解三角形的必備知識(shí)和典型例題及習(xí)題

1、解三角形的必備知識(shí)和典型例題及習(xí)題解三角形的必備知識(shí)和典型例題及習(xí)題一、知識(shí)必備：1直角三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，C＝90，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。cacbba2斜三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別

2、表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等（R為外接圓半徑）RCcBbAa2sinsinsin???（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3三角形的面積公式：（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分

3、別表示a、b、c上的高）；?S212121（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；?S2121214解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角

4、，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)?！?sin60=。acbcBb??60sinsin223解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。2121∵b2=ac，∠A=60，∴bcsinA=b2sinB。∴=sinA=。cBbsin23評(píng)述：解

5、三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。題型題型4：正、余弦定理判斷三角形形狀：正、余弦定理判斷三角形形狀例4在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sinC=sin（A＋B）=sinAcosBcosAsinB∴sin（A－B）＝0，∴A＝B另解：角化邊點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形

6、的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑題型題型5：三角形中求值問題：三角形中求值問題例5的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出ABC?ABC、、cos2cos2BCA??這個(gè)最大值。解析：由ABC=π，得=－，所以有cos=sin。BC2π2A2BC2A2cosA2cos=cosA2sin=1－2sin22sin=－2(sin－)2；BC2A2A2A2A21232當(dāng)sin=，即A=時(shí)cosA2