指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的典型錯(cuò)誤分類辨析

1、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的典型錯(cuò)誤分類辨析指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的典型錯(cuò)誤分類辨析指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)這一章的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，初學(xué)這部分知識(shí)如果沒(méi)有掌握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，下面就錯(cuò)誤所在進(jìn)行分類辨析.一﹑求解函數(shù)定義域中的錯(cuò)誤求解函數(shù)定義域中的錯(cuò)誤例1已知函數(shù)f(x)＝loga(－x2＋log2ax)的定義域?yàn)?0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是12________.錯(cuò)解：錯(cuò)解：函數(shù)f(x)＝log

2、a(－x2＋log2ax)的定義域?yàn)?0)，即當(dāng)x∈(0)時(shí)，1212－x2＋log2ax＞0恒成立，即關(guān)于x的不等式log2ax＞x2在(0)上恒成立，令12y1＝log2ax，y2＝x2，如圖，y2過(guò)點(diǎn)P()，因y1＞y2在(0)上恒成立，故應(yīng)有121412y1、y2在(0)上的圖象的位置關(guān)系為y1在y2上方，∴≤2a＜1，即≤a＜，∴a的取1211613212值范圍是[).13212辨析：辨析：產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因在于對(duì)定義域的定義的理

3、解.當(dāng)a的范圍確定時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0)，與－x2＋log2ax＞0互為充要條件，并非僅僅是充分條件而已.當(dāng)a變化時(shí)，函數(shù)12定義域也隨之變化，此題定義是確定的，因此a的值也是一個(gè)確定的值.正解：正解：由條件知，log2ax＞x2的解集為(0)，令y1＝log2ax，y2＝x2，如圖，由圖易知12y2過(guò)點(diǎn)P()，因?yàn)樵?0)上y1＞y2，則在(0)上y1的圖象在y2的圖象上方，所以，12141212log2a＝()2，即a＝.12

4、12132特別提醒：特別提醒：要注意區(qū)分“函數(shù)定義域?yàn)閰^(qū)間A”與“函數(shù)在區(qū)間A上恒成立”：兩個(gè)概念十分相似，易誤認(rèn)為是同一個(gè)問(wèn)題，事實(shí)上“函數(shù)在A上恒有意義”中的A是f(x)的定義域的一個(gè)子集，是不等式恒成立問(wèn)題；而“函數(shù)的定義域?yàn)锳”中的A是函數(shù)的定義域，其解法是已知不等式解集求參數(shù)問(wèn)題.二、求解函數(shù)值域中的錯(cuò)誤二、求解函數(shù)值域中的錯(cuò)誤例2若函數(shù)y＝lg(x2＋ax＋1)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解錯(cuò)解：因函數(shù)y＝lg(x2＋

5、ax＋1)的值域?yàn)镽，故x2＋ax＋1＞0對(duì)x∈R恒成立，而f(x)＝x2＋ax＋1是開(kāi)口向上的拋物線，從而△＜0，即a2－4＜0，解得－2＜a＜2，它便是所求的a的取值范圍.錯(cuò)解錯(cuò)解2：令x2－3＝t，是x2＝t＋3，代入函數(shù)式可得：f(t)＝lg，由＞0，t3t1t3t1得t＜－3或t＞1，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|t＜－3或t＞1.辨析：辨析：錯(cuò)解1把函數(shù)f(x2－3)與f(x)混淆為同一函數(shù).若令F(x)＝f(x2－3)＝lg

6、，令x2－3＝t，得f(t)＝，就會(huì)發(fā)現(xiàn)F(x)與f(x)是兩個(gè)不同的函數(shù)，它們具x2x24t3t1有不同的定義域和對(duì)應(yīng)法則，因此求的是F(x)的定義域，而不f(x)的定義域.錯(cuò)解2在用換元法時(shí)沒(méi)有考慮自變量t受到x2－3的取值范圍的限制.正解：正解：正確的解法為：先求f(x)的表達(dá)式，令x2－3＝t，因＞0，故x＞2或x2x24x＜－2，則x2＝t＋3，此時(shí)由拋物線性質(zhì)知t＞－3，∴f(t)＝，由＞0，得t3t1t3t1t＜－3或t＞

7、1，此時(shí)f(x)的定義域就是t的取值范圍，故f(x)的定義域?yàn)閤|x＞1.特別提醒特別提醒：本題所求復(fù)合函數(shù)外層函數(shù)定義域，根據(jù)復(fù)合規(guī)律知實(shí)質(zhì)上是求內(nèi)層函數(shù)的值域.因此，解答復(fù)合函數(shù)問(wèn)題時(shí)，分清內(nèi)、外層函數(shù)是關(guān)鍵.四﹑判斷函數(shù)單調(diào)性中的錯(cuò)誤判斷函數(shù)單調(diào)性中的錯(cuò)誤例6試求函數(shù)f(x)＝log4(7＋6x－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間.錯(cuò)解：錯(cuò)解：設(shè)y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，則對(duì)二次函數(shù)u＝g(x)，當(dāng)x≤

8、3時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)x≥3時(shí)為減函數(shù)，又y＝log4u是增函數(shù)，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞3].辨析：辨析：上述解答中就是忽視了原函數(shù)的定義域x|－1≤x≤7，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間.正解：正解：設(shè)y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，則對(duì)二次函數(shù)u＝g(x)，當(dāng)x≤3時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)x≥3時(shí)為減函數(shù)，又y＝log4u是增函數(shù)，且由7＋6x－x2＞0得函數(shù)的定義域?yàn)?－

9、17)，于是函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(－13].特別提醒：特別提醒：由于函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)局部概念，單調(diào)區(qū)間是定義域的一個(gè)子區(qū)間，因此，在解答函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)必須首先考慮函數(shù)的定義域，五、求解反函數(shù)問(wèn)題中的問(wèn)題五、求解反函數(shù)問(wèn)題中的問(wèn)題例5已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)內(nèi)存在反函數(shù)，且f(x－1)＝x2－2x，求f－1(－)的14值.錯(cuò)解：錯(cuò)解：因?yàn)閒(x－1)＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以f(x)＝x2－1.由x2－1＝