分形幾何介紹

1、第三節(jié)第三節(jié)分形分形一、分形概念一、分形概念在前面章節(jié)中討論的物體表示使用了歐氏幾何方法在前面章節(jié)中討論的物體表示使用了歐氏幾何方法即物體形狀由方程來(lái)描述。即物體形狀由方程來(lái)描述。這些方法適用于討論加工過(guò)的物體這些方法適用于討論加工過(guò)的物體:具有平滑的表面和規(guī)則的形狀。但自然景物具有平滑的表面和規(guī)則的形狀。但自然景物如山脈和云山脈和云則是不規(guī)則或粗糙的則是不規(guī)則或粗糙的歐氏方法不能真實(shí)地表現(xiàn)這些物體?？梢允褂梅中螝W氏方法不能真實(shí)地表現(xiàn)這

2、些物體?？梢允褂梅中螏缀畏椒◣缀畏椒?Fracta1geometry)來(lái)真實(shí)地描述自然景物，使用過(guò)程而不是使用方程來(lái)來(lái)真實(shí)地描述自然景物，使用過(guò)程而不是使用方程來(lái)對(duì)物體進(jìn)行建模。正如我們所期望的對(duì)物體進(jìn)行建模。正如我們所期望的過(guò)程描繪的物體其特征遠(yuǎn)不同于方程描繪的過(guò)程描繪的物體其特征遠(yuǎn)不同于方程描繪的物體。物體的分形幾何表示可以用于很多領(lǐng)域物體。物體的分形幾何表示可以用于很多領(lǐng)域以描述和解釋自然現(xiàn)象的特性。在以描述和解釋自然現(xiàn)象的特性。

3、在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中使用分形方法來(lái)產(chǎn)生自然景物顯示及各種數(shù)學(xué)和物理系統(tǒng)的可視使用分形方法來(lái)產(chǎn)生自然景物顯示及各種數(shù)學(xué)和物理系統(tǒng)的可視化?；?。分形物體有兩個(gè)基本的特征分形物體有兩個(gè)基本的特征:每點(diǎn)上具有無(wú)限的細(xì)節(jié)以及物體整體和局部特性每點(diǎn)上具有無(wú)限的細(xì)節(jié)以及物體整體和局部特性之間的自相似性。自相似性可以有不同的形式之間的自相似性。自相似性可以有不同的形式這取決于分形表示的選擇。我們利這取決于分形表示的選擇。我們利用一個(gè)過(guò)程來(lái)描述

4、分形物體用一個(gè)過(guò)程來(lái)描述分形物體該過(guò)程為產(chǎn)生物體局部細(xì)節(jié)指定了重復(fù)操作。自然景該過(guò)程為產(chǎn)生物體局部細(xì)節(jié)指定了重復(fù)操作。自然景物理論上可以用重復(fù)無(wú)限次的過(guò)程得到表示。事實(shí)上理論上可以用重復(fù)無(wú)限次的過(guò)程得到表示。事實(shí)上自然景物的圖形顯示僅使用自然景物的圖形顯示僅使用有限步生成。有限步生成?？磧蓚€(gè)被認(rèn)為是分形的典型的例子：看兩個(gè)被認(rèn)為是分形的典型的例子：例1三分康托三分康托(Cant)集設(shè)E0是閉區(qū)間是閉區(qū)間[01]，即，即E0是滿足是滿足0

5、≤x≤1的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x組成的點(diǎn)集；組成的點(diǎn)集；E1是E0去掉中間掉中間13之后的點(diǎn)集，即之后的點(diǎn)集，即E1是兩個(gè)閉區(qū)間是兩個(gè)閉區(qū)間[0，13]和[13，23]；E2是分別去掉是分別去掉E1中兩個(gè)區(qū)間的中間中兩個(gè)區(qū)間的中間13之后的點(diǎn)集，即之后的點(diǎn)集，即E2已經(jīng)是四個(gè)閉區(qū)間。此過(guò)程要繼續(xù)進(jìn)已經(jīng)是四個(gè)閉區(qū)間。此過(guò)程要繼續(xù)進(jìn)行，行，Ek是2k個(gè)長(zhǎng)度為個(gè)長(zhǎng)度為13k的閉區(qū)間組成的點(diǎn)集。三分康托集的閉區(qū)間組成的點(diǎn)集。三分康托集F是屬于所有的是屬于

6、所有的Ek的點(diǎn)組成的集，即的點(diǎn)組成的集，即。F可以看成是集序列可以看成是集序列Ek當(dāng)k趨于無(wú)窮時(shí)的極限。只能畫(huà)出趨于無(wú)窮時(shí)的極限。只能畫(huà)出k取定時(shí)的某個(gè)取定時(shí)的某個(gè)Ek。當(dāng)。當(dāng)k充分大時(shí)，充分大時(shí)，Ek是對(duì)是對(duì)F的很好的近似的表現(xiàn)。的很好的近似的表現(xiàn)。三分康托集中去掉的線段的總長(zhǎng)度是多少？可以求出，是三分康托集中去掉的線段的總長(zhǎng)度是多少？可以求出，是1。還剩下多少呢？。還剩下多少呢？注意到三分康托集是區(qū)間注意到三分康托集是區(qū)間[01]中

7、的可以展成以中的可以展成以3為底的幕級(jí)數(shù)的下面形式的數(shù)組成為底的幕級(jí)數(shù)的下面形式的數(shù)組成的:a131a232a333…其中其中ai的取值限制為的取值限制為0或2，不取，不取1。為看清這一事實(shí)。為看清這一事實(shí)注意從注意從E0得到得到E1時(shí)去掉的是去掉的是ai=1的數(shù)，從的數(shù)，從E1得E2時(shí)去掉的是去掉的是a2=1的數(shù)，并以此類(lèi)推。的數(shù)，并以此類(lèi)推。三分康托集具有的一些值得注意的特征三分康托集具有的一些值得注意的特征這些特征對(duì)許多其它的分形

8、也是大體這些特征對(duì)許多其它的分形也是大體上適合的。上適合的。(1)F是自相似的。是自相似的。E1的兩個(gè)區(qū)間的兩個(gè)區(qū)間[0，13]，[13，23]，其內(nèi)部，其內(nèi)部F的部分與的部分與F整體整體相似。相似比為相似。相似比為13。(2)F具有具有“精細(xì)結(jié)構(gòu)精細(xì)結(jié)構(gòu)”，即它包含有任意小比例的細(xì)節(jié)。，即它包含有任意小比例的細(xì)節(jié)。(3)F的實(shí)際定義是簡(jiǎn)單的和明確的。的實(shí)際定義是簡(jiǎn)單的和明確的。舉一個(gè)例子，對(duì)舉一個(gè)例子，對(duì)Koch曲線，每條直線段用四個(gè)

9、相等線段替代，曲線，每條直線段用四個(gè)相等線段替代，縮放因子是縮放因子是13，所以分形維數(shù)，所以分形維數(shù)D=ln4ln3=1.2619。每次初始元的線段。每次初始元的線段長(zhǎng)度也以長(zhǎng)度也以43因子遞增，因此當(dāng)增加更多的細(xì)節(jié)后，分形曲線的長(zhǎng)度趨因子遞增，因此當(dāng)增加更多的細(xì)節(jié)后，分形曲線的長(zhǎng)度趨于無(wú)限。另一些自相似分形曲線構(gòu)造如圖于無(wú)限。另一些自相似分形曲線構(gòu)造如圖10.71所示。這些例子說(shuō)明了所示。這些例子說(shuō)明了分形維數(shù)越高，其突出狀更明顯。