01 第一節(jié) 不定積分的概念與性質

1、第四章不定積分數學中的轉折點是笛卡爾的變數.有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產生，并且是有由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的.恩格斯恩格斯)1(數學發(fā)展的動力主要來源于社會發(fā)展的環(huán)境力量.17世紀，微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當時數學面臨的四類核心問題中的第四類問題，即求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等.此類問題的研

2、究具有久遠的歷史，例如，古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積，我國南北朝時期的祖沖之、祖恒也曾推導出某些圖形的面積和體積，而在歐洲，對此類問題的研究興起于17世紀，先是窮竭法被逐漸修改，后來由于微積分的創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類問題的方法.由求運動速度、曲線的切線和極值等問題產生了導數和微分，構成了微積分學的微分學部分；同時由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題，產生了不定積分和定積分，構成了微積分學的積分學

3、部分.前面已經介紹已知函數求導數的問題，現在我們要考慮其反問題：已知導數求其函數，即求一個未知函數，使其導數恰好是某一已知函數.這種由導數或微分求原來函數的逆運算稱為不定積分.本章將介紹不定積分的概念及其計算方法.第一節(jié)不定積分的概念與性質分布圖示分布圖示★問題的引入★原函數的概念★不定積分的概念★例1★例2★例3★例4★例5★微分運算與積分運算的關系★基本積分表★不定積分的性質★直接積分法★例6★例7★例8★例9★例10★例11★例1

4、2★例13★內容小結★課堂練習★習題41內容要點內容要點一、一、原函數的概念原函數的概念二、二、不定積分的概念不定積分的概念注:由定義知求函數的不定積分就是求的全體原函數在中積)(xf)(xf?dxxf)(例4(E04)經過調查發(fā)現某產品的邊際成本函數可由下面函數給出32?q其中q是產量數已知生產的固定成本為2求生產成本函數.解設所求生產成本函數為按題意，有)(qC32)(???qqC因為32)3(2????qqq所以是的一個原函數，從

5、而qq32?32?q)(qC???dxq)32(023Cqq???).(0為為為為為C直接積分法直接積分法例5(E05)計算不定積分.dxx??232)1(解dxx2321????????dxxx????????????343221dxxdxxdx??????343221Cxxx????????134132134113212.37563735Cxxx????例6(E06)求不定積分.dxexx?2解?dxexx2??dxex)2(Cee

6、x??)2ln()2(.2ln12Cexx???例7求不定積分.dxxxxx????)1(122解????dxxxxx)1(122?????dxxxxx)1()1(22dxxx??????????1112?????dxxdxx1112.||lnarctanCxx???例8(E07)求不定積分.???dxxx4211解dxxx???42411dxxxx?????222111dxx???211.arcsinCx??例9(E08)求不定積分.