經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義 第7章 多元函數(shù)微分學(xué)

1、1第4章多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)4.2.14.2.1二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念多元函數(shù)與一元函數(shù)類似，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意比較一元函數(shù)是含有一個(gè)自變量的函數(shù)：)(xfy?。多元函數(shù)是含有多個(gè)自變量的函數(shù)，例如：二元函數(shù)：)(yxfz?，三元函數(shù)：)(zyxfu?等等例1如果圓錐體底半徑為r高為h，則其體積v它是二元函數(shù).其中，r和h是自變量，v是因變量（函數(shù)）.定義域：??00)(???hrhrD.例2黑白電視：在t時(shí)刻屏幕上坐標(biāo)為)(y

2、x處的灰度z為：)(tyxzz?，它是三元函數(shù).例3在一個(gè)有火爐的房間里，在t時(shí)刻，點(diǎn))(zyx處的溫度u是tzyx的函數(shù)：)(tzyxuu?，稱為溫度分布函數(shù)，它是四元函數(shù)例4求函數(shù)222yxaz???的定義域解：0222???yxa，定義域?yàn)??222)(ayxyxD???例5求yyxz)ln(??的定義域解：由所給函數(shù)，對數(shù)真數(shù)為正，又分母根式為正，有??????00yxy??00)(????yxyyxD4.3——4.4偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)

3、數(shù)二元函數(shù))(yxfz?在點(diǎn))(00yx處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)xyxfyxxfx??????)()(lim00000（注意到：y取值不變，恒為0y）記作：)(00yxxz??或)(00yxfx?.類似地，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)：3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法設(shè))(vufz?，而)(yxuu?，)(yxvv?，則xvvzxuuzxz????????????，yvvzyuuzyz????????????例1:1:)sin(eyxzxy??.解法1：（利用

4、復(fù)合求導(dǎo)公式）設(shè)xyu?，yxv??，則vzusine?xvvzxuuzxz????????????1)cose()sine(????vyvuu)cos(e)sin(eyxyxyxyxy????vzusine?，xyu?，yxv??yvvzyuuzyz????????????1)cose()sine(????vxvuu)cos(e)sin(eyxyxxxyxy????解法2：（直接求）xyxyxxxzxyxy??????????))(s

5、in(e)sin()e()cos(e)sin(eyxyxyxyxy????同理，???yz)cos(e)sin(eyxyxxxyxy???例2:2:)(yxxyfz??，求yzxz????解:設(shè)yxvxyu???則)(vufz?，xvvzxuuzxz????????????1??????vufyfvuffy????yvvzyuuzyz????????????1??????vufxfvuffx????例3)(2xyxfz?，求解:設(shè)2xy