9第九講 定積分的證明問題與應(yīng)用

1、1泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案數(shù)值分析教研室課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對象授課題目第九講定積分的證明題與應(yīng)用課時數(shù)2教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握有關(guān)定積分的存在性問題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長的計算。重點難點1不定積分有關(guān)的的存在性問題的證明；2不定積分有關(guān)的的不等式的證明；3面積、體積、弧長的計算。教學(xué)提綱第九講第九講定積分的證明題與應(yīng)用定積分的證明題與應(yīng)用一、定積分的性質(zhì)二、定積分證明題（１）存在性證明（２）積分表

2、示的不等式的證明三、定積分應(yīng)用1微元法2面積（1）直角坐標情形（2）極坐標情形3體積4弧長1）y=f(x)在區(qū)間[ab]上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在[ab]上的曲線可求長，且弧長)(xf?，是弧長公式。dxxfLba???)(122）參數(shù)方程（）)(tx??)(ty??????x在上連續(xù)，則??????????與????，????dtttL?????????223【證明】略例３例３:在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，證明存在，使得)(xf][ba0)(?

3、xf)(ba??。?????babadxxfdxxfdxxf)(21)()(??例４例４:在上連續(xù)，在，，證明存在不同)(xf]0[?0)(0???dxxf0cos)(0???xdxxf的點，使得。)0(21????0)()(21????ff【證】令，，??xdttfxF0)()()()(xfxF??0)()0(???FF??????????0000)(sin|)(cos)(coscos)(dxxxFxxFxxdFxdxxf＝０???0

4、)(sindxxxF存在使得，)0(???0)(sin???F0)(0sin????F………兩次使用中值定理得證。2.積分表示的不等式的證明積分表示的不等式的證明例５例５:比較大小dtttdtttnn|ln|)]1[ln(ln???１０１０與【證明】在上，，]10[ttttttttnnnnln)]1[ln(ln)]1[ln(0)1ln(???????dtttdtttnn|ln|)]1[ln(ln????１０１０例６例６:設(shè)f(x)g(x

5、)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0.證明：對任何0)(??xf0)(??xga有]10[???????agafdxxgxfdxxfxg010).1()()()()()(證：證：，?)(xF??????xgxfdttgtfdttftg010)1()()()()()(則F(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時，??)(xF)]1()()[()1()()()(gxgxfgxfxfxg??????]10[?x，因此，即F(x)在[