多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

1、二、空間曲線的切線與法平面,第六節(jié),一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),三、曲面的切平面與法線,多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用,第八章,一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),引例: 已知空間曲線 ? 的參數(shù)方程:,,? 的向量方程,,,對(duì)? 上的動(dòng)點(diǎn)M ,,即? 是,此方程確定映射,,,稱此映射為一元向量,,的終點(diǎn)M,的軌跡 ,,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線 .,值函數(shù).,要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進(jìn)向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念

2、.,,定義: 給定數(shù)集 D ? R , 稱映射,,為一元向量,值函數(shù)（簡(jiǎn)稱向量值函數(shù)）, 記為,定義域,自變量,因變量,向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、,連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),,進(jìn)行討論.,,極限：,連續(xù)：,導(dǎo)數(shù)：,,,因此下面僅以 n = 3 的情形為代表,,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,在 R3中, 設(shè),的終端曲線為? ,,切線的生成點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停,,,,,,,,表示終端曲線在t0處的,切向量,,其指向與t

3、 的增長(zhǎng)方,向一致.,,, 則,,,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:,設(shè),表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量, 則有,,速度向量：,加速度向量：,例2. 設(shè)空間曲線? 的向量方程為,求曲線? 上對(duì)應(yīng)于,解:,,的點(diǎn)處的單位切向量.,故所求單位切向量為,,,其方向與 t 的增長(zhǎng)方向一致,另一與 t 的增長(zhǎng)方向相反的單位切向量為,= 6,二、空間曲線的切線與法平面,過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法平面.,,,,,置.,空間光滑曲線在點(diǎn)

4、M 處的切線為此點(diǎn)處割線的極限位,,給定光滑曲線,? 在,,點(diǎn)法式可建立曲線的法平面方程,利用,點(diǎn)M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為,點(diǎn)向式可建立曲線的切線方程,,1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況,因此曲線 ? 在點(diǎn) M 處的,則? 在點(diǎn)M 的切向量為,法平面方程,,,,,給定光滑曲線,為0,,切線方程,例3. 求曲線,在點(diǎn) M (1, 1, 1) 處的切線,方程與法平面方程.,解：,點(diǎn)(1, 1, 1) 對(duì)應(yīng)于,

5、故點(diǎn)M 處的切向量為,,因此所求切線方程為,法平面方程為,即,(2) 光滑曲線的方程為,,切向量,法平面方程,切線方程,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,曲線上一點(diǎn),? 可表示為,處的切向量為,,法平面方程,切線方程,例5. 求曲線,在點(diǎn),M ( 1,–2, 1) 處的切線方程與法平面方程.,,,解法2 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,,曲線在點(diǎn) M(1,–2, 1) 處有:,切向量,解得,,,切線方程,即,法平面方程,即,點(diǎn)

6、 M (1,–2, 1) 處的切向量,,三、曲面的切平面與法線,設(shè) 有光滑曲面,通過其上定點(diǎn),對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,,切線方程為,不全為0 .,則 ? 在,且,點(diǎn) M 的切向量為,任意引一條光滑曲線,,下面證明:,此平面稱為 ? 在該點(diǎn)的切平面.,? 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都,在同一平面上.,,,,,,,,,,,證:,在 ? 上,,得,,,,令,,由于曲線 ? 的任意性 ,,表明這些切線都在以,為法向量,,的平面上 ,,從而切平面存

7、在 .,曲面 ? 在點(diǎn) M 的法向量:,法線方程,切平面方程,,過M點(diǎn)且垂直于切平面的直線,稱為曲面 ? 在點(diǎn) M 的法線.,曲面,時(shí),,則在點(diǎn),故當(dāng)函數(shù),法線方程,令,特別, 當(dāng)光滑曲面? 的方程為顯式,在點(diǎn),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),,切平面方程,法向量,,法向量,用,將,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,,并假定法向量方向,分別記為,則,向上,,,復(fù)習(xí),例6. 求球面,在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切,平面及法線方程.,解: 令,

8、所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,,,即,(可見法線經(jīng)過原點(diǎn)，即球心),所以曲面在點(diǎn) (2 , 1 , 0) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,,,解: 令,例8. 確定正數(shù)? 使曲面,在點(diǎn),解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為,二曲面在點(diǎn) M 相切, 故,又點(diǎn) M 在球面上,,于是有,相切.,與球面,,,, 因此有,1. 空間曲線的切線與法平面,切線方程,法平面方程,1) 參數(shù)式情

9、況.,空間光滑曲線,切向量,內(nèi)容小結(jié),,(2) 光滑曲線的方程為,,切向量,法平面方程,切線方程,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,曲線上一點(diǎn),? 可表示為,處的切向量為,,法平面方程,切線方程,空間光滑曲面,曲面 ? 在點(diǎn),法線方程,1) 隱式情況 .,的法向量,切平面方程,曲面的切平面與法線,,空間光滑曲面,切平面方程,法線方程,2) 顯式情況.,法線的方向余弦,法向量,,思考與練習(xí),1. 如果平面,與橢球面,相切,,提示: