四面體外接球的球心、半徑求法

1、四面體外接球的球心、半徑求法在立體幾何中，幾何體外接球是一個?？嫉闹R點，對于學(xué)生來說這是一個難點，一方面圖形不會畫，另一方面在畫出圖形的情況下無從下手，不知道球心在什么位置，半徑是多少而無法解題。本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。1、出現(xiàn)出現(xiàn)“墻角墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體。結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，則體對角線長為cba，幾何體的外接球直徑為體對角線長即

2、222cbal???R2l2222cbaR???【例題】：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為ABCD，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。361，解：因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長所以：四面體外接球的直徑為的長AE即：22224ADACABR???所以1663142222????R2?R球的表面積為??1642??RS2、出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論。出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)

3、論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，OBCAB?7?PA，，求球的體積。5?PB51?PC10?ACO解：且，，，BCAB?7?PA5?PB51?PC10?AC因為所以知22210517??222PCPAAC??ACDBE所以半徑為3211331222????）（R【結(jié)論】：空間兩點間距離公式：221221221)()()(zzyyxxPQ??????

4、4、四面體是正四面體四面體是正四面體處理球的處理球的“內(nèi)切內(nèi)切”“外接外接”問題問題與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。作為這種特殊的位置關(guān)系在高考中也是考查的重點，但同學(xué)們又因缺乏較強的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置及球心的位置，畫好截面圖是關(guān)鍵，可使這類問題迎刃而解。一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題例1.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？分析：運用正四面體

5、的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的Oa對稱性知，點也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為OrR正四面體的表面積223434aaS???球正四面體的體積22221234331BEABaAEaVBCDA??????322212233123aaaa???????????，BCDAVrS???球31?aaaSVrBCDA12631223323??????球在中，，

6、即，得，得BEORt?222EOBEBO??22233raR??????????aR46?rR3?【點評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即內(nèi)切球的半徑為(為正四面體的高)，且外接球的半徑4hh，從而可以通過截面圖中建立棱長與半徑之間的關(guān)系。43hOBERt?例2設(shè)棱錐的底面是正方形，且，，如果ABCDM?MDMA?ABMA?的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.AMD?