第14講柯西中值定理與洛必達法則2009

1、《數學分析《數學分析I》第》第14講教案講教案1第1414講柯西中值定理與洛必達法則柯西中值定理與洛必達法則授課題目授課題目柯西中值定理與洛必達法則教學內容教學內容1.柯西中值定理；2.洛必達法則教學目的教學目的和要求和要求通過本次課的教學，使學生能較好地了解柯西中值定理，掌握用洛必達法則求各種不定式極限掌握洛必達法則00型定理的證明.教學重點教學重點及難點及難點教學重點：洛必達法則求各種不定式極限；教學難點：洛必達法則定理的證明.教學

2、方法教學方法及教材處及教材處理提示理提示(1)本講的重點是掌握用洛必達法則求各種不定式極限，特別強調洛必達法則在極限計算中的重要性，是計算極限的一種常用的有效方法.(2)采用講練結合的授課方式，通過舉例的形式，總結和歸納求各種不定式極限的方法，使每一位學生都能掌握此法則(3)本講的難點是洛必達法則定理的證明，特別是??型的證明，但要求學生掌握洛必達法則00型定理的證明(4)了解柯西中值定理.作業(yè)布置作業(yè)布置作業(yè)內容：教材:2，3，5（2

3、，4，6，8，10，12），7（5，8）.133P講授內容講授內容一、柯西中值定理一、柯西中值定理定理定理6.5(柯西（cauchy）中值定理)設函數和滿足(i)在上都連續(xù)；(ii)在()上都可導；fg][baba(iii)不同時為零；(iv)則存在使得)()(xgxf??和)()(bgag?)(ba??.)()()()()()(agbgafbfgf???????證：證：作輔助函數易見在)上滿足羅爾定理)).()(()()()()()(

4、)()(agxgagbgafbfafxfxF??????)(xF][ba條件，故存在，使得)(ba??.0)()()()()()()(???????????gagbgafbffF因為(否則由上式也為零)，所以得證.0)(???g)(?f?例1設函數在[ab]上連續(xù)，在()內可導，則存在，使得f)0(?aba)(ba??.ln)()()(abfafbf?????證：證：設，顯然它在上與xxgln)(?][ba)(xf《數學分析《數學分析I

5、》第》第14講教案講教案3??0limx例4求.1xex?解：這是型不定式極限，可直接運用洛必達法則求解但若作適當變換，在計算上可方便些為00此，令，當時有，于是有xt???0x??0t.11lim1lim1lim000?????????????ttttxxteetee2型不定式極限型不定式極限??定理定理6.7若函數和g滿足：(i)ii）在某右鄰域內兩者都可導，f)(lim)(lim00???????xgxfxxxx)(00xU?且（

6、iii）(A可為實數，也可為)，則0)(??xgAxgxfxx?????)()(lim0??.)()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx????????注：注：定理6.7對于?；虻惹樾我灿邢嗤慕Y論00xxxx????????xx例5求解：.lnlimxxx???.01lim)()(lnlimlnlim??????????????xxxxxxxx例6求解：解：.lim3xexx???.6lim6lim3limlim23?

7、?????????????????xxxxxxxxexexexe注：注：不能對任何比式極限都按洛必達法則求解首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達法則的其他條件，雖然是型，但若不顧條件隨便使用洛必達法則：1sinlim????xxxx??就會因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯誤結論1cos1limsinlimxxxxxx???????3其他類型不定式極限其他類型不定式極限不定式極限還有等類型它們一般均可化為型或??型的