數(shù)學物理方程第一章答案

1、第一章第一章1方程的導出。定解條件方程的導出。定解條件1細桿（或彈簧）受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動，以u(xt)表示靜止時在x點處的點在時刻t離開原來位置的偏移，假設振動過程發(fā)生的張力服從虎克定律，試證明滿足方程)(txu???????????????????????xuExtuxt?其中為桿的密度，為楊氏模量。?E證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時的坐標分別為與x。現(xiàn)在計算這段桿在時刻的相對伸長。在時刻這段桿?xx?tt兩端的坐標分

2、別為：)()(txxuxxtxux??????其相對伸長等于)()]([)]([txxuxxtxuxtxxuxxx??????????????令，取極限得在點的相對伸長為。由虎克0??xxxu)(tx定律，張力等于)(txT)()()(txuxEtxTx?其中是在點的楊氏模量。)(xEx設桿的橫截面面積為則作用在桿段兩端)(xS)(xxx??的力分別為xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()()(????).(txx??于是得運動

3、方程ttuxxsx???)()(?xESutx?)(xxxxxESuxx|)(|)(?????利用微分中值定理，消去，再令得x?0??xttuxsx)()(?x???xESu()若常量，則得?)(xs=22)(tux???))((xuxEx????即得所證。2在桿縱向振動時，假設(1)端點固定，(2)端點自由，(3)端點固定在彈性支承上，試分別導出這三種情況下所對應的邊界條件。解：(1)桿的兩端被固定在兩點則相應的邊界條lxx??0件為

4、.0)(0)0(??tlutu(2)若為自由端，則桿在的張力lx?lx?|等于零，因此相應的邊界條件為|xuxEtlT???)()(lx?xu??=0lx?同理，若為自由端，則相應的邊界條件為∣0?xxu??00??x(3)若端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某lx?點，且該點離開原來位置的偏移由函數(shù)給出，則在端)(tvlx?支承的伸長為。由虎克定律有)()(tvtlu?∣xuE??)]()([tvtluklx????其中為支承的剛度

5、系數(shù)。由此得邊界條件k∣其中)(uxu????)(tflx??Ek??特別地，若支承固定于一定點上，則得邊界條件0)(?tv∣。)(uxu????0??lx同理，若端固定在彈性支承上，則得邊界條件0?x∣xuE??)]()0([0tvtukx???即∣)(uxu????).(0tfx??3.試證：圓錐形樞軸的縱振動方程為2222)1(])1[(tuhxxuhxxE??????????其中為圓錐的高(如圖1)h證：如圖，不妨設樞軸底面的半

6、徑為1，則x點處截面的半徑為：l故上所受摩阻力為tub?????xxx??????tuxxsxpb??????運動方程為:????????tuxxsxbxxuEStuEStuxxsxxx?????????????????????????22利用微分中值定理，消去再令得x?0??x????????.22tuxsxbxuESxtuxsx??????????????????若常數(shù)，則得?)(xs????tuxbxuExtux?????????

7、?????????22若????則得方程令也是常量是常量.2???EaExEx???.22222xuatubtu????????3混合問題的分離變量法混合問題的分離變量法1.用分離變量法求下列問題的解：(1)?????????????????????????0)()0()0()1(3sin022222tlutulxxxtulxuxuatuott?解：邊界條件齊次的且是第一類的，令)()()(tTxXtxu?得固有函數(shù)，且xlnxXn?s

8、in)(?，tlanBtlanAtTnnn??sincos)(??)21(??n于是?????1sin)sincos()(nnnxlntlanBtlanAtxu???今由始值確定常數(shù)及，由始值得nAnB????1sin3sinnnxlnAlx???????1sin)(nnxlnBlanxlx??所以當13?A0?nA3?n???lnxdxlnxlxanB0sin)(2????????????????????xlnxnlxlnnlxlnx