洛必達(dá)法則的一些應(yīng)用

1、第1頁共16頁1引言18世紀(jì)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，以及這個世紀(jì)后期數(shù)學(xué)研究活動的擴(kuò)張和數(shù)學(xué)教育的改革都為19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展準(zhǔn)備了條件微積分學(xué)的深人發(fā)展，才有了后面的洛比達(dá)法則，而且在英國和歐洲大陸是循著不同的路線進(jìn)行的在歐洲大陸，新分析正在萊布尼茨的繼承者們的推動下蓬勃發(fā)展起來伯努利家族的數(shù)學(xué)家們首先繼承并推廣萊布尼茨的學(xué)說.雅各布伯努利運(yùn)用萊布尼茨引用的符號，并稱之為積分，萊布尼茨采用他的建議，并列使用微分學(xué)與積分學(xué)兩個術(shù)語雅各布伯努利的弟

2、弟約.翰伯努利在萊布尼茨的協(xié)助之下發(fā)展和完善了微積分學(xué).他借助于常量和變量，用解析表達(dá)式來定義函數(shù)，這比在此之前對函數(shù)的幾何解釋有明顯的進(jìn)步.他在求“”型不定式的值時，發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)稱為洛必達(dá)00法則的方法，即用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限.約翰伯努利的學(xué)生、法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的《無限小分析》(1696)一書是微積分學(xué)方面最早的教科書，在十八世紀(jì)時為一模范著作，他在書中規(guī)范了這一種算法即洛必達(dá)法則，之后洛必達(dá)法則的也得到了廣泛應(yīng)用，這對

3、傳播微分學(xué)起到很大的作用.從極限概念的產(chǎn)生到現(xiàn)在已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年的發(fā)展，漫漫的歷史長河，人類在尋求真理和科學(xué)的過程中不斷探索和總結(jié)，對于數(shù)學(xué)的探索給了人類科學(xué)發(fā)展以強(qiáng)大的動力我們應(yīng)當(dāng)對任何知識都認(rèn)真的學(xué)習(xí)、研究及做出總結(jié)不僅踏尋前人的路跡，同時也要從中開創(chuàng)新的空間極限是數(shù)學(xué)分析的基石，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)不定式極限是一種常見和重要的極限類型，其求法多種多樣，變化無窮本文先介紹了洛必達(dá)法則的定義，然后對洛必達(dá)法則使用條件及其常見誤區(qū)進(jìn)行

4、了詳細(xì)分析，闡述了該法則適用于解決函數(shù)極限的類型并舉例說明其應(yīng)用，總結(jié)了洛必達(dá)法則的各種形式及使用范圍，并介紹了洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用，以及在使用洛必達(dá)法則解題時應(yīng)注意的問題文章還將法則的適用范圍推廣至求數(shù)列極限，然后分析法則的使用過程中容易出現(xiàn)的錯誤；最后通過具體實例說明了可以將法則和其他求極限方法結(jié)合起來使用，使我們對法則有了更深入的理解，進(jìn)而提高了應(yīng)用洛必達(dá)法則解決問題的能力2洛必達(dá)法則及使用條件在計算一個分式函數(shù)的極限時，常常會遇

5、到分子分母同時趨向于零或無窮大的情況，由于這時無法使用“商的極限等于極限的商”的法則，運(yùn)算將遇到很大的困難，事實上，這時極限可能存在，也可能不存在，當(dāng)極限存在時，極限的值也會有各種各樣的可能，如當(dāng)（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大，那么極限ax???x)(xf)(xg第3頁共16頁所要滿足的條件，那么可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，從而確定，即)(xg)()(limxgxfax?.)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgx

6、fxgxfaxaxax?????且可以依次類推.定理定理2.22.2設(shè)函數(shù)，滿足：)(xf)(xg（1）當(dāng)時，函數(shù)及都趨于零；??x)(xf)(xg（2）當(dāng)時，及都存在且；Nx?)(xf)(xg0)(?xg（3）存在（或為無窮大），)()(limxgxfx??那么.)()(lim)()(limxgxfxgxfxx?????2.2洛必達(dá)法則型??定理定理2.32.3設(shè)函數(shù)，滿足：)(xf)(xg（1）當(dāng)時，函數(shù)及都趨于；ax?)(xf)(