高等數(shù)學(xué)第六章多元函數(shù)微分學(xué)

1、第六章第六章多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)6.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性一多元函數(shù)的概念一多元函數(shù)的概念1二元函數(shù)的定義及其幾何意義二元函數(shù)的定義及其幾何意義設(shè)是平面上的一個點(diǎn)集，如果對每個點(diǎn)，按照某一對應(yīng)規(guī)則，變量都有一個值與之對應(yīng)，則D??DyxP?fz稱是變量，的二元函數(shù)，記以，稱為定義域。zxy??yxfz?D二元函數(shù)的圖形為空間一卦曲面，它在平面上的投影區(qū)域就是定義域。??yxfz?xyD例如，2

2、21yxz???1:22??yxD二元函數(shù)的圖形為以原點(diǎn)為球心，半徑為的上半球面，其定義域就是平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為的閉1Dxy1圓。2三元函數(shù)與三元函數(shù)與元函數(shù)元函數(shù)n空間一個點(diǎn)集稱為三元函數(shù)??zyxfu?????zyx稱為元函數(shù)??nxxxfu21??n它們的幾何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會用到三元函數(shù)。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多元函數(shù)。二二元函數(shù)的極限二二元函數(shù)的極限設(shè)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，如果對任意，存在

3、，只要，就??yxf??00yx0??0???????????2020yyxx有?????Ayxf則記以或??Ayxfyyxx???lim00??????Ayxfyxyx??lim00稱當(dāng)趨于時，的極限存在，極限值為，否則，稱為極限不存在。??yx??00yx??yxfA值得注意：這里趨于是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨于，所以二元函數(shù)的??yx??00yx??00yx極限比一元函數(shù)的極限復(fù)雜；但考試大綱只要求知道基本概念和簡

4、單的討論極限存在性和計算極限值，不像一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。三二元函數(shù)的連續(xù)性三二元函數(shù)的連續(xù)性1二元函數(shù)連續(xù)的概念二元函數(shù)連續(xù)的概念若則稱在點(diǎn)處連續(xù)。????00lim00yxfyxfyyxx?????yxf??00yx若在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)皆連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。??yxfD??yxfD2閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1（有界性定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上一定有界.??yxfD??yxfD定理2（最大值最小

5、值定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上一定有最大值和最小值??yxfD??yxfD二全微分二全微分1二元函數(shù)的可微性與全微分的定義二元函數(shù)的可微性與全微分的定義設(shè)在點(diǎn)處有全增量??yxfz???00yx????0000yxfyyxxfz???????若???0??????yBxAz???????????????022yx?其中不依賴于只與有關(guān)，BAyx??00yx則稱在處可微，而稱為在處的全微分，記以或??yxfz???00yxyBxA???

6、??yxfz???00yx??00yxdz??00yxdf2二元函數(shù)的全微分公式二元函數(shù)的全微分公式當(dāng)在處可微時??yxfz???00yx則??????yyxfxyxfyxdzyx??????000000????dyyxfdxyxfyx0000????這里規(guī)定自變量微分，xdx??ydy??一般地??????dyyxfdxyxfyxdfdzyx?????3二元函數(shù)全微分的幾何意義二元函數(shù)全微分的幾何意義二元函數(shù)在點(diǎn)處的全微分在幾何上表示

7、曲面在點(diǎn)??yxfz???00yx??00yxdz??yxfz?處切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量。????0000yxfyx4元函數(shù)的全微分公式元函數(shù)的全微分公式n類似地可以討論三元函數(shù)和元函數(shù)的可微和全微分概念，在可微情況下n??3?n????????dzzyxfdyzyxfdxzyxfzyxdfzyx??????????knnkxndxxxfxxxdfk1121??????三偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可微性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性與函數(shù)的連續(xù)性之間