ? ?是等差