精簡(jiǎn)易下載版 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[1]

1、11數(shù)學(xué)解題學(xué)引論數(shù)學(xué)解題學(xué)引論第四講第四講解題資料的初步整理解題資料的初步整理涉及數(shù)學(xué)解題或解題方法的文章、書藉是研究解題的原始素材.這方面的資料浩如煙海，每年有大批書藉出版，每期中學(xué)數(shù)學(xué)雜志都以大量版面刊登題解或解題.我們粗略地將這些資料分成6類.1理論性的方法研究………………..這類著作主要是從方法論的高度研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新法則.通常理論性較強(qiáng)、層次也較高（當(dāng)然這一類資料本身也是有

2、層次的）.2教學(xué)性的解題總結(jié)…………………這類著作多從教育學(xué)、心理學(xué)或思維科學(xué)等角度，對(duì)解題進(jìn)行分析研究與系統(tǒng)總結(jié)，常帶有提高解題教學(xué)理論水平，并通過解題培養(yǎng)能力、發(fā)展思維的教育動(dòng)機(jī).這類資料多體現(xiàn)在教材教法課程中解題教學(xué)部分，或以培養(yǎng)能力、發(fā)展思維為主題的解題書刊中.3規(guī)律性的解題探索..這類著作從數(shù)學(xué)具體解題方法、具體解題技巧中提煉出方法論的價(jià)值，勇敢探索“怎樣想到這個(gè)解法”、“是什么促使你這樣想、這樣做？”的規(guī)律，努力摸清人們發(fā)現(xiàn)

3、解法、找到思路的秘密，最杰出的代表是波利亞的世界名著.4技巧性的解題指導(dǎo)………..這類書刊主要是結(jié)合題目介紹解題的具體方法與具體技巧.5競(jìng)賽數(shù)學(xué)的原始積累…………主要指競(jìng)賽題的解法研究和輔導(dǎo)講座.自1986年中國數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)第四屆年會(huì)（西安會(huì)議）之后，這方面的資料如雨后春筍，有識(shí)之士已經(jīng)指出，這些資料的長(zhǎng)期積累，將誕生一門獨(dú)具特色的數(shù)學(xué)——競(jìng)賽數(shù)學(xué)（又稱奧林匹克數(shù)學(xué)）.6資料性的習(xí)題類編…………這方面的書藉、文章不計(jì)其數(shù)，大多只

4、是現(xiàn)成的例子和現(xiàn)成的觀點(diǎn)（個(gè)別的甚至沒有任何觀點(diǎn)）.有的是解題集、有的是習(xí)題集、有的是專門為升學(xué)服務(wù)的復(fù)習(xí)資料.在復(fù)習(xí)資料中，有一部分是以高考為素材的解題研究，這是具有中國特色的高考文化的重要組成部分，其中不乏珍品；而另有一部分，則體現(xiàn)了解題教學(xué)新八股、并為題海戰(zhàn)術(shù)和應(yīng)試教育推波助瀾.解題基本功解題基本功解題的成功取決多種因素，其中最基本的有：解題的知識(shí)因素，解題的能力因素，解題的經(jīng)驗(yàn)因素和解題的非智力因素，我們統(tǒng)稱為解題基本功.一、知

5、識(shí)結(jié)構(gòu)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)人的思維依賴于必要的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)正是數(shù)學(xué)解題思維活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)與憑借.豐富的知識(shí)并加以優(yōu)化的結(jié)構(gòu)能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件.解題研究的一代宗師波利亞說過：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本.”每一個(gè)希望提高解題效率的人，都必須下決心，花大力氣去做到下述3個(gè)基本要求：1熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的體系.對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)解題來說，應(yīng)如數(shù)家珍說出教材的概念系統(tǒng)、定理系統(tǒng)、符號(hào)系統(tǒng).還應(yīng)掌握

6、中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽涉及的基礎(chǔ)理論.2深刻理解數(shù)學(xué)概念、準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)定理、公式和法則.3熟悉基本的邏輯規(guī)則和常用的解題方法，積累不斷涌現(xiàn)的數(shù)學(xué)技巧.例4如圖所示，在△ABC的兩邊AB和AC上向外作正方形ABEF和ACGH，則邊BC上的高AD平分線段FH.講解講解這是一道傳統(tǒng)題，有不下10余種解法，如果我們站的觀點(diǎn)較高，立即看到面積相等：.AFHABCSAabS????sin21從而△ABC與△AFH部分相等.又由于要證FK=KH，若此式成立，必

7、有.AKHAKFSS???由此，誘發(fā)我們?nèi)タ紤]，把△ABC分成兩個(gè)等積的三角形，分別與△AKF，△AKH全等.因而作AM交BC于M，使∠BAM=∠AFK，從而∠MAC=∠BAC∠BAM=(180∠FAH)∠AFK=∠AHF………于是△AFK≌△BAM，（SAS）△AHK≌△CAM，（SAS）得FK=AM=HK.命題得證.為了證明FK=HK，通過輔助線AM來過渡，這個(gè)思路是比較隱蔽的，不熟悉“面積相等必剖分相等”的中學(xué)生，要找到這個(gè)思路必

8、多費(fèi)周折，這說明，知識(shí)對(duì)解題的指導(dǎo)作用.例5有甲、乙丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元；現(xiàn)在購甲、乙、丙各一件共需幾元？[1985年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽]講解講解設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為x元、y元、z元，依題意有?????????①.20.4104①15.373zyx，zyx對(duì)于中學(xué)生，這是一道非常規(guī)的方程問題，需要有較強(qiáng)的觀察、分析和變形能力.可以有兩種途徑將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)二

9、元方程組的求解.途徑途徑1將原方程變形為于是，(xyz)的求值轉(zhuǎn)化為消去(x3y).?????????????.20.4)()3(315.3)()3(2zyxyxzyxyx33水平二水平二把問題（1）看作求m的應(yīng)用題，為了解這個(gè)應(yīng)用題我們來列方程，為了尋找方程的等量關(guān)系，才用到一元二次方程的判別式等于零.（1）等量關(guān)系：△(m)=0；（2）方程：4m24(m2)=0；（3）解方程：m1=1，m2=2.把問題（2）看作是函數(shù)的最值問題，為

10、了求函數(shù)的最值，需要尋找函數(shù)關(guān)系和定義域，為了找函數(shù)表達(dá)式用到了韋達(dá)定理（并非必要），為了找函數(shù)的定義域，用到了方程的判別式非負(fù).（1）找m的函數(shù)式：f(m)==(x1x2)22x1x2=4m22m4；2221xx?（2）找函數(shù)的定義域：由△=4(m2m2)≥0，得m∈????.21??????（3）找最小值.當(dāng)m≤1時(shí)，f(m)是減函數(shù)，有f(m)≥f(1)=4(1)22(1)4=2當(dāng)m≥2時(shí)，f(m)是增函數(shù)，有f(m)≥f(2)=

11、422224=8.由于f(1)f(2)故當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)有最小值f(1)=2.對(duì)比這兩種思維水平，所用到的知識(shí)是相同的，結(jié)論也都正確.但水平一仍然停留在感性概括的階段上，而水平二則抽象到較為恰當(dāng)?shù)某潭?，由于水平二把這兩個(gè)具體的問題納入到中學(xué)階段最重要的知識(shí)體系上：方程與函數(shù)，運(yùn)用這兩項(xiàng)知識(shí)去解決問題，既如魚得水，又勢(shì)如破竹.隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增多，學(xué)習(xí)難度的增大，兩種思維水平的差距將明顯拉開.例8在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針方

12、向依次為Z1，Z2，Z3，O（其中O是原點(diǎn)），已知Z2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2=1i求Z1和Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).[1995年數(shù)學(xué)高考理科題年數(shù)學(xué)高考理科題]講解講解有兩種思維水平的處理.3水平一水平一如圖由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有2312312222)31(214sin4cos21z2132132222)31(214sin4cos212221iiiiziiiizz???????????????????????????????????????????????

13、?????????????????水平二水平二由復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，有z3z1=z2=1iz3z1=z2i=i加減消元得z1=z3=33i213231???前一解法表現(xiàn)為具體解題的一招一式（數(shù)值計(jì)算），對(duì)于其他問題（特別是非復(fù)數(shù)問題）幾乎沒有任何啟示.i213231???后一解法則體現(xiàn)了方程觀點(diǎn)（上升為代數(shù)觀點(diǎn)）為了求兩個(gè)未知數(shù)，我們來建立兩個(gè)方程（一般性解決），為是建立方程，我們用到了復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義（功能性解決）.這種解題思考有普